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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市广渠门中学 2023—2024 学年度第二学期
初三数学模拟试卷
时间120分钟 满分100分
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 下面四幅图分别是“故宫博物馆”“广东博物馆”、“四川博物馆”、“温州博物馆”的标志，其中既
是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转 后能与自身重合，
这个图形是中心对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
故选：D．
2. 地处北京怀柔科学城的“北京光源”（ ）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行
“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．1nm m．将 用
科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正数；
当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解： .
故选B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，直线 ， 相交于点O，若 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得 ，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解： ，
，
，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
4. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定
成立的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行
逐一判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且 ＜ ，
∴ ，∴A选项的结论不成立；
，∴B选项的结论不成立；
，∴C选项的结论不成立；
，∴D选项的结论成立．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取
值范围是解题的关键．
5. 不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“ ”，“ ”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．
从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记
录的数字之和为4的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用树状图列举出所有等可能的情况，确定两次记录的数字之和为4的次数，根据概率公式计算
得出答案．
【详解】列树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中两次记录的数字之和为4的有3种，
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∴P（两次记录的数字之和为4）= ，
故选：B．
【点睛】此题考查树状图法求事件的概率，概率的计算公式，根据题意正确列举出事件发生的所有可能的
情况是解题的关键．
6. 若关于 的方程 没有实数根，则 的值可以为（ ）．
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于x的方程 没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条
件的m的值．
【详解】解：∵关于 的方程 没有实数根，
∴△= ＜0，
解得： ，
故选项中只有A选项满足，
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.
7. 古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2
平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出 长，即可算得 之间的距离．
若 ， ， ，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和图形，可以得到 ， ，然后根据相似三角形的性质，可以
得到 ．
【详解】解：由图2可得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8. 如图，在正方形 中， 是 延长线上一点，在 上取一点 ，使点 关于直线 的对称
点 落在 上，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ．现有下列结论：①
；② ；③ ；④若 ， ，则 ，其中
正确的是（ ）
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A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握知
识点并添加适当的辅助线是解题的关键．如图1中，过点 作 于 ，证明
即可判断①；过点 作 于 ， 于 ， 于 ．证
明 即可判断②；如图2中，过点 作 于 ，交 于 ．先证明 ，
再证明 即可判断③；利用勾股定理计算，即可判断④．
【详解】解：如图1中，过点 作 于 ．
， 关于 对称，
，
，
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
， ，
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，
， ，
， ，
，
， ，故①正确，
，
过点 作 于 ， 于 ， 于 ．
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
如图2中，过点 作 于 ，交 于 ．
， 关于 对称，
，
， ， ，
，
，
，
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，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，故③错误，
， ，
， ， ，
，故④正确，
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若 有意义，则 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键．
10. 分解因式： _________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式 ，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11. 分式方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可．
【详解】解：
，
经检验， 是原分式方程的解．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
12. 如图， 的弦 的延长线相交于点E， ， ，则 ___．
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【答案】 ##24度
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，由圆周角定理求出 ，由三
角形外角的性质得到 ．
【详解】解： ， ，
，
，
．
故答案为： ．
13. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时
间，统计如表：
阅读时间（x小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5
人数 12 8 6 4
若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．
【答案】400
【解析】
【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．
【详解】解：1200× ＝400（人），
答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．
故答案为：400．
【点睛】本题主要考查了用样本所占百分比估算总体的数量的知识．正确的理解题意是解题的关键．
14. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在反比例函数 的图象上，且
，请你写出一个符合要求的k的值_______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
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【分析】由题可知 ， 在两个象限，根据 得到图象位于二、四象限，即 给出符合题意的k
值即可．
【详解】由题可知 ， 在两个象限，
∵ ，
∴反比例函数 的图象位于二、四象限，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
15. 已知9°的圆周角所对的弧长是 cm，则此弧所在圆的半径是_____．
【答案】2cm
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设此弧所在圆的半径为r，
弧所对的圆心角为：9°×2＝18°，
则 ，
解得，r＝2，即此弧所在圆的半径为2cm，
故答案为2cm．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每 20
分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的
小客车数量记录如下：
A ， B ， C ， D ， E ，
收费出口编号
B C D E A
通 过 小 客 车 数 量
260 330 300 360 240
（辆）
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在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是_______．
【答案】B
【解析】
【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴A收费出口通过的数量小于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量小于B收费出口通过的数量；
E收费出口通过的数量大于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于A收费出口通过的数量；
B收费出口通过的数量大于E收费出口通过的数量；
∴ ，
∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键．
三、解答题（本题共54分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查实数的运算，先代入特殊角的三角函数值、化简二次根式、负整数指数次幂、绝对
值，然后合并解题即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
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【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19. 已知 ，求 的值．
【答案】 ，1
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
利用分式的混合运算法则将 化简将 ，再根据题意得到 ，将
代入化简后的式子求解．
【详解】解：
，
，
，
原式 ．
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20. 如图，在平行四边形 中， 平分 ，点 为边 中点，过点 作 的垂线交
于点 ，交 延长线于点 ．
（1）连接 ，求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）12
【解析】
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明 ，推导四边形 为菱形，
易知 ，进而证明 ，即可证明四边形 是平行四边形；
（2）首先证明 ， ，易得 ，在 中，借助三角函
数解得 ，然后根据“平行四边形对角线相互平分”的性质即可获得答案．
【小问1详解】
证明：连接 ，交 于点 ，如下图，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
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∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）可知，四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为边 中点，
∴ ，
∴在 中， ，即 ，
解得 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握
相关知识是解题关键．
21. 京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，
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比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平
均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多
少？
【答案】通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则通车后小东起爸驾车去雄安新区出差的路程为
千米，根据平均车速比原来每小时多走17千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【详解】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差 的路程为 千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区
出差的路程为 千米，
由题意得： ，
解得： ，
，
答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时．
22. 在平面直角坐标系中，函数 的图象过点 和点 ．
（1）求 的值；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值，直接写出m
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函
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数的性质．
（1）通过待定系数法将 ， 代入解析式求解．
（2）解不等式 ，然后分 和 两种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：将 ， 代入解 得，
，
解得 ；
【小问2详解】
解：∵
∴一次函数解析式为 ，
不等式 得， ，
当 时， ，
，
当 时， ，不合题意，舍去；
解得： ．
23. 【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的
特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢?“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特
征对树木进行分类”的项目化学习活动．
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【实践发现】同学们从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽(单位：
)的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
杨树
叶的
2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7
长宽
比
柳树
.
叶的
1.5 1.6 1.5 14 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4
长宽
比
【实践探究】分析数据如下：
平均 中位 众
方差
数 数 数
杨树叶的长
2.19 m 2.4 0.0949
宽比
柳树叶的长
1.51 1.5 n 0.0089
宽比
【问题解决】
（1）上述表格中： ， ；
（2）①这两种树叶从长宽比的方差来看， 树叶的形状差别较小；
②该小组收集的树叶中有一片长为 ，宽为 的树叶，这片树叶来自于 树的可能性大；
（3）该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖
和小娜同时被选中的概率．
【答案】（1）2.15；1.5
（2）①柳；②杨 （3）
【解析】
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【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差等统计量，用列表法或树状图法求概率．掌握相关定义
是关键．
（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）①根据题目给出的方差判定即可；②根据树叶的长宽比判定即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为：
1.7，1.8，2，2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8，
则其中位数是第5和第6的平均数，即： ；
柳树叶的长宽比的众数为1.5；
故答案为：2.15，1.5；
【小问2详解】
解：①：杨树叶的长宽比的方差为0.0949大于柳树叶的长宽比的方差0.0089，柳树叶的形状差别较小；
故答案为：柳；
②∵该小组收集的树叶中有一片长为 ，宽为 的树叶，则长宽比为2.3，
∴这片树叶来自于杨树的可能性大；
故答案为：杨；
【小问3详解】
四名同学用A，B，C，D表示，其中A表示小颖，B表示小娜，根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由列表（或树状图）可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中小颖和小娜同
时被选中的结果共有2种．
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∴P（小颖和小娜同时被选中的概率） ．
24. 如图， 为 的直径，C是圆上一点，D是弧 的中点，弦 ，垂足为点F．
（1）求证： ；
（2）P是 上一点， ， ，求 的长度．
【答案】（1）见详解 （2）2
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，关键是由垂径定理推出 ，
得到 ；由勾股定理求出 的长．
（1）由垂径定理推出 ，得到 ，推出 ；
（2）由锐角的正切求出 ，由勾股定理求出 ，由垂径定理得到
由勾股定理求出 ，即可得到 ．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的中点，
，
，
，
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，
；
【小问2详解】
解：连接 ，
∵ 是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25. “城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，
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北京地铁（ ）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于 1953年，始建于
1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离
停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为
了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离 （米）与滑行时间 （秒）的函数
关系，再应用该函数解决相应的问题．
（1）建立模型
①收集数据
（秒）
（米）
②建立平面直角坐标系
为了观察 （米）与 （秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象．
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⑤求函数解析式
解：设 ，因为 时， ，所以 ，则 ．
请根据表格中的数据，求 ， 的值．
验证：把 ， 的值代入 中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函
数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过________秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米．
【答案】（1）③见解析；④二次；⑤ ，
（2）32，
【解析】
【分析】（1）③根据题意连线即可求解；
④根据曲线判断函数图象为二次函数图象；
⑤待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据二次函数的解析式，当 时，解得 ，进而求得 时的函数值，即可求解．
【
小问1详解】
解：③如图．
④可能是二次函数图象，
故答案为：二次；
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⑤设 ，
因为 时， ，所以 ，则 ．
把 和 代入可得，
，
解得： ， ，
，
【小问2详解】
应用模型：
当 时， ，
解得 ，
当 时， ；
当 时， ，
．
故答案为：32， ．
【点睛】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图形，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求
解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
26. 已知抛物线 的对称轴为直线 ．
（1）当 时，
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①写出 与 满足的等量关系；
②当函数图象经过点 ， ， 时，求 的最小值；
（2）已知点 ， ， 在该抛物线上，若对于 ，都有 ，直接写
出 的取值范围．
【答案】（1）① ；②6
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可；
（2）由题意可知点 在对称轴的左侧，点 ， 在对称轴的右侧，点到A对称轴的
距离大于点C到对称轴的距离，由此列不等式组，解不等式组即可得出答案．
【小问1详解】
解：①当 时，对称轴为直线 ．
，
；
②由二次函数的性质可知，当 ， 关于对称轴对称时 取最小值，
对称轴为直线 ，点 关于对称轴的对称点为 ，
与点 重合， 与点 重合时， 取最小值，
最小值为： ．
【小问2详解】
解： ，
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抛物线开口下上，
， ，
点 在对称轴的左侧，点 在对称轴上或对称轴的右侧， 在对称轴的右侧，点到
A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
，
解得 ，
，
，
．
27. 如图， ，点 在 上，过点 作 的平行线，与 的平分线交于点 ， 为
的中点，点 在 上，（不与点 重合），连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转
，得到线段 ，连接 ．
（1）①直接写出线段 与 之间的数量关系；
的
②用等式表示线段 ， ， 之间 数量关系，并证明；
（2）连接 并延长，分别交 ， 于点 ，过点 作 的垂线，交 于点 ．依题意补
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全图形，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系．
【答案】（1）① ；② ，证明见解析
（2）图见解析， ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①由平行线的定义结合角平分线的定义得出 ，再由等角对等边即可得证；
②由平行线的性质得出 ，推出 ，由旋转的性质可得：
， ，求出 ，证明 ，得出 ，再
由 为 的中点得出 ，即可得证；
（2）根据题意补全图形即可，在 上截取 ，连接 ，证明 得出
，结合平行线的性质得出 ，由题意得出 ，在
上截取 ，由（1）可得： ，求出 ，证明 ，
得出 ，推出 垂直平分 ，即 ，从而得出 ，最后由平行线分线段成比例
定理即可得出答案．
【小问1详解】
解：①由题意得： ，
，
平分 ，
，
，
；
② ，证明如下：
由题意得： ，
，
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，
由旋转的性质可得： ， ，
，
，即 ，
，
，
，
为 的中点，
，
；
【小问2详解】
解：补全图形如图所示：
，
，理由如下：
在 上截取 ，连接 ，
由（1）可得 ，
， ，
平分 ，
，
，
，
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， ，
，
，
，
，
， ，
，
在 上截取 ，
由（1）可得： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分 ，即 ，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性
质、线段垂直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识
点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1， 为 上一点，点 ．
对于点 给出如下定义：将点 绕点 顺时针旋转90°，得到点 ，点 关于点 的对称点为 ，称
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点 为点 关于点 ， 的“中旋点”．
（1）如图1，已知点 ，点 为点 关于点 ， 的“中旋点”．
①若点 ，在图中画出点 ，并直接写出 的长度为______；
②当点 在 上运动时，直线 上存在点 关于点 ， 的“中旋点” ，求 的取值范围；
（2）点 ，当点 在 上运动时，若 上存在点 关于点 ， 的“中旋点” ，直接写
出 的取值范围．
【答案】（1）① ②
（2） ，
【解析】
【分析】（1）①过 作 轴，交 轴于 ，作 轴， 轴， ，可
得 ， ， ，从而可求 ，即可求解；
②由①得： 点的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，根据图形即可求解．
（2）设在第四象限的 ，将 以 为中心顺时针旋转 到 ，连接 ，过 作
轴，交 轴于 ，过 作 ，交 的延长线于 ，交 轴于 ，
可证 ，可得 ， ，可求 ， ， ，
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的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 在 轴上运动，延长 至 ，使 ，连接
，可证 ，从而可得 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 在 轴上运动，
①当 在 的右侧时，②当 运动到 时，③当 在 与 之间（不含 、 ）时，④当 运动到
时，⑤当 在 与 之间（不含 、 ）时，⑥当 运动到 时，⑦当 在 与 之间（不含 、
）时， ⑧当 运动到 时， ⑨当 在 的左侧时，根据图形即可求解．
【小问1详解】
解：①如图， 点如图所示，过 作 轴，交 轴于 ，作 轴， 轴，
， ， ，
， ，
，
由旋转得： ， ，
，
在 和 中
，
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( )，
， ，
， ， ，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
是 关于 的对称点，
．
故答案： ．
②如图，由①得： 点的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
当 时，直线 ： 与 相切于 ，连接 ，
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， ， ，
，
，
，
当 时，同理可求直线 与 相切时， ，
当 时，同理可求直线 与 相一定有交点．
综上所述： ．
【小问2详解】
解：如图，设在第四象限的 ，将 以 为中心顺时针旋转 到 ，连接 ，过 作
轴，交 轴于 ，过 作 ，交 的延长线于 ，交 轴于 ，
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，
，
，
，
，
在 和 中
，
( )，
， ，
， ，
， ， ，
，
，
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，
，
，
，
，
的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 在 轴上运动，
延长 至 ，使 ，连接 ，
在 和 中
，
( )，
，
的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 在 轴上运动；
①如图，当 在 的右侧时， 与 外离没有交点，
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此时 不存在；
②如图，当 运动到 时， 与 外切，
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此时切点 是 的“中旋点”，
，
，
；
③如图，当 在 与 之间（不含 、 ）时，
此时 与 相交， 有两个“中旋点”；
④如图，当 运动到 时， 内切与 ，
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此时切点 是 的“中旋点”，
，
，
，
，
；
⑤如图，当 在 与 之间（不含 、 ）时，
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此时 内含于 ，此时没有交点， 点不存在；
⑥如图，当 运动到 时， 内切与 ，
此时切点 是 的“中旋点”，
，
，
，
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，
；
⑦如图，当 在 与 之间（不含 、 ）时，
此时 与 相交， 有两个“中旋点”；
⑧如图，当 运动到 时， 与 外切，
此时切点 是 的“中旋点”，
，
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，
；
⑨如图，当 在 的左侧时， 与 外离没有交点，
此时 不存在；
综上所述： ， ．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，掌握相关的
判定方法及性质，根据题意找出动点的轨迹是解题关键．
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