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专题 17 锐角三角函数与解直角三角形
课标要求 考点 考向
考向一 正弦
1.探索并认识锐角三角函数(sin A,cos A,tan A)，知道
考向二 余弦
30°，45°，60°角的三角函数值;
锐角三
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三 考向三 正切
角函数
角函数值求它的对应锐角;
考向四 特殊角的三角函数
3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一
些简单的实际问题. 考向五 三角函数的综合
解直角 考向一 解直角三角形
三角形
考向二 解直角三角形的应用
考点一 锐角三角函数
►考向一 正弦
1．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称
的美感．如图，把黄金矩形 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在
黄海海域成功发射．当火箭上升到点 时，位于海平面 处的雷达测得点 到点 的距离为 千米，仰角
为 ，则此时火箭距海平面的高度 为（ ）
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A． 千米 B． 千米 C． 千米 D． 千米
3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点B，点C、
D分别是 、 上的动点，且满足 ，连接 交线段 于点E， 于点H，则当 最
大时， 的值为 ．
4．（2024·广西·中考真题）如图，在 中， ， ．
(1)尺规作图：作线段 的垂直平分线l，分别交 ， 于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，
标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接 ，若 ，求 的长．
5．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系 中，反比例函数 （k为常数且 ）上有一点
，且与直线 交于另一点 ．
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(1)求k与m的值；
(2)过点A作直线 轴与直线 交于点C，求 的值．
►考向二 余弦
6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，把 沿
折叠，点 恰好落在 边上的点 处，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·上海·中考真题）在平行四边形 中， 是锐角，将 沿直线 翻折至 所在直线，
对应点分别为 ， ，若 ，则 ．
8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片 沿对角线 折叠，使点C落在点E处， 与
交于点F，若 ， ，则 的值是 ．
9．（2024·河南·中考真题）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研
究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
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(1)操作判断
用分别含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有
________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形 是邻等对补四边形， ， 是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 ， ， ，求 的长（用含m，n， 的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在 中， ， ， ，分别在边 ， 上取点M，N，使四边形
是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 的长．
►考向三 正切
10．（2024·云南·中考真题）在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形 中， ，点 ， 分别在边 ，
上．连接 ，将四边形 沿 翻折，点 ， 分别落在点 ， 处．则 的值是（ ）
A．2 B． C． D．
12．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，将矩形
沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处，那么 ．
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13．（2024·江西·中考真题）将图 所示的七巧板，拼成图 所示的四边形 ，连接 ，则
．
►考向四 特殊角的三角函数
14．（2024·天津·中考真题） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ．
16．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 处发出，
经水面点 折射到池底点 处．已知 与水平线的夹角 ，点 到水面的距离 m，点
处水深为 ，到池壁的水平距离 ，点 在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平
面内．记入射角为 ，折射角为 ，求 的值（精确到 ，参考数据： ，
， ）．
17．（2024·青海·中考真题）计算： ．
18．（2024·北京·中考真题）计算：
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►考向五 三角函数的综合
19．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线 上，且点A的横坐标为
4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线 交于点B，当点
C在x轴上移动时，线段 的最小值为 ．
20．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一
个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和 中，
， ， ．
【初步感知】
（1）如图1，连接 ， ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，延长
交 于点 ，求 的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有
直角三角形 的面积；若不能，请说明理由．
考点二 解直角三角形
解题技巧/易错易混
1.分清直角三角形中的斜边与直角边.
2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k(有时也可设为1)，在求三角函数值的过程中
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约去k.
3.正确应用勾股定理求第三边长
4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值.
5.锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.
►考向一 解直角三角形
21．（2024·海南·中考真题）如图，在 中， ，以点D为圆心作弧，交 于点M、N，分别
以点M、N为圆心，大于 为半径作弧，两弧交于点F，作直线 交 于点E，若
，则四边形 的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
22．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形 的边 上有一点 ，连接 ，把 绕点 逆时针
旋转 ，得到 ，连接 并延长与 的延长线交于点 ．则 的值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形 中， ，点 是 的中点．过点 作
交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴影部
分的概率是（ ）
A． B． C． D．
24．（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为 的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 ，则
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重合部分构成的四边形 的周长为 ．
25．（2024·贵州·中考真题）如图，在菱形 中，点E，F分别是 ， 的中点，连接 ， ．
若 ， ，则AB的长为 ．
26．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形 中，点 在 上， 于点 ， 于点 ．
若 ， ，则 的面积为 ．
27．（2024·山西·中考真题）如图，在矩形 中，E、F分别是边 的中点， 与 相交于点
O，过点O作 交AD于点M，若 ，则 的长为 ．
►考向二 解直角三角形的应用
28．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪 测得的仰角
为 ，小军在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（ ）
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（参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
29．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数
学兴趣小组用无人机测量潮汐塔 的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面 的点M处测得
潮汐塔顶端A的俯角为 ，再将无人机沿水平方向飞行 到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为
（点 在同一平面内），则潮汐塔 的高度为（ ）
（结果精确到 ．参考数据： ）
A． B． C． D．
30．（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓
（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知 于点B，AB与水平线l相交于点O， ．
若 分米， 分米． ，则点C到水平线l的距离CF为 分米（结果用含根号
的式子表示）．
31．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已
知帆船航行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，风对帆的作用
力 为 ．根据物理知识， 可以分解为两个力 与 ，其中与帆平行的力 不起作用，与帆垂直的
力 仪可以分解为两个力 与 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消； 与航行方向一致，是真正推动
帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型： ，则
．（单位： ）（参考数据： ）
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32．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装
置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成
右侧示意图，已知试管 ，试管倾斜角 为 ．
(1)求试管口B与铁杆 的水平距离 的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁 ，延长 交 的延长线于点F，且 于点N（点C，D，N，
F在一条直线上），经测得： ，求线段 的长度．（结果用含非
特殊角的三角函数表示）
33．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔 的北偏东 方向，距离灯塔100海里的 处，它
沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的南偏东 方向上的 处．这时， 处距离 处有多远？
（参考数据： ， ， ）
34．（2024·青海·中考真题）如图，某种摄像头识别到最远点 的俯角 是 ，识别到最近点 的俯角
是 ，该摄像头安装在距地面5m的点 处，求最远点与最近点之间的距离 （结果取整数，参考数据：
， ， ）．
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35．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔 的高度（如
图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点 依次在同一条水平直线上， ，
垂足为 ．在 处测得桥塔顶部 的仰角（ ）为 ，测得桥塔底部 的俯角（ ）为 ，又
在 处测得桥塔顶部 的仰角（ ）为 ．
(1)求线段 的长（结果取整数）；
(2)求桥塔 的高度（结果取整数）．参考数据： ．
36．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下
综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽
内壁 的夹角为 ；
第二步：向水槽注水，水面上升到 的中点E处时，停止注水．（直线 为法线， 为入射光线，
为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N， 在同一平面内，测得 ， ，折射角
．
【问题解决】
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根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求 的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据： ， ， ）
一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）正方形网格中， 如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点
C 在 上），则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知点 的坐标为 ，菱形 的两条对角线交于坐标原点 ，
将菱形 绕点 顺时针旋转，每次旋转30°，则第 次旋转结束时，点 的坐标是（ ）
A．(0,4) B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图 ．
小明想测量白塔 的高度（如图 ，在离白塔底端 正前方8米的 处，用高为1.5米的测角仪 测得
白塔顶部A处的仰角为 ，则白塔 的高度为（ ）
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A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
4．（2024·湖南·模拟预测）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩
旗绳 到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成 角（即 ），彩旗绳固定在地面的位置
与图书馆相距25米（即 米），则彩旗绳 的长度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是
由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为 ，小正方形面
积为 ，则 的值为（ ）
4 4
A． B． C． D．
3 5
6．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形 中， ， 平分 ，分别交 、 于
点 、 ， ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
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7．（2024·湖南·模拟预测）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬 耗能 ，若某人爬了
，该坡角为30°，则他耗能（ ）（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
8．（2024·上海·模拟预测） 的值在（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示阴影部分为一条河流的部分俯视图，从河边上A点驶来一条船，B点
在河对岸．在流速与船速的影响下，小船开始沿着 方向匀速前进．在航线 边有一漩涡，抽象为 ．
影响的最大范围恰好与航线 所在直线以及A点所在河岸相切．若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·浙江·模拟预测）如图，在直角梯形 中， ， ，E为 的中点，F为
线段 上的动点，连结 ，将 沿 折叠得到 ．在点F从点B运动到点C的过程中，若射
线 与上底 相交于点P，则点P相应运动的路径长为（ ）
A． B．5 C． D．
11．（2024·湖南·模拟预测）在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高
度的情节．工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿
起一根木杆，长度大概为 英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔 英尺的一个
地方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是 英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，
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对木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定好木杆后，工程师朝着
远离木杆的方向走了 英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛离木杆 英尺），并且让自己的眼睛能够正好通
过木杆的尖端看到瞭望塔的最顶端，工程师在这个点上做了一个标记，如图所示，请你求出此时瞭望塔的
高度是（ ）
A． 英尺 B． 英尺 C． 英尺 D． 英尺
12．（2024·山西·模拟预测）如图，在 中， ，以点A为圆心，以 的长为半径画弧，交
于点E，且E为 的中点，若 的长度为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2024·上海·模拟预测） （选填“ ”或“ ”或“ ”）．
14．（2024·上海·模拟预测） 的平方根为a，若 ，则 °．
15．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 、 分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点
C在线段 上， ，连接 ，过点 作 交 的延长线于P．若 ，则
的值是 ．
16．（2024·上海·模拟预测）如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形 ，内部形成一个小
正方形 ．如果正方形 的面积是正方形 面积的一半，那么 的度数是 ．
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17．（2024·湖北·模拟预测）如图，四边形 是矩形纸片， ，对折矩形纸片 ，使 与
重合，折痕为 ．展平后再过点 折叠矩形纸片，使点 落在 上的点 ，折痕 与 相交于
点 ，再次展平，连接 ，延长 交 于点 ．有如下结论：
① ；② ；③ 是等边三角形；④ 为线段 上一个动点， 是线段 的动点，
则 的最小值是 ．其中正确结论的序号是 ．
18．（2024·广东·模拟预测）长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹．长尾夹的侧面可近似的看作
等腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知 ．按压该长尾夹的手柄，
撑开后可得如图2所示的侧平面示意图．测量得 ．求这时这个长尾夹可夹纸厚度
为 （参考数据：
）
三、解答题
19．（2024·北京·模拟预测）如图， 是等腰三角形， ．已知
，用两种方法表示 的面积______
【探究】你能否从这里得出 的计算公式呢？
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20．（2024·山东·模拟预测）（1）计算： ；（参考公式：
）
（2）已知a、b是一元二次方程 的两个实根，求 的S值．
21．（2024·河北·模拟预测）如图1，在 中， ，D，E分别是
的中点，F为射线 上一动点，在射线 上取点M，使 ，连接 ，作 交射线
于点G．
【发现】（1）当点F在线段 上时，求证： ．
【拓展】（2）如图2，当点F在 的延长线上时，以 为一组邻边作 ，连接 ，
若 ， 的周长为m，四边形 的周长为n，求 的值．
【探索】（3）设 ，要使 为等腰三角形，直接写出x的值．
22．（2024·贵州·模拟预测）如图 ，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是 ，图 是它的示意图，
已知 ，点 、 在 上滑动，点 、 在 上滑动， 、 相交于点 ，
.（结果精确到 ）
(1)如图 ，当 从 增加到 时，这款电脑桌升高了多少 ？
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(2)当电脑桌从图 位置升到最大高度（如图 ）时，求 的大小及点 滑动的距离.（参考数据：
， ， ， ， ）
23．（2024·湖北·模拟预测）【探索发现】在矩形 中，点 分别在边 上， 为 的中点，
于点 ．
（1）如图1，若 ，则 的值为___________；
（2）如图2，若 ，求 的值；
（3）【迁移拓展】如图3， 是菱形 边 的中点，点 在边 上，连接 ，
，分别求 和 的长．
24．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹
竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面
垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松
大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿 米，O为 的中点，
支架 垂直地面 ，此时水桶在井里时， ．
(1)如图2，求支点O到小竹竿 的距离（结果精确到0.1米）；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿 旋转至 的位置，小竹竿 至 的位置，此时
，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： ， ，
， ）
25．（2024·全国·模拟预测）【综合与实践】
如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中 代表入射角， 代表折射角．学习小组查阅资料了
解到，若 ，则把 称为折射率．（参考数据： ， ）
【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在 处，
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光线可沿 照射到空容器底部 处，将水加至 处，且 时，光点移动到 处，此时测得
，四边形 是矩形， 是法线．
【问题解决】
(1)求入射角 的度数；
(2)请求出光线从空气射入水中的折射率 ．
19
