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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
门头沟区 2024 年初三年级综合练习（二）
数学
考生须知：
1.本试卷共8页，共三道大题，28个小题．满分100分．考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 某几何体的展开图是由大小形状相等的两个正方形、四个长宽不等的矩形组成，则该几何体是（ ）
A. 正方体 B. 长方体 C. 四棱锥 D. 三棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，熟记长方体的展开图中平面图形的形状是解本题的关键，
先根据要求画出其中1种展开图的形态，从而可得答案．
【详解】解：某几何体的展开图是由大小形状相等的两个正方形、四个长宽不等的矩形组成，如图，
∴则该几何体是长方体；
故选B
2. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为 23
纳米，即 米，将 化成科学计数法为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式
为 ，使用负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
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【详解】解： ．
故选：B．
3. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B.
.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析
即可．
【详解】解：A．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选D．
4. 某个正多边形的一个内角是它的外角的2倍，则该正多边形是（ ）
A. 正方形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据一个内角是它
的外角的2倍，可得该正多边形内角和是其外角和的2倍，据此列出方程，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
∵一个内角是它的外角的2倍，
∴该正多边形内角和是其外角和的2倍，
∴ ，
解得： ，
即这个多边形是六边形．
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故选：C．
5. 数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c且满足 ， ，则原点在（ ）
.
A 点A左侧 B. 点A点B之间（不含点A点B）
C. 点B点C之间（不含点B点C） D. 点C右侧
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了数轴，有理数的加法运算，乘法运算的含义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
根据 ， ， ，可得 ， 异号，从而得到原点的位置，即可得解．
【详解】解：由图可知， ，而 ， ，
∴ ，
在
∴原点 点B点C之间；
故选C
6. 如图， ， 平分 ， ， 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线 性的质，角平分线的定义，先根据“两直线平行，同位角相等”得
，根据角平分线定义得 ，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案．
【详解】∵ ，
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∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选：B．
7. 小明去商场购物，购买完后商家有一个抽奖答谢活动，有m张奖券，其中含奖项的奖券有n张，每名已
购物的顾客只能抽取一次，小明抽之前有 名顾客已经抽过奖券，中奖的有3人，则小明中奖的概率为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算公式是解题的关键．
根据简单的概率计算公式求解作答即可．
【详解】解：由题意知，小明中奖的概率为 ，
故选：C．
8. 如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水
杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的
是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查函数的定义以及函数图象的识别．探究大水杯中水面上升高度h与注水时间t之间
的函数关系，从而确定图象．
【详解】解：开始往大水杯中均匀注水，h的值由0逐渐增大，当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的
值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时
变慢．
观察四个图象，选项C符合题意．
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果分式 值为零，那么实数m的取值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式为零的条件．熟练掌握分式为零的条件是解题的关键．
由题意知， ，计算求解即可．
【详解】解：∵分式 值为零，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
10. 如图所示的网格是正方形网格，点 ， ， 是网格线交点，则 ______．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求正弦，连接 ，根据勾股定理的逆定理证明 是等腰
直角三角形，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
故答案为： ．
11. 在实数范围内进行因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是利用提公因式与公式法分解因式，算术平方根的含义，先提取公因式，再利用平方
差公式分解因式即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
12. 如图， 是 的直径，弦 于点 ， ，如果 则 的半径长为
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______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理的应用，锐角
三角函数的应用，如图，连接 ， ，证明 为等边三角形，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵ 是 的直径，弦 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
13. 某函数图象满足过点 ，且当 时，y随x的增大而增大，写出一个满足条件的表达式______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及解析式，根据当 时，y随x的增大而增大且过点 ，
则开口向上，对称轴为 ，据此写出表达式，即可作答．
【详解】解：∵某函数图象满足过点 ，且当 时，y随x的增大而增大
∴
故答案为： （答案不唯一）
14. 如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图像扩大为原的2
倍，则点A的坐标为______．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位
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似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ．
根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：由题意得：A的坐标为 或 ，
∴A的坐标为 或 ，
故答案 ：为或 ．
15. 某校抽测了某班级的10名学生竞赛成绩（均为整数），从低到高排序如下： ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，如果 ， ，该组数据的中位数是85，则 ______．
【答案】84或85
【解析】
【分析】本题考查了求中位数，正确理解中位数的的定义是解题的关键．由中位数的定义可知，
，再根据 ， ，即可得出答案．
【详解】由已知，10个成绩从低到高排列，居中的两个成绩为 和 ,且该组数据的中位数是85，
， ，
， ，或 ， ，
故答案为：84或85．
16. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”知农爱农，珍惜粮食，传承美德，从校园做起．为响应此号召学校举办
“减少舌尖上的浪费”宣传活动，参加活动的共60人，其中有校领导，教师代表，七年级学生代表，八年
级学生代表和九年级学生代表．已知校领导和教师代表的总人数是七年级学生代表和八年级学生代表总人
数的四分之一，校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，则参加这
次活动的九年级学生代表有______人．
【答案】20
【解析】
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【分析】设参加这次活动的校领导有x人，教师代表有y人，七年级学生代表有z人，则参加这次活动的
八年级学生代表有 人，九年级学生代表有 人，根据校领导和七年级学生代
表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，可列出关于x，y，z的三元一次方程，变形后，
可得出 ，结合x，y，z均为正整数且27和8互质，可得出 是8的倍数，结合九
年级学生代表人数为正，可确定 ，再将其代入 中，即可求出结论．
【详解】解：设参加这次活动的校领导有x人，教师代表有y人，七年级学生代表有z人，则参加这次活
动的八年级学生代表有 人，九年级学生代表有 人，
根据题意得： ，
整理得： ，
∴ ．
∵x，y，z均为正整数，且27和8互质，
∴ 是8的倍数，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （人），
∴参加这次活动的九年级学生代表有20人．
故答案为：20．
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题6分，第25题5分，
第26题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
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【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可．
【详解】
．
18. 解分式方程
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．将分式方程去分母化
为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．
【详解】解： ，
方程两边乘以 得： ，
去括号： ，
移项： ，
合并同类项： ，
系数化1： ．
经检验： 是原方程的解．
原方程的解是 ．
19. 已知： ，求 的值．
【答案】 ，
【解析】
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【分析】本题考查分式化简求值问题，先通分，计算括号里的，再除法转化成乘法，计算括号外的，最后
把 的值代入计算即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
20. 如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了
个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．
【答案】每个小长方形的长为10，宽为6
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长和宽，根据 1个长加上2个宽等于22，
2个宽减去1个长等于2列出方程组，再求出解即可．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得
，
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解得： ，
∴每个小长方形的长为10，宽为6．
21. 已知：如图，在 中，过点D作 于E，点F在边 上， ，连接 和
．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）如果 平分 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，正弦；
（1）先求出四边形 是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
（2）利用 求出 ，由勾股定理求出 ，再证明 ，即可得出答案．
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
，
∴四边形 为矩形；
【小问2详解】
由（1）可得四边形 为矩形，
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∴ ，
在 中， ， ，
，
由勾股定理得 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ .
又 ，
∴ ，
∴ ，
，
．
22. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象过点 ．
（1）求k的值；
（2）一次函数 的图象过 ，与 的图象交于两点，两函数图象交点
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之间的部分组成的封闭图形称作图象“ ”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“ 区域点”（不含
边界）；
①当一次函数图象过 时，存在______个“ 区域点”；
②如果“ 区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）
（2）①2个；②见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点，
（1）把 代入 中可得k的值；
（2）①将 代入 可得：直线解析式为 ，画图可得结论；②画图计算边界时a
的值，即可得解；
熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键．
【小问1详解】
∵反比例函数 的图象过点 ，
∴ ；
∴k的值为1；
【小问2详解】
①一次函数 的图象过 ， ，
∴ ，解得 ，
∴直线l的解析式为 ，
画出图形，如图所示，
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区域G内的整点有 和 共两个；
故存在2个“G区域点”；
故答案为：2；
②如图，直线l： 过 时， ，
解得 ，
直线l： 过 时， ，
解得 ，
观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是 ．
23. 啦啦操是一项展现青春活力的运动项目，北京市多所学校都选择以啦啦操为载体，让更多的学生在训
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练的过程中收获了健康与快乐．某校啦啦操学员共 16名，测量并获取了所有学员的身高（单位：cm），
数据整理如下：
a．16名学生的身高：
153 153 157 158 159 160 160 161
164 164 164 164 167 169 169 169
b．16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
161.94 m n
（1）写出表中m，n的值；
（2）教练将学员分组进行PK赛，如果一组学员的身高的方差越小，则认为该舞台呈现效果越好，据此推
断：下列两组学员中，舞台呈现效果更好的是______（填“A组”或“B组”）；
15 16
A组学员的身高 157 159 161
8 0
16 16
B组学员的身高 161 164 167
4 4
（3）该啦啦操队要选五名学生，已确定三名学员参赛，她们的身高分别为：160，160，164，她们的身高
的方差为 ．在选另外两名学员时，首先要求所选的两名学员与已确定的三名学员所组成的五名学员的
身高的方差小于 ，其次要求所选的两名学员与已确定的三名学员所组成的五名学员的身高的平均数尽
可能的大，则选出的另外两名学员的身高分别为______和______．
【答案】（1） ，
（2）A组 （3）161，164
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；
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（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于 ，结合其余学生的身高即可做出选择．
【小问1详解】
解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
出现次数最多的数是 ，出现了4次，即众数 ，
16个数据中的第8和第9个数据分别是 ， ，
∴中位数 ，
∴ ， ；
【小问2详解】
解：A组身高的平均数为 ，
A组身高的方差为
B组身高的平均数为 ，
B组身高的方差为 ，
∵
∴舞台呈现效果更好的是A组，
故答案为：A组；
【小问3详解】
解：160，160，164的平均数为
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∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有： ， ，
且选择 ， 时，平均数会增大，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据
越稳定是解题的关键．
24. 如图， 是 的直径， 切 于点A，连接 交 于点D， ，连接 并延长
交 于点E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由 是 的直径得到 ，即 ，由 是切线得到
，即 ，由 得到 ，从而得证
；
（2）连接 ，在 中，根据勾股定理求得 ，根据三角形的面积公式有
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，求得 ，根据 ，得到 ，从而求得
， ，在 中，根据勾股定理即可求得 ．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的直径，
，
，
切 于点A，
，
，
，
，
【小问2详解】
解：连接 ，
， ，
∴在 中， ，
是 的直径，
，
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由（1）可得 ，
∴
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
，
∴在 中， ．
【点睛】本题考查切线的性质，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的
判定及性质．综合运用相关知识是解题的关键．
25. 医学院某药物研究所研发了甲，乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间 x
（小时），服用甲种药物后每毫升血液中的含药量 （微克），服用乙种药物后每毫升血液中的含药量
（微克），记录部分实验数据如下：
0.2 0.4 1.0 1.5 2.2 2.5 3.3 4.5 5.4
x 0 …
0 0 0 3 6 2 8 3 4
0.6 1.3 3.4 3.2 2.7 2.6 2.3 1.9 1.6
0 …
8 6 0 1 7 5 1 2 5
0 0.1 0.3 9.0 5.0 2.2 1.7 0.6 0.1 0.0 …
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8 6 0 3 6 0 6 9 7
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画 与x， 与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出 与x的函
数图象，请画出 与x的函数图象；
（2）如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后两位病人每毫升血液中含药量相差
______微克；两位病人大约服药后______小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位）
（3）据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中______种药的药效持续
时间较长，药效大约相差______小时（结果保留小数点后一位）．
【答案】（1）见解析 （2）5.6；0.5或2.1
（3）甲，1.5
【解析】
【分析】本题考查了函数的应用，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
（1）先根据对应x和 的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可；
（2）观察图象，分别求出当 时， 、 的值，然后求出 、 的差即可； 当每毫升血液中含药
量相等时，即 ， 、 交点所对应的x即为两位病人大约服药时间；
（3）求出当 时，两个函数图像与 交点的横坐标，即可求出每毫升血液中含药量不少于2微克的
时间，然后比较大小即可．
【小问1详解】
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解：如图，根据对应x和 的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．
【小问2详解】
解∶当 时，在图象时找到 ， ，
∴ ，
当每毫升血液中含药量相等时，即 ，在图象上找到 、 交点所对应的x即为两位病人大约服药
时间，即x的值约为 或 ，
故答案为：5.6；0.5或2.1；
【小问3详解】
解：当 时， 所对应的x的值约为0.7，4，
∴甲种药物持续的时间为
同理乙种药物持续的时间为 ，
∵ ，
∴每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中甲种药的药效持续时间较长，药效
大约相差1.5小时，
故答案为：甲，1.5．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的经过点 ，将点A向左平移4个单位长度，
得到点B，点B在抛物线上．
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（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B的纵坐标为 时，求a的值；
（3）已知点 ， ．若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取
值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 且
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题
的关键．
（1）根据平移先得出 ，根据 、 的纵坐标相等，即可得抛物线对称轴；
（2）将 的纵坐标为 代入求出即可；
（3）根据 ， ， 三个点的纵坐标都为 ，可知点 必定在抛物线
“U型”的 内部，再根据 ， 的横坐标相同，可得点 在点 的正
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上方或者正下方，分当 时和当 时两种情况讨论，画出图象，数形结合即可作答．
【小问1详解】
解：∵将抛物线上点 向左平移4个单位长度，得到点B，
，
∵点 在抛物线上，
∴抛物线对称轴为： ．
【小问2详解】
点 的纵坐标为 ，
，
．
【小问3详解】
由题意得：抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ， ， 三个点的纵坐标都为 ，
∴可知点 必定在抛物线“U型”的 内部，
又∵ ， 的横坐标相同，
∴点 在点 的正上方或者正下方，
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分情况讨论：
当 时， ，此时点 在第二象限，
∵ 在第三象限，点 必定在抛物线“U型”的内部，
∴点N在点B的正下方，
如图，
结合图象有：抛物线与线段 恰有一个公共点，
则 符合要求；
当 时， ，此时点 在第三象限，
又∵ 在第三象限，如图，
由图可知：当点 与点 重合或者在点 的正上方时，抛物线与线段 恰有
一个公共点，
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∴ ，
解得： ，
即： 时，抛物线与线段 恰有一个公共点，
综上所述， 的取值范围为 且 ．
27. 在 中， ， ， 于点 D，点 E，F 分别在 上，且
， 交于点N．
（1）如图1，当点E与点A重合时， ______；
（2）如图2，当点E在 边上时，
①依题意补全图2；
② 的值是否发生变化，请说明理由．
【答案】（1）2 （2）①见解析；② 的值不变，理由见解析
【解析】
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【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
（1）先由三线合一定理得到 ，再证明 是等腰直角三角形，
，得到 ，进而证明 ，得到 ，
即 ，据此可得答案；
（2）①根据题意作图即可；②如图所示，过点E作 ，分别交 与G、M，证明
，得到 ， ，则 ，再证明
，同（1）可证明 ，则
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：2；
【小问2详解】
解：①补全图形如下所示：
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② 的值不变，理由如下；
如图所示，过点E作 ，分别交 与G、M，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同（1）可证明 ，
∴ ．
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28. 对于关于 的一次函数 ，我们称函数 为一次函数
的 级衍生函数（其中 为常数）．
例如， 的 级衍生函数为：当 时， ；当 时， ．
（1）如果 的 级衍生函数为 ，
①当 时， ______；
②当 时， ______．
（2）如果 的 级衍生函数为 ，求双曲线 与 的图像的交点坐标；
（3）如果以点 为圆心， 为半径的 与 的 级衍生函数 的图像有交点，直接
写出 的取值范围．
【答案】（1）①4；②
（2） 和
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（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据定义可得 ，①当 时，代入 计算即可；②当
时，分两种情况分别求解：当 时和当 时，再根据 的取值范围作进一步判断；
（2）根据定义可得 再分两种情况分别建立联立方程组求解即可：
（3）根据题意可得 ，如图，直线 与 轴于点 ，与 轴于点 ，过
点 作 于点 ，确定 ， ， ， ，得到 ，
，设 沿 轴正方向移动，再分两种情况进行讨论：①当 时，如图，当
点 刚好在 上时，过点 作 轴于点 ，连接 ；如图，当 与直线 相切时，
设切点为 ，连接 ；② 时，如图，当点 刚好在 上时，过点 作 轴于点 ，连
接 ；如图，当 与直线 相切时，设切点为 ，连接 ，设直线 交 轴于点
，可得结论．
【小问1详解】
解：∵ 的 级衍生函数为 ，
∴ ，
①当 时， ，
故答案为： ；
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②当 时，
当 时，得： ，解得： ，
当 时，得： ，解得： （舍去），
故答案为： ；
【小问2详解】
∵ 的 级衍生函数为 ，
∴
当 时，
联立方程组 ，
∴ ，
∵ ，
∴方程无解，即方程组无解，
此时两个函数图像之间没有交点；
当 时，
联立方程组 ，
解得： 或 ，
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∴双曲线 与 的图像的交点坐标是 和 ；
【小问3详解】
∵ 的 级衍生函数为 ，
∴
如图，直线 与 轴于点 ，与 轴于点 ，
当 时，得： ；当 时，得： ；当 时，得： ，
∴ ， ， ，
当 时，得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵以点 为圆心， 为半径的 与 的 级衍生函数 的图像有交点，
设 沿 轴正方向移动，
①当 时，
如图，当点 刚好在 上时，过点 作 轴于点 ，连接 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴此时 ；
如图，当 与直线 相切时，设切点为 ，连接 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴此时 ，
∴ 的取值范围是 ；
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② 时，
如图，当点 刚好在 上时，过点 作 轴于点 ，连接 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴此时 ；
如图，当 与直线 相切时，设切点为 ，连接 ，设直线 交 轴于点 ，
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∴ ， ，
对于直线 ，
当 时，得： ；当 时，得： ，
∴ ，且 在直线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴此时 ，
∴ 的取值范围是 ；
综上所述， 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查函数的新定义，函数图像上点的坐标特征，一次函数与反比例函数图像的交点，点和圆
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的位置关系，切线的性质，等边对等角，解直角三角形等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握函数图像
交点坐标的确定方法，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，解直角三角形是解题的关键．
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