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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
顺义区 2024 年初中学业水平考试综合练习二
数学试卷
考生须知：
1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将答题卡交回．
第一部分选择题
一、选择题共16分，每题2分
第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，将嫦娥六
号探测器直接送入近地点高度约200公里，远地点高度约380000公里的预定地月转移轨道．将380000用
科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整
数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成
a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正整数；当
原数的绝对值 时，n是负整数．
【详解】解： ，
故选：B．
2. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，故此选项不合题意；
C、立方体的主视图是正方形，故此选项不合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
3. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则实数a可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数和数轴，实数大小的比较，根据数轴判定出 是解题的关键．
根据数轴判定出 ，再比较实数的大小，即可求解．
【详解】解：由数轴得： ，
∵
∴a可以是 ．
故选：B．
4. 一个不透明的袋子中装有3个白球和2个黄球，它们除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸
到黄球的概率是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率 事件A可能出现的结果数与所有可能出
现的结果数的商是解答此题的关键．
根据概率计算公式进行求解即可．
【详解】解：∵不透明的袋子里装有3个白球和2个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为 ．
故选：A．
5. 如图，直线 、 相交于点 ， 平分 则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为 是解题的关
键．
先由对顶角性质求得 ，再根据角平分线的定义求出 ，再根据邻补角之和为 计
算，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
又∵ 平分 ，
，
，
故选：C．
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6. 若 则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的
两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除
以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变．
根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵
∴A、 ，原结论错误，故此选项不符合题意；
B、 ，原结论错误，故此选项不符合题意；
C、 ，正确，故此选项符合题意；
D、 ，原结论错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
7. 如果 ，那么代数式 的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】∵
∴
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．
故选：A．
8. 如图，在 中， 是 边上一动点（不与B，C重合）， 于点
E．设 给出下面三个结论：
① ② ③
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ② D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，当 平分 ，即 时，即证明 ，可得
出 ，当 不平分 ，若 时， ，若 时， ，
可判定①错误；根据 ，又由 ，可得 ，可判定②正确；证明
，得出 ，又根据 ，则 可得出
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，可判定③正确．
【详解】解：连接 ，
当 平分 ，即 时，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ；
若 时， ，即 ，
若 时， ，即 ，
故①错误；
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
故正确；
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故③正确；
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直三角形的
性质和勾股定理是解题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题共16分，每题2分
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由 在实数范围内有意义，列不等式 再解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键．
10. 分解因式： __________．
【答案】
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【解析】
【分析】本题主要考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法与公式法进行
因式分解是解题的关键．
先提取公因数，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11. 已知方程组的解为 ，写出一个满足条件的二元一次方程组______．
【答案】 (答案不唯一)
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解的定义．此题属于开放题，要理解方程组的解的定义，围绕解列
不同的算式即可列不同的方程组．
所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕 列一组算式，如
， ，然后用 ， 代换，得 等．
【详解】解：先围绕 列一组算式，
如 ， ，
然后用 、 代换，
得 等，
答案不唯一，符合题意即可．
故答案为： (答案不唯一)．
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12. 已知点 在反比例函数 的图象上，当 时， ，则
的取值范围是______．
【答案】
【解析】
的
【分析】本题考查反比例函数 图象和性质，根据题意得到该函数在第三象限时，y随x的增大而减小，
进而求解即可．
【详解】∵点 在反比例函数 的图象上，
∵当 时， ，
∴该函数在第三象限时，y随x的增大而减小，
∴ ．
故答案为： ．
13. 有甲、乙两支舞蹈队，两队都是5人，队员身高数据（单位： 如下表所示：
甲 167 168 168 168 169
乙 167 167 168 168 170
甲、乙两队身高数据的方差分别为 ， ，则 ______ （填“>”“<”或“＝”）．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 本 题 考 查 了 方 差 ， 解 题 关 键 是 熟 练 掌 握 方 差 的 计 算 公 式 ：
．
先求出平均数，再根据方差的公式计算，再比较大小即可．
【详解】解： ，
，
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，
，
．
故答案为： ．
14. 如图， 是 的半径， 是 的弦， 于点D， 的延长线与 的延长线交于点
E．若 ，则 ______ ．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
由圆周角定理得 ，而 ，再由三角形的外角定理即可求
解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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故答案为： ．
15. 小红在手工课上制作的折扇，折扇展开是一个扇形，如图所示，已知扇形的半径是 ，扇形的圆心
角是 ，则扇形的面积是_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式 是解题的关键．
根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：
故答案为： ．
16. 某学习小组的六个人围成一个圆圈做报数游戏，游戏的步骤如下：
①每个人心里都想好一个数；
②把自己想好的数悄悄如实地告诉他两旁的两个人；
③每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．
若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数为______．
【答案】8
【解析】
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【分析】本题主要考查的是阅读理解和探索规律题，其中考查的知识点有平均数的相关计算以及一元一次
方程的应用，掌握以上知识点是解题的关键．
假设报5的人心里想的数是x，由于0是报1的人和报5的人心里想的数的平均数，则报1的人心里想的是
，报3的人心里想的是 ，然后根据6是报3和报5的人心里想的数的平均数列方程求解即可．
【详解】解：设报5的人心里想的数是x
则报1的人心里想的数是：
报3的人：
的
∵6是报3和报5 人心里想的数的平均数
∴
解的
故答案为：8．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每
题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文
字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整指数幂的运算法则是解题的关键．先
把特殊角的三角函数值代入，并运用负整指数幂的运算法则计算和求绝对值、化简二次根式，再计算乘法，
最后计算加减即可．
【详解】解：
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．
18. 解不等式： ，并求它的正整数解．
【答案】 ，正整数解是2，1．
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式的
基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解不等式应根据不等式的基本性质．
首先解不等式，然后确定不等式的解集中的正整数值即可．
【详解】解：
正整数解是2，1．
19. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根．
【答案】（1）见解析 （2） ，方程的另一个根是
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程。解题的关键是：（1）牢记
“当 时，方程两个实数根”；（2）掌握解一元二次方程的方法．
（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出 ，由此可证出方程总有两个不相等的实
数根；
（2）将 代入方程，解得 ，将 代入方程得到 然后解方程即可求出另一根．
【小问1详解】
证明：
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，
，
，
方程总有两个不相等实数根．
【小问2详解】
解：将 代入方程，解得
将 代入方程得到
解得 ，
所以方程的另一个根是
20. 如图，在平行四边形 中， ，延长 到点E，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ， ，求AC的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，再根据 ，即可由矩形的判定定理得出结
论．
（2）解 ，求得 再由矩形的性质得 然后在 ，由勾
股定理求解即可．
【小问1详解】
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证明： 四边形 是平行四边形，
， ．
，
，且 ．
四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
四边形 是矩形；
【小问2详解】
解：连接 ，
在 中，
四边形 是矩形
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在 中，
【点睛】本师生考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握
平行四边形的判定与性质与矩形的判定与性质是解题的关键．
21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，
也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为 ，场地的长比
宽的2倍还多 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同
侧）间的距离之比是 ．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．
【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，
设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是 ，根据
题意列方程求解即可．
【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是
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，
由题意可得 ．
解得
∴ ，
答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 ．
22. 在平面直角坐标系xOy中，函数 的图象 与函数 的图象 交于点
（1）求k，b的值；
（2）已知直线 与图象 分别交于点 若 结合函数图象，
直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的性质，，正
确作出函数的图象是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）用待定系数法求出过点A的正比例函数解析式，再分别画出函数的图象，根据图象即可得出答案．
【小问1详解】
解：把 代入 ，得 ；
把 代入 ，得 ，
解得： ；
【小问2详解】
解：设过点 的正比例函数解析式为 ，
把 代入 ，得 ，
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∴过点 的正比例函数解析式为 ，如图，
由图可得：直线 与图象 分别交于点 若 则 ．
23. 为了解某校九年级学生一周体育锻炼时长的情况，随机抽取了25名男生和25名女生，获得了他们某
一周体育锻炼时长（单位：小时）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．抽取的25名男生这一周体育锻炼时长的频数分布直方图如下（数据分成5组： ， ，
， ， ）：
b．抽取的25名男生这一周体育锻炼时长在 这一组的是：
7 7.2 7.4 7.6 7.8
c．男生、女生这一周体育锻炼时长的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
男生 7.4 m
女生 7 6.8
根据以上信息，回答下列问题：
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（1）写出表中m的值；
（2）抽取的25名男生中，这一周体育锻炼时长超过平均数的人数为 ；抽取的25名女生中，这一周体
育锻炼时长超过平均数的人数为 ，比较 ， 的大小，并说明理由；
（3）若该校九年级共有225名男生，估计该校一周体育锻炼时长不低于8小时的男生人数．
【答案】（1）
（2） ，理由见解析
（3）估计该校所有男生中一周体育锻炼时间不低于8小时的有99人
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明
确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
（1）根据中位数的概念求解即可；
（2）根据平均数和中位数得到 ， 的大小，进而求解即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
【
小问1详解】
∵随机抽取了25名男生
∴中位数为第13名学生的成绩
∴ ；
【小问2详解】
的
∵男生 平均数为7.4
∴
∵女生的平均数为7.4，中位数是6.8
∴有超过一半的女生体育锻炼时长低于平均数
∴
∴ ；
【小问3详解】
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（人）
∴估计该校一周体育锻炼时长不低于8小时的男生人数有99人．
24. 如图， 是 的外接圆，AB是 的直径，过BC上一点 作 于点E，过点 作
的切线交ED的延长线于点F．
（1）求证： ；
（2）若D为BC的中点， 的半径为5， 求CF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先由切线的性质得出 再证明 ，再由
，得出 ，即可得出结论；
（2）先证明 ，得 ，再解 ，求得 即可求解．
【小问1详解】
证明：连接
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是 的切线，
∵ 于E，
∴
在 中，
∴
又∵ 交于点D．
∴ ．
∴ ．
∵
∴
∴ ．
【小问2详解】
解： 是 的直径，
又
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，
半径是5，
在 中，
为 中点，
即 ，
【点睛】本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定与性质．本题属圆的综合
题目，熟练掌握相关性质是解题的关键．
25. “夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故
曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日．
某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方， 高的物体
的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位： ），x与y的部分数据如下表：
x 0 5 15 25 35 45 55 65
y 0
（1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系 中，
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画出此函数的图象；
（2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午， 高的物体的影长约为______ （精确到
）；
（3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了 高的
物体的影长均为 ，那么他们生活的地区纬度差约是______度．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）44
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键；
（1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象；
（2）结合函数图象找到 时， 的值即可；
（3）结合函数图象找到 时， 的值，再作差即可；
【小问1详解】
解：函数的图象如下：
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【小问2详解】
解：根据（1）中图象可得：当 时， ，
故答案为： （答案不唯一）；
【小问3详解】
解：根据（1）中图象可得：当 时， 或 ，
，
故答案为： （答案不唯一）；
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
（1）当 时， 求 的值；
（2）若对于大于1的实数m，都有 求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 的取值范围是
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质质以及分类讨论是解题的关键．
（1）把 代入 ，求得两点坐标，即可根据二次函数的对称性质求解；
（2）根据二次函数的增减性质求解即可．
【小问1详解】
解： 当 时，
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抛物线 经过 和
抛物线对称轴为
【小问2详解】
解：依题意，点 在抛物线 上
抛物线开口向上，对称轴为直线
当 时， 随 的增大而减小；
当 时， 随 的增大而增大，
当 时，都有
若 时，
当 时，都有
时，都有
当 时，对于 都有
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当 时， 不合题意，舍去．
当 时， 不合题意，舍去．
综上所述， 的取值范围是
27. 如图， 中， ， ，D为 上一点（不与点A、C重合），将线段 绕
点D顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．并延长到点F，使 ，作射线 ，交射线 于
点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）在射线 上取点H（不与点G重合），使 ．连接 ，用等式表示线段 与
的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例，旋转的
性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意描述作图即可；
（2）根据旋转可得 ，证明 ， ，根据平行线分线段成比例和
得出 ，即可证明；
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（3）过点 作 交 于点 ，证明 ，得出 ，从而
证明 ，再根据 且 ，得出 ， ，
，从而证明 ，即可求解；
【小问1详解】
解：补全图形如图：
【小问2详解】
证明： 线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
．
证明：过点 作 交 于点 ，
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，
，
，
，
，
，
且 ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
28. 在平面直角坐标系 中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，
使点P关于直线 的对称点 在图形M上，则称P为图形M的关联点．
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（1）如图，点 ， ．在点 ， ， 中，线段 的关联点是
______；
（2）已知点 ， 的半径为2，点P在直线 上，若P为 的关联点，求点P的横坐
标 的取值范围；
（3） 的圆心为 ，半径为3，x轴上存在 的关联点，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）点 关于直线 的对称点是点A，点 关于直线 的对称点是线段 的中点，故
是线段 的关联点；
（2）由题意得 ，则以O为圆心， 为半径的圆要与 有公共点即 ， 的中垂线
与 有交点即点Q，则 ，即 ，①当点P在第一象限时，当 时，
内切于x轴正半轴，切点为点 ，则 ；当 时， 内切于x
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轴负半轴，切点为点 ，则 ，因此 ，当点P在第三象限时，同理可求
；
（3）当 ， 与 相切时， 最大，能让点 落在x轴上，当点 落在x轴负半轴时，设
，则 ，可得 ，则 ，
此时 ，当点 落在x轴正半轴时，可求 ，因此t的取值范围是 ．
【小问1详解】
解：如图，作直线 ， ，
由图可知：点 关于直线 的对称点是点A，点 关于直线 的对称点是线段 上的点 ，
所以线段 的关联点是 、 ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：由题意得 ，则以O为圆心， 为半径的圆要与 有公共点即 ， 的中垂线 与
有交点即点Q，
∴满足 ，
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∴ ，
解得： ，
①当点P在第一象限时，
当 时， 内切于x轴正半轴，切点为点 ，如图：
过点P作x轴的垂线，垂足为点G，设 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时， 内切于x轴负半轴，切点为点 ，如图：
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∴
∴当 时，满足条件；
②当点P在第三象限时，同理可求 ，
综上所述，若P为 的关联点，点P的横坐标 的取值范围为： 或 ；
【小问3详解】
解：由题意得 ，
先定点Q和 ，当点P向下运动，点 越靠近x轴，即 尽可能大，因此当 与 相切符合
题意，如图：
∵ 与 相切时，点T到 的距离最大，由 不变，得到 最大，则 最大，
∴ 最大，
的
∴第一个满足 约束条件是 与 相切，
定点P和 ，则当点Q向下运动时，点 越靠近x轴，即 要尽可能大，同上可得当 与
相切时， 最大，
∴第二个满足的约束条件是 与 相切，
∴当 ， 与 相切时， 最大，
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当点 落在x轴负半轴时，如图：
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当点 落在x轴正半轴时，如图：
同理可求 ，
∴ ，
∴t的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了新定义，轴对称图形的性质，直线与圆的位置关系， 角的直角三角形的性质，圆
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与圆的位置关系，解题的关键是将问题进行转化为直线与圆的位置关系，圆与圆的位置，难点在于“控制
变量”，找出临界状态．
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