周南中学2025届高三上学期第四阶段考试数学试卷参考答案_A1502026各地模拟卷（超值！）_12月_241207湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高三上学期第四阶段模拟考试

周南中学 2025 届高三上学期第四阶段考试数学试卷参考答案
1. 已知集合 A={x∈N∗/−2<x<7),B={x/log (x−2)<2) ,则 A∩B 为( )
2
A. {3,4,5} B. {1,2,3,4,5} C. {−2<x≤6} D. {2<x≤6}
【答案】 A
【解析】【解答】解: 由题知: A={x∈N∗/−2<x<7)={1,2,3,4,5,6} ,
因为函数 y=log x 单调递增,所以
2
B={x∣log (x−2)<2)={x∣0<x−2<22)={x∣2<x<6} ,所以 A∩B={3,4,5} .
2
2
2. 在复平面内,若 i 是虚数单位,复数 z 与 关于虚轴对称,则 z= ( )
1+i3
A. 1+i B. −1−i C. −1+i D. 1−i
【答案】 C
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义, 复数的四则运算, 考查运算求解能力, 属于基础题.
利用复数代数形式的乘除运算化简, 再由复数的几何意义得答案.
2 2 2(1+i)
【解答】解: ∵ = = =1+i ,
1+i3 1−i (1−i)(1+i)
2
由复数 z 与 对应的点关于虚轴对称,∴z=−1+i .
1−i
3. 已知向量 ⃗a=(1,0),⃗b=(1,1) ,若 (λ⃗a−⃗b)⊥⃗b ,则 λ= ( )
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】 D
【解析】【分析】
本题主要考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系, 向量线性运算的坐标表示, 属于基础
题.先进行向量的线性坐标运算, 再利用向量垂直的数量积的坐标表示求解可得.
【解答】
解: ∵⃗a=(1,0),⃗b=(1,1),∴λ⃗a−⃗b=(λ−1,−1) .
因为 (λ⃗a−⃗b)⊥⃗b ,所以 (λ⃗a−⃗b)⋅⃗b=0 ,
则 (λ−1)×1+(−1)×1=λ−2=0 ,解得 λ=2 .
1
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故选: D .
4.【答案】 D
{x2+2x,x≤0)
5. 已知函数 f (x)= ,则函数 g(x)=|f (1−x))−1 的零点个数为( )
|lnx),x>0
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案: C
6. 在中国古代, 人们用圭表测量日影长度来确定节气, 一年之中日影最长的一天被定为冬至. 从
冬至算起, 依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、 小满、
芒种这十二个节气, 其日影长依次成等差数列, 若冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺,小
寒、雨水,清明日影长之和为 28.5 尺,则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为( )
A. 25.5 尺 B. 34.5 尺 C. 37.5 尺 D. 96 尺
【答案】A
【详解】设从冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列 {a ) ,如冬至日的日影长为 a 尺,设公差为 d 尺.
n 1
由题可知,所以 a +a +a =31.5⇒3a =31.5⇒a =10.5 ,
1 4 7 4 4
a +a +a =28.5⇒3a =28.5⇒a =9.5 ,d=a −a =9.5−10.5=−1,
2 5 8 5 5 5 4
a +a +a =3a =3(a +d)=3×(9.5−1)=3×8.5=25.5 ,
3 6 9 6 5
故选: A.
( ❑√2) ( ❑√2)
7. 已知 ⃗a= ❑√3sinωx,cosωx− ,⃗b= cosωx,cosωx+ ω>0 ,若函数 f (x)=⃗a⋅⃗b
2 2
在区间 [0,π) 上恰好有 5 个最大值,4 个最小值,则实数 ω 的取值范围是 ( )
[25 14) [25 14) [14 31) [14 31)
A. , B. , C. , D. ,
6 3 6 3 3 6 3 6
【答案】B
【详解】根据题意可得:
f (x)=⃗a⋅⃗b=❑√3sinωxcosωx+cos2ωx− 1 = ❑√3 sin2ωx+ 1 cos2ωx=sin ( 2ωx+ π)
2 2 2 6
π [π π)
由于 x∈[0,π) ,可得: 2ωx+ ∈ ,2ωπ+ ,
6 6 6
由于函数 f (x) 恰好有 5 个最大值,4 个最小值,
π π 3π 25 14
则 4×2π+ ≤2ωπ+ <4×2π+ ,解得 ≤ω< .
2 6 2 6 3
2
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故选: B
8.
【答案】B
【解析】由图可知,两个函数图象都在 x 轴上方,所以 f′(x)>0，f (x) 单调递增,
所以实线为 f (x) 的图象,虚线为 f′(x) 的图象, f (0)=f′(0)=1 ,
对 A，y′=f′(x)+1>0，y=f (x)+x 单调递增,无最大值, A 错误；
ex[f (x)−f′(x)) e0[f (0)−f′(0))
对 B，y′= 2 ，y′) x=0 = 2 =0 ,
[f (x)) [f (0))
由图可知,当 x<0 时, f (x)−f′(x)<0 ,当 x>0 时, f (x)−f′(x)>0 ,
ex
所以 y= 在 (−∞,0) 上单调递减,在 (0,+∞) 上单调递增,
f (x)
e0
所以当 x=0 时,函数取得最小值 y = =1 , B 正确；
min f (0)
对 C，y′=[f′(x)+f (x))ex ,由图可知 f (x)+f′(x)>0 ,
所以 y=f (x)⋅ex 在 R 上单调递增,无最大值, C 错误；
f′(x)−f (x)
对 D , y′= ,由图可知,当 x<0 时, f (x)−f′(x)>0 ,
ex
f (x)
当 x>0 时, f (x)−f′(x)<0 ,所以函数 y= 在 (−∞,0) 上单调递增,在 (0,+∞) 上单调
ex
f (0)
递减,当 x=0 时,函数取得最大值 y = =1 , D 错误,故选: B
max e0
9. 某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示, 根据此折线图, 下面结论正确的是( )
A. 这 14 天日促销量的众数是 214
B. 这 14 天日促销量的中位数是 196
3
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C. 这 14 天日促销量的极差为 195
D. 这 14 天日促销量的第 80 百分位数是 243
9.AC 【详解】根据题意得蓝莓每日促销量从小到大排列得到数据为:
80,83,138,155,157,165,179,214,214,221,243,260,263,275,
对于 A ,则这 14 天蓝莓每日促销量的众数是 214,故 A 正确;
179+214
对于 B,这 14 天蓝莓每日促销量的中位数是第 7 和 8 个数据的平均值,即 =196.5
2
, 故 B 错误;
对于 C,这 14 天蓝莓每日促销量的极差是 275−80=195 ,故 C 正确;
对于 D ,因为 14×0.8=11.2 ,所以这 14 天蓝莓每日促销量的第 80 百分位数为第 12 个数
据, 即 260 , 故 D 错误. 故选: AC.
x2 y2 y2
10. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 与双曲线 E:x2− =1 有相同的焦点 F ,F ,且它们
a2 b2 3 1 2
4
的离心率之积为 ,点 P 是 C 与 E 的一个公共点,则( )
5
x2 y2
A. 椭圆 C 的方程为 + =1
25 21
B. 三角形 PF F 为等腰三角形
1 2
C. 过点 F 作 E 的一条渐近线的垂线,垂足为 M ,则三角形 M F F 面积为 ❑√3
2 1 2
D. 对于 E 上的任意一点 Q,⃗QF ⋅⃗QF ≠0
1 2
10.ABC
【详解】
y2
由双曲线 E:x2− =1 的方程可知,双曲线的焦点 F (−2,0),F (2,0) ,
3 1 2
√1+3 2
离心率为 ❑ =2 ,所以椭圆的焦点为 F (−2,0),F (2,0) ,离心率为 ,
1 1 2 5
4
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所以椭圆中, a=5,c=2,b=❑√a2−c2=❑√21 ,
根据对称性,不妨设 |PF )>|PF ) ,则 |PF )−|PF )=2 ,
1 2 1 2
又根据椭圆的定义可知, |PF )+|PF )=2a=10 ,
1 2
{|PF )−|PF )=2)
所以联立 1 2 ,解得 |PF )=6,|PF )=4 ,
|PF )+|PF )=10 1 2
1 2
|F F )=4 ,所以 |PF )=|F F ) ,所以 △PF F 为等腰三角形, B 正确;, C 正确;
1 2 2 1 2 1 2
三角形 M F F 面积 =2× 三角形 MOF 面积 =❑√3 , C 正确；
1 2 2
y2
设 Q(x ,y ) ,则 x2− 1=1,⃗QF =(−2−x ,−y ),⃗QF =(2−x ,−y ) ,
1 1 1 3 1 1 1 2 1 1
y2
4
所以 ⃗QF ⋅⃗QF =x2−4+ y2=1+ 1−4+ y2= y2−3=0 ,
1 2 1 1 3 1 3 1
3 ❑√7
解得 y =± ,此时 x =± ,
1 2 1 2
(❑√7 3) (❑√7 3) ( ❑√7 3) ( ❑√7 3)
所以存在点 Q 的坐标为 , 或 ,− 或 − , 或 − ,− ,
2 2 2 2 2 2 2 2
使得 ⃗QF ⋅⃗QF =0,D 错误;
1 2
故选: ABC.
11. 如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD−A B C D 中, E,F 分别是棱 B C ,C D 的中点,
1 1 1 1 1 1 1 1
P 是正方形 A B C D 内的动点,则下列结论正确的是( )
1 1 1 1
A. 若 DP// 平面 CEF ,则点 P 的轨迹长度为 2❑√2
B. 若 AP=❑√17 ,则点 P 的轨迹长度为 2π
C. 若 P 是正方形 A B C D 的中心, Q 在线段 EF 上,则 PQ+CQ 的最小值为 4❑√2
1 1 1 1
5
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D. 若 P 是棱 A B 的中点,三棱锥 P−CEF 的外接球球心为 O ,则平面 A BCD 截球
1 1 1 1
81π
O 所得截面的面积为
8
11.ACD
【详解】如图,取 A D ,A B 的中点为 N,M ,连接 MN,DN,BD,BM,NE,B D ,
1 1 1 1 1 1
所以 MN//B D ,又 E,F 分别是棱 B C ,C D 的中点,
1 1 1 1 1 1
所以 EF//B D ,所以 MN//EF ,
1 1
MN⊄ 平面 CEF,EF⊂ 平面 CEF ,
∴MN// 平面 CEF ,
因为 N,E 分别是棱 A D ,B C 的中点,所以 NE//CD ,且 NE=CD ,
1 1 1 1
所以四边形 CDNE 为平行四边形,
所以 ND//CE ,又 ND⊄ 平面 CEF,CE⊂ 平面 CEF ,
∴ND// 平面 CEF ,
又 MN∩ND=N,MN,ND⊂ 平面 BDNM ,
所以平面 BDNM// 平面 CEF ,
点 P 是正方形 A B C D 内的动点,且 DP// 平面 CEF ,
1 1 1 1
所以点 P 的轨迹为线段 MN ,由勾股定理得 MN=❑√22+22=2❑√2 ,故 A 正确;
如图,以 A 为原点,以 AB,AD,A A 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,
1
6
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由题意得 A(0,0,0) ,设 P(x,y,4) ,AP=❑√x2+ y2+16=❑√17,
1
所以 x2+ y2=1 ,所以点 P 的轨迹为 A 为圆心,半径为 1 的 个圆,
1 4
1 π
所以点 P 的轨迹长度为 ⋅2π= . 故 B 错误;
4 2
如图,将平面 CEF 翻折到与平面 A B C D 共面,
1 1 1 1
连接 PC ,与 EF 交于点 Q ,此时 PQ+CQ 取到最小值,
∵CE=CF=❑√22+42=2❑√5 ,且 PE=PF=2 ,
1
所以点 Q 为 EF 的中点,所以 PQ=EQ= ❑√22+22=❑√2 ,
2
所以 CQ=❑√CE2−EQ2=❑√20−2=3❑√2 ,
即 PQ+CQ 的最小值为 4❑√2 ,故 C 正确;
如图,连接 PF ,交 B D 于点 O ,连接 PE ,
1 1 1
若 P 是棱 A B 的中点,则 ∠FEP=90∘ ,
1 1
所以 FP 是 △PEF 外接圆的一条直径,所以 O 是 △PEF 外接圆的圆心,
1
过点 O 作平面 ABCD 的垂线,则三棱锥 P−CEF 的外接球的球心 O 一定在该垂线上,
1
连接 OP ,设 OO =t ,则 22+t2=R2 ,
1
1 1
连接 OC, AC= ❑√42+42=2❑√2 ,所以 (4−t) 2+(2❑√2) 2=R2 ,
2 2
7
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5
所以 22+t2=(4−t) 2+(2❑√2) 2 ,解得 t= ,
2
25 41 81π
所以 R2=22+ = ,易得截面的面积为 ,故 D 正确;
4 4 8
故选: ACD.
19
12. -3；13. 10；14.
81
15. (本小题 13 分)
❑√2a−b
在 △ABC 中,角 A,B,C 对应的的三边分别是 a,b,c ,且 =❑√2cosB .
c
(1) 求角 C 的值;
(2) 若 c=1,2tan A=3tanB ,求 △ABC 的面积.
❑√2a−b
【答案】解:(1)因为 =❑√2cosB ,所以 ❑√2sin A−sinB=❑√2sinCcosB ,
c
则 ❑√2sin(B+C)−sinB=❑√2sinCcosB ,
所以 ❑√2sinBcosC=sinB,0<B<π,sinB≠0 ,
❑√2 π
故 cosC= ,又 0<C<π ,所以 C= .
2 4
( π) tan A−1
(2)若 c=1,2tan A=3tanB=−3tan A+ =−3× ,
4 1−tan A
1
2tan2A−5tanA−3=0 解得 tanA=3,tanA=− (舍去),
2
3❑√10 2❑√5 a c 3❑√5
则 tanB=2 ,所以 sin A= ,sinB= ,由 = ,得 a= ,
10 5 sinA sinC 5
1 1 3❑√5 2❑√5 3 3
S= acsinB= × ×1× = ,△ABC 的面积为 .
2 2 5 5 5 5
16. 如图,在三棱柱 ABC−A B C 中, AB=AC=❑√5,BC=2 ,侧面 BB C C 是正方形, D
1 1 1 1 1
2π
为 BC 的中点,二面角 A−BC−B 的大小是 .
1 3
8
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( 1 )求证:平面 A A D⊥ 平面 ABC ；
1
(2)若 E 为线段 BD 的中点,求直线 C E 与平面 ACC A 所成角的正弦值.
1 1 1
证明 (1) 因 BB C C 是正方形,则 BC⊥BB ,因 BB //A A ,故 BC⊥A A . 由
1 1 1 1 1 1
AB=AC,CD=DB ,则 AD⊥BC . 因 A A ∩AD=A ,则 BC⊥ 平面 A A D , 又
1 1
BC⊂ 平面 ABC ,故平面 A A D⊥ 平面 ABC .
1
3❑√3
(2)
10
如图,取 C B 的中点 M ,连接 DM ,易得 DM⊥CB ,因 AD⊥BC ,
1 1
2π π
故 ∠ADM 即二面角 A−BC−B 的平面角,即 ∠ADM= , 易得 ∠A AO= ,取
1 3 1 3
AD 中点 O ,连接 OA ,过点 O 作 OF//BC ,交 AB 于 F , 因
1
AD=❑√(❑√5) 2 −12=2=A A ,故得正三角形 A A D ,则 A O⊥AD , 由(1)得平面
1 1 1
A A D⊥ 平面 ABC ,且平面 A A D∩ 平面 ABC=AD,A O⊂ 平面 A A D ,故得
1 1 1 1
A O⊥ 平面 ABC .
1
因此可分别以 ⃗OF,⃗OD,⃗OA 为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
1
3❑√3
易得直线 C E 与平面 ACC A 所成角的正弦值为 .
1 1 1 10
17. 数列 {a ) 为等差数列, a 为正整数,其前 n 项和为 S ,数列 {b ) 为等比数列,且
n n n n
a =3,b =1
,
1 1
数列 {b ) 是公比为 64 的等比数列, b S =64 .
a 2 2
n
(1) 求 a ,b ;
n n
1 1 1 3
(2)求证 + +⋯+ < .
S S S 4
1 2 n
9
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17.【答案】(1) a =2n+1,b =8n−1
n n
(2)证明见解析.
【分析】(1)利用基本量代换,列方程组求出 d、q ,即可得到 a ,b ;
n n
(2)利用裂项相消法求和即可证明.
【详解】(1)设 {a ) 的公差为 d , {b ) 的公比为 q ,
n n
则 d 为正整数,a =3+(n−1)d,b =qn−1 ,
n n
{
b
a n+1=
q3+nd
=qd=64=26)
依题意有 b q3+(n−1)d ①
a
n
S b =(6+d)q=64
2 2
由 (6+d)q=64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子1,2,3,6之一,
解① 得 d=2,q=8
故 a =3+2(n−1)=2n+1,b =8n−1
n n
1 1
(2) S =3+5+⋯+(2n+1)=n(n+2),∴ =
n S n(n+2)
n
1 1 1 1 1 1 1
∴ + +⋯+ = + + +⋯+
S S S 1×3 2×4 3×5 n(n+2)
1 2 n
1( 1 1 1 1 1 1 1 )
= 1− + − + − +⋯+
2 3 2 4 3 5 n n+2
1( 1 1 1 )
= 1+ − −
2 2 n+1 n+2
3 1( 1 1 ) 3
= − + < .
4 2 n+1 n+2 4
即证。
x2 y2 8❑√3
18. (1) + =1；(2) ① ;②2
4 3 5
19.定义：如果函数 f(x) 在定义域内，存在极大值 f (x ) 和极小值 f (x ) ，且存在一个常数k
1 2
，使 f (x )−f (x )=k(x −x ) 成立，则称函数 f(x) 为极值可差比函数，常数 k 称为该函数
1 2 1 2
1
的极值差比系数. 已知函数 f(x)=x− −aln⁡x.
x
5
(1)当 a= 时, 判断 f(x) 是否为极值可差比函数, 并说明理由;
2
(2) 是否存在 a 使 f(x) 的极值差比系数为 2−a ? 若存在, 求出 a 的值; 若不存在, 请说明理由;
3❑√2 5
(3) 若 ≤a≤ , 求 f(x) 的极值差比系数的取值范围.
2 2
10
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5 1 5
【详解】（1）当 a= 时， f(x)=x− − ln⁡x(x>0),
2 x 2
1 5 (2x−1)(x−2)
所以 f′ (x)=1+ − = ,
x2 2x 2x2
( 1) (1 )
当 x∈ 0, ∪(2,+∞) 时, f′ (x)>0; 当 x∈ ,2 时, f′ (x)<0,
2 2
( 1) (1 )
所以 f(x) 在 0, 和 (2,+∞) 上单调递增, 在 ,2 上单调递减,
2 2
(1) 5 3 3 5
所以 f(x) 的极大值为 f = ln⁡2− , 极小值为 f(2)= − ln⁡2,
2 2 2 2 2
(1) ( 10 )(1 )
所以 f −f(2)= 2− ln⁡2 −2 ，因此 f(x) 是极值可差比函数。
2 3 2
1 a x2−ax+1
(2) f(x) 的定义域为 (0,+∞),f′ (x)=1+ − , 即 f′ (x)= ,
x2 x x2
假设存在 a, 使得 f(x) 的极值差比系数为 2−a, 则 x ,x 是方程 x2−ax+1=0 的两个不等正
1 2
实根，
{Δ=a2−4>0
x +x =a , 解得 a>2, 不妨设 x <x , 则 x >1,
1 2 1 2 2
x x =1
1 2
1 ( 1 )
由于 f (x )−f (x )=x − −aln⁡x − x − −aln⁡x
1 2 1 x 1 2 x 2
1 2
=(x −x ) ( 1+ 1 ) −aln⁡ x 1
1 2 x x x
1 2 2
x ( a x )
=2(x −x )−aln⁡ 1= 2− ln⁡ 1 (x −x ),
1 2 x x −x x 1 2
2 1 2 2
a x 1 x
所以 2−a=2− ln⁡ 1 , 从而 ln⁡ 1=1,
x −x x x −x x
1 2 2 1 2 2
1
得 x − −2ln⁡x =0,(∗)
2 x 2
2
1 x2−2x+1 (x−1) 2
令 g(x)=x− −2ln⁡x(x>1),g′ (x)= = >0,
x x2 x2
所以 g(x) 在 (1,+∞) 上单调递增, 有 g(x)>g(1)=0,
因此 ∗) 式无解，即不存在 a 使 f(x) 的极值差比系数为 2−a 。
a x
（3）由（2）知极值差比系数为 2− ln⁡ 1 ，
x −x x
1 2 2
x +x x
即 2− 1 2 ln⁡ 1 ，不妨设 0<x <x ，
x −x x 1 2
1 2 2
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x t+1
令 t= 1,t∈(0,1), 极值差比系数可化为 2− ln⁡t,
x t−1
2
(x +x ) 2 x x 1
a2= 1 2 = 1+ 2+2=t+ +2,
x x x x t
1 2 2 1
3❑√2 5 1 1
又 ≤a≤ , 解得 ≤t≤ ,
2 2 4 2
1
2ln⁡t+ −t
令 p(t)=2− t+1 ln⁡t (1 ≤t≤ 1) ,p′ (t)= t ，
t−1 4 2 (t−1) 2
1 (1 ) 2 1 2−1−t2
设 ℎ(t)=2ln⁡t+ −t ≤t≤1 ,ℎ(t)= − −1=
t 4 t t2 t2
(t−1) 2 [1 ] [1 ] (1)
=− ≤0 所以 ℎ(t) 在 ,1 上单调递减, 当 t∈ ,1 时, ℎ(t)≥ℎ > ℎ(1)=0,
t2 4 4 2
从而 p′ (t)>0,
[1 1] (1) (1)
所以 p(t) 在 , 上单调递增, 所以 p ≤p(t)≤p ,
4 2 4 2
10
即 2− ln⁡2≤p(t)≤2−3ln⁡2 。
3
[ 10 ]
故 f(x) 的极值差比系数的取值范围为 2− ln⁡2,2−3ln⁡2 .
3
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