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专题 17 多边形与平行四边形
考点 01 多边形的内角
1．（2025·北京·中考真题）若一个六边形的每个内角都是 ，则x的值为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．150
【答案】C
【分析】本题考查了多边形内角和公式，即 ，其中 为边数，利用多边形内角和公式及正多边
形的性质求解即可．
【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是 ，
∴每个内角的度数为： ，
故选：C．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由
正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为 ，正方形的每个内角为 ，求解
即可．
【详解】解：正三角形的每个内角为 ，正方形的每个内角为 ，
∴ ，
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故选：D．
3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公
式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为 ，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结
合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵正六边形与正方形的两邻边相交，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，五边形 中， ， ， ，则
°．
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【答案】205
【分析】本题主要考查了多边形的内角和求法，根据其公式解题即可．
【详解】解：多边形的内角和为 ，
∴五边形 的内角和为 ，
，
故答案为：205．
5．（2025·云南·中考真题）一个六边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握 边形内角和为 是解题的关键．
根据多边形的内角和公式直接计算即可．
【详解】解：由题意得： ，
故选：C．
6．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个多边形纸片的内角和为 ，按图示的剪法剪去一个内角后，所
得新多边形的边数为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为 ，根据内角和可解得 ，按图示的剪法剪
去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
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【详解】解：设原多边形的边数为 ，
则可得 ，
解得 ，
按图示的剪法剪去一个内角后，
新多边形的边数比原多边形的边数多1，为 ，
故选：A．
7．（2021·青海西宁·中考真题）一个十二边形的内角和是 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查的是多边形内角和，根据多边形内角和公式计算即可．
【详解】解：一个十二边形的内角和是 ，
故答案为： ．
8．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在正 边形中， ，则 的值是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．36
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，中心角，
先标字母，将正n变形看成一个圆，再根据圆周角定理求出 ，可求出中心角的度数，进而得出正多
边形的边数．
【详解】解：如图所示，标准正方形的中心O， 为中心角，将正n变形看成一个圆，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
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9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形 的内部，以 边为边作正方形 ，连接 ，
则 ．
【答案】81
【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式
求出 ，进而求出 ，最后根据 求解．
【详解】解： 正五边形 中， ， ，
正方形 中， ， ，
， ，
，
，
故答案为：81．
10．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形 边 的中点，连接 并延长与 延长线交
于点G，则 的度数为 ．
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【答案】 /18度
【分析】连接 ， ，根据正多边形的性质可证 ，得到 ，进而得到 是
的垂直平分线，即 ，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到
，再根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：连接 ， ，
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点F是 的中点，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵在正五边形 中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角
和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
考点 02 多边形的外角
1．（2025·四川遂宁·中考真题）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（
）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟知多边形的内角和与外角和公式是解题的关键，
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根据多边形内角和与外角和公式，建立方程求解边数即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意可得：
解方程，得
因此，该多边形的边数为10，
故选：A．
2．（2025·四川凉山·中考真题）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点
处可以引（ ）条对角线
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多边形的边数为 ，
边形的内角和为 ，外角和为 ，从 边形的一个顶点出发可以引 条对角线，据此根
据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出 的值即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为 ，
由题意得， ，
解得 ，
∴这个多边形是十边形，
∴从这个多边形一个顶点可以引 条对角线，
故选：B．
3．（2024·四川攀枝花·中考真题）五边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是 ．
【详解】解：正五边形的外角和是 ．
故选C．
4．（2024·西藏·中考真题）已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和外角，先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可
得解，根据多边形的外角求出边数是解此题的关键．
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【详解】解：∵正多边形的一个外角为 ，
∴正多边形的边数为 ，
∴这个正多边形的内角和为 ，
故选：B．
5．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边
形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为 ，先根据内角和求出正多边形的边数，
再用外角和 除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：设这个正多边形的边数为 ，
则 ，
∴ ，
∴这个正多边形的每个外角为 ，
故选： ．
6．（2023·甘肃兰州·中考真题）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗
外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正八边形的外角和为 ，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
【详解】解：∵正八边形的外角和为 ，
∴ ，
故选A
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【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为 是解本题的关键．
考点 03 平行四边形的判定
1．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴四边形 是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵ ，
∴四边形 是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵ ，
∴四边形 是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵ ，不能得出四边形 是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B．有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D．一组数据的方差一定大于标准差
【答案】C
【分析】根据正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念对各选项进
行判断，选出正确答案即可．
【详解】解：A、一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、有两组对角相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
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C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；
D、一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义、平行四边形的判定、直角三角形全等的判定、标准差的概念等知
识点，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各知识点的概念．
3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边
形是平行四边形．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解．
【详解】解：添加条件： ，
证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
故答案为： （答案不唯一）
4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，．
(1)求证： ；
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(2)连接 ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形 是平行四边形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)添加 （答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；
（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，结合已知条件可得 ，即可证明
；
（2）添加 ，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 即 ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）添加 （答案不唯一）
如图所示，连接 ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
当 时，四边形 是平行四边形．
5．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连
接，．
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(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，试判断四边形 的形状，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)当 时，四边形 是矩形，理由见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质；
（1）先证明 ，可得 ，结合 可得结论；
（2）由 ，点 是 边上的中点，可得 即 ，结合由（1）得四边形
是平行四边形，从而可得结论.
【详解】（1）证明：∵点 为 的中点
∴ ，
∵
∴ ， ，
在 和 中
∴ ，
∴
∵
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：当 时，四边形 是矩形，
理由如下：
∵ ，点 是 边上的中点，
∴ 即 ，
∵ 由（1）得四边形 是平行四边形，
∴ 四边形 是矩形.
6．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别在，上，且．
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(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识
点．
（1）根据四边形 是正方形，得出 且 ．结合 ，得出 ．结合
，即可证明四边形 是平行四边形．
（2）过点 作 于点 ．根据四边形 是正方形， ，得出
．结合 ，证出四边形 是矩形．得出
．结合 ，得出 ．在 中，由勾股定理求出 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ 且 ．
又 ，
．
．
又 ．
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：过点 作 于点 ．
∵四边形 是正方形， ，
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．
又 ，
∴四边形 是矩形．
．
又 ，
．
在 中，由勾股定理得 ．
7．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)过点B作 于点G，若 ，请直接写出四边形 的形状．
【答案】(1)证明见详解
(2)四边形 为正方形
【分析】（1）由角平分线的定义可得出 ，由平行线的性质可得出 ，等量代
换可得出 ，利用 证明 ，由全等三角形的性质得出 ，结合已知
条件可得出四边形 是平行四边形．
（2）由已知条件可得出 ，由平行四边形的性质可得出 ， ，根据平
行线的性质可得出 ， ，由全等三角形的性质可得出 ，等量代换可得出
， 即可得出四边形 为正方形．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
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，
∴ ，
∴ ，
由∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）四边形 是正方形．
过点B作 于点G，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形．
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由（1） ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，以及平
行线的性质，掌握全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定定理是解题的关
键．
考点 0 4 平行四边形的性质
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1．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿 剪下后得到一个 ，若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
2．（2025·贵州·中考真题）如图，在 中， ，以 为圆心， 长为半径
作弧，交 于点 ，则 的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到 ，进而推出 为等边三角形，得
到 ，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：根据作图可知： ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ；
故选D．
3．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为 ， ，一条对角线长为 ．若 为整数，则
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的值可以为 ．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出 ，
进而写出一个整数解即可求解．
【详解】解：依题意，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ 可以是 ， ， ， ，
故答案为： （答案不唯一）．
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形 中， ， ， 为线段 上的动点，四
边形 为平行四边形，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用四边形 为平行四边形，得出 ， ，由 为线段 上的动点，可知 、
运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作 是定线段，菱形 在 方向上水平运动，过
点 作 的平行线 ， 过点 作关于线段 的对称点 ，由对称性得 ，则
，当且仅当 、 、 依次共线时， 取得最小值 ，此时，设 与
交于点 ， 交 于点 ，延长 交 延长线于点 ，分别证明四边形 和四边形
是矩形，求出 ， ，再利用勾股定理求出
即可．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ 为线段 上的动点，
∴可以看作 是定线段，菱形 在 方向上水平运动，
则如图，过点 作 的平行线 ，
过点 作关于线段 的对称点 ，
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由对称性得 ，
∴ ，当且仅当 、 、 依次共线时， 取得最小值 ，
此时如图，设 与 交于点 ， 交 于点 ，延长 交 延长线于点 ，
∵菱形 中， ， ，
∴ ， ， ，
由题可得 ，
∴由对称性可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
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∴ ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点
之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键．
5．（2025·山西·中考真题）如图，在平行四边形 中，点 是对角线 的中点，点 是边 的中
点，连接 ．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得 ，进
而由平行四边形的性质得 ，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点 是对角线 的中点，点 是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
6．（2025·新疆·中考真题）如图，在 中， 的平分线交 于点E，若 ，则
．
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【答案】2
【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到 ，
得到 ，角平分线的定义，得到 ，进而得到 ，进而得到
即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的平分线交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2．
7．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点 是平行四边形 边 的中点，连接 并延长交 的延
长线于点 ．求证： ，并求 的长．
【答案】见解析，
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到
，则由平行线的性质可得 ，再证明 ，即
可利用 证明 ，则可得到 ，据此可得答案．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵点 是平行四边形 边 的中点，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ．
8．（2024·宁夏·中考真题）如图，在 中，点 在 边上， ，连接 并延长交
的延长线于点 ，连接 并延长交 的延长线于点F．求证： ．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明 ，可得
，同理可得： ，再进一步证明 即可．
【详解】证明： 四边形 是平行四边形
， ，
，
同理可得， ，
∴
又 ，
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即 ，
又 ，
．
9．（2024·吉林·中考真题）如图，在 中，点O是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于
点E，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出
，再由线段中点的定义得到 ，据此可证明 ，
进而可证明 ．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵点O是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
10．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在 中，E，F是对角线 上的点，且 ．求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到
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，则 ，再证明 ，即可证明 ．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
11．（2017·山东淄博·中考真题）已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接
BE，DF，求证：BE=DF．
【答案】证明见解析．
【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
考点 0 5 平行四边形的判定与性质综合
1．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的 中， ， 分别为边 ， 的中点，点 ， 分别
在边 ， 上移动（不与端点重合），且满足 ，则下列为定值的是（ ）
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A．四边形 的周长 B． 的大小
C．四边形 的面积 D．线段 的长
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全
等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形
各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ．
【详解】解：连接 ，
在 中， ， 分别为 ， 中点，
且 ， ， ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
，
同理 ，且 ．
∴四边形 是平行四边形，
则 与 的面积分别为 与 面积的一半，
四边形 的面积 ，
四边形 的面积始终为 面积的一半，是定值．
选项A： 、 等边长随 、 移动变化，周长不定，错误．
选项B： 随 位置改变，错误．
选项D： 长度随 、 移动改变，错误．
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综上，四边形 的面积是定值，
故选： ．
2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段 的中点， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)8
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，
是解题的关键：
（1）中点得到 ，平行线的性质，得到 ，利用 证明 即可；
（2）根据 ，得到 ，进而得到四边形 为平行四边形，进而得到 ，
即可得出结果．
【详解】（1）证明： 是线段 的中点，
．
，
．
在 和 中，
．
（2） ， 是线段 的中点，
．
，
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．
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
．
3．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形 中， ， ， ，点M是
的中点，点D和点N分别是线段 和 上的动点．
(1)当点D和点N分别是 和 的中点时，求a的值；
(2)当 时，以点C，D，N为顶点的三角形与 相似，求 的值；
(3)当 时，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）勾股定理求出 的长，中点求出 的长， 的长，根据 ，求出 的值即
可；
（2）设 ，得到 ， ，进而得到 ，分
和 两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可；
（3）作 于点 ，连接 ，易得 为等腰直角三角形，得到 ，
，进而得到四边形 为平行四边形，得到 ，将 绕点 旋转90度得到 ，连
接 ，证明 ，得到 ，进而得到 ，得到 ，
勾股定理求出 的长即可．
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【详解】（1）解：∵等腰直角三角形 中， ， ， ， ，
∴ ，
∵点D和点N分别是 和 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
设 ，则： ， ，
∵等腰直角三角形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
当点C，D，N为顶点的三角形与 相似时，分两种情况：
①当 时，则： ，
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∴ ，
此方程无解，不符合题意；
②当 时，则： ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去）或 ；
∴ ；
综上： ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
作 于点 ，连接 ，
则： ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
又 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
将 绕点 旋转90度得到 ，连接 ，则： ，
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∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 在线段 上时， 的值最小为 的长，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，
勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键．
4．（2024·辽宁·中考真题）如图， 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，若
， ，则四边形 的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
由四边形 是平行四边形得到 ， ，再证明四边形 是平行四边形，则
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，即可求解周长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴周长为： ，
故选：C．
5．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题：
如图1，点E是 边 上一点（不包含A，D），连接 ．用尺规作 ，F是边 上一点．
小明：如图2．以C为圆心， 长为半径作弧，交 于点F，连接 ，则 ．
小丽：以点A为圆心， 长为半径作弧，交 于点F，连接 ，则 ．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明 ；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
【答案】(1)见详解
(2)以点A为圆心， 长为半径作弧，与 可能有两个交点，故存在问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，
（1）根据小明的作图方法证明即可；
（2）以点A为圆心， 长为半径作弧，与 可能有两个交点，据此作答即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
又根据作图可知： ，
∴四边形 是平行四边形，
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∴ ；
（2）原因：以点A为圆心， 长为半径作弧，与 可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
6．（2025·河南·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，以 为直径的圆交 于点 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 （保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点 是 的中点，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
（1）运用尺规作直径 的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到 ， ，即 ，由一组对边平
行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，
∵ 是直径，
∴运用尺规作直径 的垂直平分线角 于点 ，
∴点 即为所求点的位置；
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（2）证明：如图所示，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点 分别是 的中点，
∴ ， ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是 对角线的交点，过点O的直线分别交 ， 于
点E，F．
(1)求证： ；
(2)当 时， ，分别连接 ， ，求此时四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角
形的判定和性质，是解决问题的关键．
（1）由题目中的 中，O为对角线的中点，可以得出 ， ，结合
，可以证得两个三角形全等，进而得出结论；
（2）由（1）中得到的结论可以得到 ，结合 得出四边形 是平行四边形，进而利用
证明出四边形 为菱形，根据 即可求出菱形的周长．
【详解】（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
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∴ ，
∵点O是 对角线的交点，
∴ ，
在△ 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）知， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长为 ．
8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形 中， 、 分别是 ， 的平分
线，且E、F分别在边 ， 上．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
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(2) ．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到 ， ，结合角平分线的条件得到
，由 得到 ， ，根据平行线的判定得到 ，
根据平行四边形的判定即可得到 是平行四边形；
（2）求得 是等边三角形，得到 ， ，证明 ，求得
，作 于点 ，在 中，求得 ，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 分别是 、 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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作 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等
边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
9．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个
主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在 上，已知 ， ，点
D、F、G、J在 上， 、 、 、 均与 所在直线平行， ，
．点N在 上， 、 的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，
此时 、 重合，点 、 、 、 、 、 在 上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空： _________；
（2）如图4， _________，由 ，且 的长度不变，可得 与
之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求 的长．
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【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】（1） ；
（2）可推出四边形 是平行四边形，从而 ，从而 ，进而得出
，根据 ， 得出
，进一步得出结果；
（3）作 于 ，解直角三角形 求得 和 ，进而表示出 ，在直角三角形 中
根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
【详解】解：（1） ，
，
故答案为： ；
（2） 、 、 、 均与 所在直线平行，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
（3）如图，
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作 于 ，
，
， ，
，
设 ，则 ， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，
解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识．
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