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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京师范大学附属实验中学中考数学零模试卷
一、单选题（本题共16分，每小题2分）
1. 某种球形病毒的直径为0.000 000 43米，将数据0.000 000 43用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用绝对值小于1的科学记数法的表示法则，把小数点向右移动七位即可．
【详解】解：0.000 000 43=4.3×10-7．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中1⩽|a|<10，n为小数点向
右移动的位数，也可以是由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 ．
2. 北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（ ）
A. 北京林业大学 B. 北京体育大学
C. 北京大学 D. 中国人民大学
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据中心对称图形的定义判断即可.
详解：A.不是中心对称图形，故此选项错误；
B. 是中心对称图形，故此选项正确；
C.不中心对称图形，故此选项错误；
D.不是中心对称图形，故此选项错误.
故选B.
点睛：考查中心对称图形的定义，熟记它们的概念是解题的关键.
3. 若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
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A. ac＞bc B. ab＞cb C. a+c＞b+c D. a+b＞c+b
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负及大小情况，然后根据不等式的性质解答．
【详解】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、ac＜bc，故本选项错误；
B、ab＞cb，故本选项正确；
C、a+c＜b+c，故本选项错误；
D、a+b＜c+b，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查数轴、不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键.
4. 如图， ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角相等和已知条件，得出∠1=∠DFA，根据平行线的判定可得出AB∥CD，根据平行线
的性质从而得出答案．
【详解】∵∠2=∠DFA，∠1=∠2，
∴∠1=∠DFA，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠D=50°，
∴∠B=130°，
故选：D
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
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5. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么整数k的可能值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义， 时，方程有两个不相等的实数
根，再结合一元二次方程的定义即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，且 ，
解得： 且 ，
∴k的值可能是 ．
故选：A．
6. 如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 72°
【答案】B
【解析】
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n-2）•180°=1080°，即可求得n=8，再由多边形的外角
和等于360°，即可求得答案．
【详解】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180°×（n-2）=1080°，
解得：n=8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．
故选：B．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角
和等于360°．
7. 不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从
中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（
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）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列表法或树状图法列出所有结果，找出满足条件的结果，即可得出结果．
【详解】解：列表如下，
红 黄 绿
红 （红，红） （红，黄） （红，绿）
黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，绿）
绿 （绿，红） （绿，黄） （绿，绿）
由表可知，共有9种等可能结果，其中满足条件的两次都是红球的结果只有1种，
P（两次都是红球）= ，
∴
故选：D．
【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
8. 如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为 ，梯子中点处有一个标记，在梯子顶
端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系
C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系
【答案】B
【解析】
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【分析】过梯子中点O作 地面于点D．由题意易证 ，即得出 ．由O
为中点， ， ，即可推出 ，即 ．即可选择．
【详解】如图，过梯子中点O作 地面于点D．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意O为中点， ， ．
∴ ，整理得： ．
故y与x的函数关系为一次函数关系．
故选B．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质以及一次函数的实际应用．作出辅助线构成相似三角形是解答
本题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若二次根式 有意义，则 的取值范围是______．
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【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数 即可求解．
【详解】 ，
∴ ．
故答案为
【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
10. 分解因式： ________.
【答案】 ．
【解析】
【详解】解：原式= = ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
11. 分式方程 的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，最后要检验．
根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】解：
两边同时乘以 得 ，
解得 ，
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经检验 是原方程的解，
∴ ，
故答案为： ．
12. 已知点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】把点A、B坐标代入反比例函数 ， ，可知 = =m-2．由 与 同号且
，考虑A、B在不同象限情况即可求解．
【详解】根据题意，把点A、B坐标代入反比例函数y= ．
， ，
可知 = =m-2．
∴ = ，
∴ 与 同号，
∵ ，
∴当 ＜ ＜0，点A、B在第四象限， ，且 ．
当0< ＜ ，点A、B在第一象限， ，且 ．
综上，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数性质与图象，掌握反比例函数性质与图象位置与m-2的关系．会根据函
数值的大小确定点的位置是解题关键．
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13. 已知9°的圆周角所对的弧长是 cm，则此弧所在圆的半径是_____．
【答案】2cm
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设此弧所在圆的半径为r，
弧所对的圆心角为：9°×2＝18°，
则 ，
解得，r＝2，即此弧所在圆的半径为2cm，
故答案为2cm．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
14. 某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将
调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 ________
人．
每周课外阅读时间x
（小时）
人数 6 9 13 12
【答案】300
【解析】
【分析】本题考查了频数（率 分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的
组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本
估计总体．用800乘样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．
【详解】解： （人），
估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生大约有300人．
故答案为：300．
15. 如图，在矩形 中， 是边 的中点，连接 交对角线 于点 ，若 ，
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，则 的长为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质和勾股定理可得
，进而得 ，再由 得到 ，即可得 ，进而可求出
的长，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 为矩形， ，
∴ ， ， ，
∵ 是边 的中点，
∴ ，
在 中， ， ，
∴
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 有黑、白各 张卡片，分别写有数字 至 ；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，
排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字 摆在
了标注字母 _____的位置，标注字母 的卡片写有数字 ________
【答案】 ①. B ②.
【解析】
【分析】本题考查图形及数字类 的规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定白 ，白 ，
白 ，白 的位置．
【详解】解：第一行中 与第二行中 肯定有一张为白 ，
若第二行中 为白 ，则左边不可能有 张黑卡片，
∴白卡片数字 摆在了标注字母 的位置，
∴黑卡片数字 摆在了标注字母 的位置；
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∴第一行中 与第二行中 肯定有一张为白 ，
若第二行中 为白 ，则 ， 只能是黑 ，黑 ，
而∵ 为黑 ，矛盾，
∴第一行中 为白 ；
第一行中 与第二行中 肯定有一张为白 ，
若第一行中 为白 ，则 ， 只能是黑 ，黑 ，此时黑在白 右边，与规则②矛盾，
∴第二行中 为白 ，
∴第二行中 为黑 ， 为黑 ；
第一行中 与第二行中 肯定有一张为白 ，
若第一行中 为白 ，则 ， 只能是黑 ，黑 ，与 为黑 矛盾，
为
∴第二行中 ．
故答案为：B； ．
三、解答题（本题共68分，第17～19题每小题5分，第20～21题每小题5分，第22～23题
每小题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）
17. 计算：（ ）-1+2cos45°+| -1|-（3.14-π）0．
【答案】
【解析】
【分析】根据负数指数幂、三角函数、绝对值和零指数幂的运算法则进行计算即可解答.
【详解】解：（ ）-1+2cos45°+| -1|-（3.14-π）0
=2+2× + -1-1
=2+ + -2
=2
【点睛】本题考查了幂的运算、三角函数和绝对值，准确计算是解题的关键.
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18. 解不等式组：
【答案】x＞5．
【解析】
【分析】根据解不等式得一般步骤去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为一解题,注意当不等号两边同
时乘除同一个负数时要改变不等号方向.
【详解】解：
解不等式（1）得，x＞5；
解不等式（2）得，x＞1；
∴不等式组的解集为x＞5．
【点睛】本题考查求解一元一次不等式组,属于简单题,熟悉不等式组的解题方法是解题关键.
19. 已知 ，求代数式 的值.
【答案】 ，4
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，把分式化简．将所求式子通分，分
子、分母分解因式，再约分，化简后整体代入即可
【详解】解：原式
，
，
原式 ．
20. 如图，点F在 的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，
∠ABF＝∠FBC＋∠FCB．
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（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝ ，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由
菱形的判定定理可得结论；
（2）过D作DH⊥AC于点H，先求出∠CBE=30°，再由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，然后由锐角
三角函数定义可得AH，DH的长，由菱形的性质和勾股定理得CH的长，即可得出AC的长．
【详解】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴▱ABEF是菱形；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵sin∠CBE= ，
∴∠CBE=30°，
∵BE∥AC，
∴∠1=∠CBE，
∵AD∥BC，
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∴∠2=∠1，
∴∠2=∠CBE=30°，
Rt△ADH中，AH=AD•cos∠2=8 = ，DH=AD•sin∠2= ，
∵四边形ABEF是菱形，
∴CD=AB=BE=5，
Rt△CDH中，CH= ，
∴AC=AH+CH= ．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函
数定义以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21. 据新华网北京频道（2023年11月24日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工，北京段计划于
2023年12月31日全线贯通． 通车后，由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．
小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多
走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？
【答案】通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时 千米．
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则
通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，再利用车速度之间的关系列方程，再解方
程即可．
【详解】解：设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区
出差的路程为 千米，则
，
解得： ，
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∴ ，
答：通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时 千米．
22. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．
（1）求该函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌
握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可．
（2）根据函数图象得出当 时，对于 的每一个值，函数 ，即可求出 的取值范围．
【小问1详解】
把 和 代入 中，
得 ，
解得 ，
该函数的解析式为 ；
【小问2详解】
由（1）知：当 时， ，
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当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，
当 时，对于 的每一个值，函数 ，
，
解得 ，
的取值范围是 ．
23. 财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大
了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障
和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、
整理描述，下面给出部分信息：
信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图
信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：
统计量类别 平均数 中位数 方差
教育支出 520.7 m
社会保障和就业支出 448.3 466.5
交通运输支出 292.3 282.0
（以上数据来源于《中国统计年鉴》）
根据以上信息解决下列问题：
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（1） ； （填＞，＜号）；
（2）根据以上信息，判断下列结论正确的是 ；（只填序号）
①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；
②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；
③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多．
（3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均
数大，你认为该小组去掉的年份是 年．
【答案】（1）562.7，
（2）② （3）2014
【解析】
【分析】本题考查的是折线统计图与统计表的运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息
是解决问题的关键．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也
考查了平均数、极差与中位数．
（1）根据信息一即可解答；
（2）根据折线统计图即可解答；
（3）根据5年教育支出的平均数大于520.7亿元，可知该小组去掉的年份教育支出费用小于520.7亿元，
又因为计算的是连续5年教育支出的平均数，即可得到该小组去掉的年份．
【小问1详解】
根据折线统计图可知， ，
，
，
，
，
故答案为：562.7， ；
【小问2详解】
由折线图可知，
2015年与2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出分别是278.2亿元，219.2亿元，所以与2015年相比
2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出下降了，故结论①错误，不符合题意；
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年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长，故结论②正确，符合题意；
2019年甘肃省在社会保障和就业的支出为529.1亿元，交通运输的支出为360.4亿元，所以2019年甘肃省
在社会保障和就业的支出比交通运输的1倍还多168.7亿元，故结论③错误，不符合题意．
故答案为：②；
【小问3详解】
年这6年中甘肃省在教育支出的平均数为520.7亿元，高于2014与2015年的平均数，
又连续5年教育支出的平均数大于520.7亿元，
不是去掉的2015年的教育支出，
该小组去掉的年份是2014年．
故答案为：2014．
24. 如图， 为 直径， ， 为 上不同于 ， 的两点， ，连接 ．过
点 作 ，垂足为 ，直线 与 相交于 点．
（1）求证： 为 的切线；
（2）当 ， 时，求 的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定方法，
解直角三角形是解决问题的关键．
（1）连接 ，由圆周角定理结合已知得出 ，得出 ，由平行线的性质得出
，即可证明 为 的切线；
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（2）连接 ， ，由圆周角定理得出 ，由 ，得出 ，由三角形内
角和定理及 ，得出 ，利用解直角三角形求出 ．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
， ，
，
，
，
，
为 的半径，
为 的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接 ， ，
为 直径，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
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，
，
．
25. 某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从
喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为
米，与湖面的垂直高度为 米，下面的表中记录了 与 的五组数据：
米
米
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示 与 函数关系的图象；
的
（2）若水柱最高点距离湖面 高度为 米，则 ______；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下
方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的
竖直距离均不小于 米．已知游船顶棚宽度为 米，顶棚到湖面的高度为 米，那么公园应将水管露出
湖面的高度 喷水头忽略不计 至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由 结果保留一位小数
．
【答案】（1）见解析 （2）1.5
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（3）公园应将水管露出湖面的高度 喷水头忽略不计 至少调节到 米才能符合要求
【解析】
【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出
二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【小问1详解】
解：以喷泉与湖面 的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图 所示：
【小问2详解】
解：根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5；
【小问3详解】
解：根据图象可设二次函数的解析式为： ，
将 代入 ，得 ，
抛物线的解析式为： ，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为： ，
由题意可知，当横坐标为 时，纵坐标的值大于 ，
，
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解得 ，
水管高度至少向上调节1.1米，
（米），
公园应将水管露出湖面的高度 喷水头忽略不计 至少调节到1.6米才能符合要求．
【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键
在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 交 轴于点 ，点 在抛物线上．设
抛物线的对称轴为直线 ．
（1）若 轴，用含 的代数式表示 ；
（2）记抛物线在 ， 之间的部分为图象 （包含 ， 两点），若图象 上存在一点 ， ，使
得 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 不能大于6
【解析】
【分析】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的相关知识．
（1）根据 轴可以得到点 ，点 关于 对称，从而得到 ，再根据对称轴的公式即
可得到答案；
（2）根据 ， ， ，可以得到点 应在点4的下方，要满足 ，抛物线的开
口只能向上，根据抛物线的性质可以得到 ．
【小问1详解】
轴，
点点 ，点 关于 对称，且
，
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抛物线的对称轴为直线 ．
，
；
【小问2详解】
， ， ，
点 应在点4的下方，
当 时，抛物线开口向下，不存在．当 时不符合题意，
，
，
．
，所以对称轴 不能大于6．
27. 如图，已知 中， ， ，点 为线段 上一点，连接 ，
作射线 使得 ．过点 作 的垂线交 于点 ，连接 ，取 中点 ，连接
， ．
（1）补全图形；
（2）求证： ；
（3）①判断 的形状，并证明．
②直接写出 的大小（用 表示）．
【答案】（1）画图见解析
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（2）证明见解析 （3）① 为等腰三角形，证明见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查了考查等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，读懂题意即可作图；
（ 2 ） 依 据 题 意 ， 由 ， ， 从 而 ， 又
，进而可以判断得解；
（3）①依据题意，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，延长 到点 ，使得
，连接 ， ．由 是 中点，从而 ， ，又 ，从而
，可得 ，同理可得， ，
进而可得 ，证得 ，故 即可判断得解；
②依据题意，由 ，可得 、 、 、 四点共圆，则 ，进而可得
， 从 而 ， 故
，最后可以判断得解．
【小问1详解】
补全图形如图．
【小问2详解】
证明： ， ，
．
，
．
【小问3详解】
① 为等腰三角形， ．
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证明：延长 到点 ，使得 ，
连接 ， ，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ．
是 中点，
，
由题意， ，
又 ，
．
，
．
同理可得， ．
．
．
．
．
．
．
为等腰三角形．
② ，
、 、 、 四点共圆．
又 ，则 是圆的直径
．
又 ，
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．
．
，M是 中点，
．
．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段 ，直线l和图形W给出如下定义：线段 关于直线l的对
称线段为 （ 分别是M，N的对应点）．若 与 均与图形W（包括内部和边界）有公
共点，则称线段 为图形W关于直线l的“对称连接线段”．
（1）如图1，已知圆O的半径是2， 的横、纵坐标都是整数．在线段
中，是 关于直线 的“对称连接线段”的是 ．
（2）如图2，已知点 ，以O为中心的正方形 的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段
是正方形 关于直线 的“对称连接线段”，求k的取值范围．
（3）已知 的半径为r，点 ，线段 的长度为1．若对于任意过点Q 的直线l，都存在
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线段 是 关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握“对称连接
线段”的定义成为解题的关键．
（1）直接根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质进行解答即可；
（2）先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点P的对称点是 和 时
是临界点即可解答；
（3）如图3：连接 ，则 ，然后根据图形及“对称连接线段”的定义即可解答．
【小问1详解】
解：如图1:
因为 关于 的对称点是 在 上，所以 是 关于直线 的“对称连接线
段”，
因为 和 关于 的对称点是 和 在 外，所以 不是 关于直线 的
“对称连接线段”，
因为 关于 的对称点是 在 内，所以 是 关于直线 的“对称连接线段”．
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故答案为： ．
【小问2详解】
解：如图2：
设直线 交y轴于A，根据轴对称的性质，点P和它的对称点到A的距离相等，
所以点P的对称点在以A为圆心，1为半径的圆上运动，
当点P的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件，
过点P的对称点是 和 时是临界，此时k的值分别是1和 ．
∴ 或 ．
【小问3详解】
解：如图3：
连接 ，则 ，
∴点M关于过Q的直线的对称点在以Q为圆心， 为半径的圆上运动，点N在以Q为圆心，半径是
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和 的圆上运动，
设半径是 的圆交y轴于点W，
∴ ．
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