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2025新教材数学高考第一轮复习
11.3 二项分布、超几何分布和正态分布
五年高考
考点1 二项分布
1.(2018课标Ⅲ理,8,5分,中)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支
付 方 式 相 互 独 立 . 设 X 为 该 群 体 的 10 位 成 员 中 使 用 移 动 支 付 的 人 数 ,
D(X)=2.4,P(X=4)2.5)= .
三年模拟
综合基础练
1.(2024届湖北荆州沙市中学月考,5)已知随机变量ξ~B(7,0.5),则概率P(ξ=k)最大时,k的取
值为 ( )
A.3 B.4
C.3或4 D.4或5
2.(多选)(2024届江苏常州华罗庚中学期中,9)随机变量X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,随机变量
Y~B(3,p),若E(Y)=E(X),则 ( )
A.μ=2 B.D(X)=2σ2
2
C.p= D.D(3Y)=2
3
3.(多选)(2023福建厦门二模,10)李明每天7:00从家里出发去学校,有时坐公交车,有时骑
自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均
用时30分钟,样本方差为36,骑自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时
X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则 ( )
A.P(X>32)>P(Y>32)
B.P(X≤36)=P(Y≤36)
C.李明计划7:34前到校,应选择坐公交车
D.李明计划7:40前到校,应选择骑自行车
4.(2024届山西部分学校月考,19)某企业举行“猜灯谜,闹元宵”趣味竞赛活动,每个员工
从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中,2道不能猜中;小王每道谜语能
猜中的概率均为p(00;
当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.所以f(p)的最大值点为p =0.1.
0
(2)由(1)知,p=0.1,
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即
X=40+25Y,
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX>400,故应该对这箱余下的所有产品作检验.
考点2 超几何分布
1.(2022浙江,15,6分,易)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽
取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= ,E(ξ)= .
16 12
答案 ;
35 7
2.(2018天津理,16,13分,中)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.
现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的
身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发
生的概率.
解析 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,
由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别
抽取3人,2人,2人.
(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
Ck·C3−k
P(X=k)= 4 3 (k=0,1,2,3).
C3
7
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 12 18 4
P
35 35 35 35
1 12 18 4 12
随机变量X的数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× = .
35 35 35 35 7
(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C
为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C
互斥.
由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),
6
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= .
7
6
所以事件A发生的概率为 .
7
考点3 正态分布
1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,易)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不
正确的是 ( )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等答案 D
2.(2015湖北,4,5分,中)设X~N(μ , ),Y~N(μ , ),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列
1 σ2 2 σ2
1 2
结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ )≥P(Y≥μ )
2 1
B.P(X≤σ )≤P(X≤σ )
2 1
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案 C
3.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)= .
答案 0.14
三年模拟
综合基础练
1.(2024届湖北荆州沙市中学月考,5)已知随机变量ξ~B(7,0.5),则概率P(ξ=k)最大时,k的取
值为 ( )
A.3 B.4
C.3或4 D.4或5
答案 C
2.(多选)(2024届江苏常州华罗庚中学期中,9)随机变量X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,随机变量
Y~B(3,p),若E(Y)=E(X),则 ( )
A.μ=2 B.D(X)=2σ2
2
C.p= D.D(3Y)=2
3
答案 AC
3.(多选)(2023福建厦门二模,10)李明每天7:00从家里出发去学校,有时坐公交车,有时骑
自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30分钟,样本方差为36,骑自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时
X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则 ( )
A.P(X>32)>P(Y>32)
B.P(X≤36)=P(Y≤36)
C.李明计划7:34前到校,应选择坐公交车
D.李明计划7:40前到校,应选择骑自行车
答案 BCD
4.(2024届山西部分学校月考,19)某企业举行“猜灯谜,闹元宵”趣味竞赛活动,每个员工
从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中,2道不能猜中;小王每道谜语能
猜中的概率均为p(04p,可得0P ,即该挑战者胜利的概率没有增加.
1 2
3.(2024届江苏徐州沛县二中期初测试,21)第22届国际足联世界杯于2022年11月21日
到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中,阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右
三个方向射门,门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门
2
将即使方向判断正确也有 的可能性扑不到球.不考虑其他因素,在一次点球大战中,求门
3
将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望.
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练
中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地随
机传向另外2人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住.记第n次传球之前
球在甲脚下的概率为p ,易知p =1,p =0.
n 1 2
①证明:{ 1}为等比数列;
p −
n 3
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q ,比较p 与q 的大小.
n 10 10
1 1 1
解析 (1)依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为 × = ,
3 3 9
门将在前三次扑到点球的个数 X 可能的取值为 0,1,2,3,易知 X~B( 1),所以 P(X=k)=
3,
9Ck×
(1) k
×
(8) 3−k,k=0,1,2,3,
3 9 9
故X的分布列为
X 0 1 2 3
512 64 8 1
P
729 243 243 729
1 1
所以X的期望E(X)=3× = .
9 3
(2)①第n次传球之前球在甲脚下的概率为p ,
n
则当n≥2时,第n-1次传球之前球在甲脚下的概率为 p ,第n-1次传球之前球不在甲脚下
n-1
的概率为1-p ,
n-1
1 1 1
则p =p ×0+(1-p )× =− pn−1+ ,
n n-1 n-1
2 2 2
即p
n
-1
=−
1(
p −
1),
3 2 n−1 3
1 2
又p - = ,
1
3 3
所以{ 1} 2为首项,-1为公比的等比数列.
p − 是以
n 3 3 2
② 由 ① 可 知 p
n
=2(
−
1) n−1
+
1, 所 以 p
10
=2(
−
1) 9
+
1
<
1, 所 以 q
10
=1(1-p
10
)=
3 2 3 3 2 3 3 2
1[2 2 ( 1) 9] 1,
− × − >
2 3 3 2 3
故p
