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周南中学 2025 届高三上学期第四阶段考试数学试卷参考答案
1. 已知集合 A={x∈N∗/−20
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案: C
6. 在中国古代, 人们用圭表测量日影长度来确定节气, 一年之中日影最长的一天被定为冬至. 从
冬至算起, 依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、 小满、
芒种这十二个节气, 其日影长依次成等差数列, 若冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺,小
寒、雨水,清明日影长之和为 28.5 尺,则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为( )
A. 25.5 尺 B. 34.5 尺 C. 37.5 尺 D. 96 尺
【答案】A
【详解】设从冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列 {a ) ,如冬至日的日影长为 a 尺,设公差为 d 尺.
n 1
由题可知,所以 a +a +a =31.5⇒3a =31.5⇒a =10.5 ,
1 4 7 4 4
a +a +a =28.5⇒3a =28.5⇒a =9.5 ,d=a −a =9.5−10.5=−1,
2 5 8 5 5 5 4
a +a +a =3a =3(a +d)=3×(9.5−1)=3×8.5=25.5 ,
3 6 9 6 5
故选: A.
( ❑√2) ( ❑√2)
7. 已知 ⃗a= ❑√3sinωx,cosωx− ,⃗b= cosωx,cosωx+ ω>0 ,若函数 f (x)=⃗a⋅⃗b
2 2
在区间 [0,π) 上恰好有 5 个最大值,4 个最小值,则实数 ω 的取值范围是 ( )
[25 14) [25 14) [14 31) [14 31)
A. , B. , C. , D. ,
6 3 6 3 3 6 3 6
【答案】B
【详解】根据题意可得:
f (x)=⃗a⋅⃗b=❑√3sinωxcosωx+cos2ωx− 1 = ❑√3 sin2ωx+ 1 cos2ωx=sin ( 2ωx+ π)
2 2 2 6
π [π π)
由于 x∈[0,π) ,可得: 2ωx+ ∈ ,2ωπ+ ,
6 6 6
由于函数 f (x) 恰好有 5 个最大值,4 个最小值,
π π 3π 25 14
则 4×2π+ ≤2ωπ+ <4×2π+ ,解得 ≤ω< .
2 6 2 6 3
2
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故选: B
8.
【答案】B
【解析】由图可知,两个函数图象都在 x 轴上方,所以 f′(x)>0，f (x) 单调递增,
所以实线为 f (x) 的图象,虚线为 f′(x) 的图象, f (0)=f′(0)=1 ,
对 A，y′=f′(x)+1>0，y=f (x)+x 单调递增,无最大值, A 错误；
ex[f (x)−f′(x)) e0[f (0)−f′(0))
对 B，y′= 2 ，y′) x=0 = 2 =0 ,
[f (x)) [f (0))
由图可知,当 x<0 时, f (x)−f′(x)<0 ,当 x>0 时, f (x)−f′(x)>0 ,
ex
所以 y= 在 (−∞,0) 上单调递减,在 (0,+∞) 上单调递增,
f (x)
e0
所以当 x=0 时,函数取得最小值 y = =1 , B 正确；
min f (0)
对 C，y′=[f′(x)+f (x))ex ,由图可知 f (x)+f′(x)>0 ,
所以 y=f (x)⋅ex 在 R 上单调递增,无最大值, C 错误；
f′(x)−f (x)
对 D , y′= ,由图可知,当 x<0 时, f (x)−f′(x)>0 ,
ex
f (x)
当 x>0 时, f (x)−f′(x)<0 ,所以函数 y= 在 (−∞,0) 上单调递增,在 (0,+∞) 上单调
ex
f (0)
递减,当 x=0 时,函数取得最大值 y = =1 , D 错误,故选: B
max e0
9. 某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示, 根据此折线图, 下面结论正确的是( )
A. 这 14 天日促销量的众数是 214
B. 这 14 天日促销量的中位数是 196
3
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C. 这 14 天日促销量的极差为 195
D. 这 14 天日促销量的第 80 百分位数是 243
9.AC 【详解】根据题意得蓝莓每日促销量从小到大排列得到数据为:
80,83,138,155,157,165,179,214,214,221,243,260,263,275,
对于 A ,则这 14 天蓝莓每日促销量的众数是 214,故 A 正确;
179+214
对于 B,这 14 天蓝莓每日促销量的中位数是第 7 和 8 个数据的平均值,即 =196.5
2
, 故 B 错误;
对于 C,这 14 天蓝莓每日促销量的极差是 275−80=195 ,故 C 正确;
对于 D ,因为 14×0.8=11.2 ,所以这 14 天蓝莓每日促销量的第 80 百分位数为第 12 个数
据, 即 260 , 故 D 错误. 故选: AC.
x2 y2 y2
10. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 与双曲线 E:x2− =1 有相同的焦点 F ,F ,且它们
a2 b2 3 1 2
4
的离心率之积为 ,点 P 是 C 与 E 的一个公共点,则( )
5
x2 y2
A. 椭圆 C 的方程为 + =1
25 21
B. 三角形 PF F 为等腰三角形
1 2
C. 过点 F 作 E 的一条渐近线的垂线,垂足为 M ,则三角形 M F F 面积为 ❑√3
2 1 2
D. 对于 E 上的任意一点 Q,⃗QF ⋅⃗QF ≠0
1 2
10.ABC
【详解】
y2
由双曲线 E:x2− =1 的方程可知,双曲线的焦点 F (−2,0),F (2,0) ,
3 1 2
√1+3 2
离心率为 ❑ =2 ,所以椭圆的焦点为 F (−2,0),F (2,0) ,离心率为 ,
1 1 2 5
4
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所以椭圆中, a=5,c=2,b=❑√a2−c2=❑√21 ,
根据对称性,不妨设 |PF )>|PF ) ,则 |PF )−|PF )=2 ,
1 2 1 2
又根据椭圆的定义可知, |PF )+|PF )=2a=10 ,
1 2
{|PF )−|PF )=2)
所以联立 1 2 ,解得 |PF )=6,|PF )=4 ,
|PF )+|PF )=10 1 2
1 2
|F F )=4 ,所以 |PF )=|F F ) ,所以 △PF F 为等腰三角形, B 正确;, C 正确;
1 2 2 1 2 1 2
三角形 M F F 面积 =2× 三角形 MOF 面积 =❑√3 , C 正确；
1 2 2
y2
设 Q(x ,y ) ,则 x2− 1=1,⃗QF =(−2−x ,−y ),⃗QF =(2−x ,−y ) ,
1 1 1 3 1 1 1 2 1 1
y2
4
所以 ⃗QF ⋅⃗QF =x2−4+ y2=1+ 1−4+ y2= y2−3=0 ,
1 2 1 1 3 1 3 1
3 ❑√7
解得 y =± ,此时 x =± ,
1 2 1 2
(❑√7 3) (❑√7 3) ( ❑√7 3) ( ❑√7 3)
所以存在点 Q 的坐标为 , 或 ,− 或 − , 或 − ,− ,
2 2 2 2 2 2 2 2
使得 ⃗QF ⋅⃗QF =0,D 错误;
1 2
故选: ABC.
11. 如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD−A B C D 中, E,F 分别是棱 B C ,C D 的中点,
1 1 1 1 1 1 1 1
P 是正方形 A B C D 内的动点,则下列结论正确的是( )
1 1 1 1
A. 若 DP// 平面 CEF ,则点 P 的轨迹长度为 2❑√2
B. 若 AP=❑√17 ,则点 P 的轨迹长度为 2π
C. 若 P 是正方形 A B C D 的中心, Q 在线段 EF 上,则 PQ+CQ 的最小值为 4❑√2
1 1 1 1
5
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D. 若 P 是棱 A B 的中点,三棱锥 P−CEF 的外接球球心为 O ,则平面 A BCD 截球
1 1 1 1
81π
O 所得截面的面积为
8
11.ACD
【详解】如图,取 A D ,A B 的中点为 N,M ,连接 MN,DN,BD,BM,NE,B D ,
1 1 1 1 1 1
所以 MN//B D ,又 E,F 分别是棱 B C ,C D 的中点,
1 1 1 1 1 1
所以 EF//B D ,所以 MN//EF ,
1 1
MN⊄ 平面 CEF,EF⊂ 平面 CEF ,
∴MN// 平面 CEF ,
因为 N,E 分别是棱 A D ,B C 的中点,所以 NE//CD ,且 NE=CD ,
1 1 1 1
所以四边形 CDNE 为平行四边形,
所以 ND//CE ,又 ND⊄ 平面 CEF,CE⊂ 平面 CEF ,
∴ND// 平面 CEF ,
又 MN∩ND=N,MN,ND⊂ 平面 BDNM ,
所以平面 BDNM// 平面 CEF ,
点 P 是正方形 A B C D 内的动点,且 DP// 平面 CEF ,
1 1 1 1
所以点 P 的轨迹为线段 MN ,由勾股定理得 MN=❑√22+22=2❑√2 ,故 A 正确;
如图,以 A 为原点,以 AB,AD,A A 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,
1
6
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由题意得 A(0,0,0) ,设 P(x,y,4) ,AP=❑√x2+ y2+16=❑√17,
1
所以 x2+ y2=1 ,所以点 P 的轨迹为 A 为圆心,半径为 1 的 个圆,
1 4
1 π
所以点 P 的轨迹长度为 ⋅2π= . 故 B 错误;
4 2
如图,将平面 CEF 翻折到与平面 A B C D 共面,
1 1 1 1
连接 PC ,与 EF 交于点 Q ,此时 PQ+CQ 取到最小值,
∵CE=CF=❑√22+42=2❑√5 ,且 PE=PF=2 ,
1
所以点 Q 为 EF 的中点,所以 PQ=EQ= ❑√22+22=❑√2 ,
2
所以 CQ=❑√CE2−EQ2=❑√20−2=3❑√2 ,
即 PQ+CQ 的最小值为 4❑√2 ,故 C 正确;
如图,连接 PF ,交 B D 于点 O ,连接 PE ,
1 1 1
若 P 是棱 A B 的中点,则 ∠FEP=90∘ ,
1 1
所以 FP 是 △PEF 外接圆的一条直径,所以 O 是 △PEF 外接圆的圆心,
1
过点 O 作平面 ABCD 的垂线,则三棱锥 P−CEF 的外接球的球心 O 一定在该垂线上,
1
连接 OP ,设 OO =t ,则 22+t2=R2 ,
1
1 1
连接 OC, AC= ❑√42+42=2❑√2 ,所以 (4−t) 2+(2❑√2) 2=R2 ,
2 2
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5
所以 22+t2=(4−t) 2+(2❑√2) 2 ,解得 t= ,
2
25 41 81π
所以 R2=22+ = ,易得截面的面积为 ,故 D 正确;
4 4 8
故选: ACD.
19
12. -3；13. 10；14.
81
15. (本小题 13 分)
❑√2a−b
在 △ABC 中,角 A,B,C 对应的的三边分别是 a,b,c ,且 =❑√2cosB .
c
(1) 求角 C 的值;
(2) 若 c=1,2tan A=3tanB ,求 △ABC 的面积.
❑√2a−b
【答案】解:(1)因为 =❑√2cosB ,所以 ❑√2sin A−sinB=❑√2sinCcosB ,
c
则 ❑√2sin(B+C)−sinB=❑√2sinCcosB ,
所以 ❑√2sinBcosC=sinB,00),
2 x 2
1 5 (2x−1)(x−2)
所以 f′ (x)=1+ − = ,
x2 2x 2x2
( 1) (1 )
当 x∈ 0, ∪(2,+∞) 时, f′ (x)>0; 当 x∈ ,2 时, f′ (x)<0,
2 2
( 1) (1 )
所以 f(x) 在 0, 和 (2,+∞) 上单调递增, 在 ,2 上单调递减,
2 2
(1) 5 3 3 5
所以 f(x) 的极大值为 f = ln2− , 极小值为 f(2)= − ln2,
2 2 2 2 2
(1) ( 10 )(1 )
所以 f −f(2)= 2− ln2 −2 ，因此 f(x) 是极值可差比函数。
2 3 2
1 a x2−ax+1
(2) f(x) 的定义域为 (0,+∞),f′ (x)=1+ − , 即 f′ (x)= ,
x2 x x2
假设存在 a, 使得 f(x) 的极值差比系数为 2−a, 则 x ,x 是方程 x2−ax+1=0 的两个不等正
1 2
实根，
{Δ=a2−4>0
x +x =a , 解得 a>2, 不妨设 x 1,
1 2 1 2 2
x x =1
1 2
1 ( 1 )
由于 f (x )−f (x )=x − −alnx − x − −alnx
1 2 1 x 1 2 x 2
1 2
=(x −x ) ( 1+ 1 ) −aln x 1
1 2 x x x
1 2 2
x ( a x )
=2(x −x )−aln 1= 2− ln 1 (x −x ),
1 2 x x −x x 1 2
2 1 2 2
a x 1 x
所以 2−a=2− ln 1 , 从而 ln 1=1,
x −x x x −x x
1 2 2 1 2 2
1
得 x − −2lnx =0,(∗)
2 x 2
2
1 x2−2x+1 (x−1) 2
令 g(x)=x− −2lnx(x>1),g′ (x)= = >0,
x x2 x2
所以 g(x) 在 (1,+∞) 上单调递增, 有 g(x)>g(1)=0,
因此 ∗) 式无解，即不存在 a 使 f(x) 的极值差比系数为 2−a 。
a x
（3）由（2）知极值差比系数为 2− ln 1 ，
x −x x
1 2 2
x +x x
即 2− 1 2 ln 1 ，不妨设 0 ℎ(1)=0,
t2 4 4 2
从而 p′ (t)>0,
[1 1] (1) (1)
所以 p(t) 在 , 上单调递增, 所以 p ≤p(t)≤p ,
4 2 4 2
10
即 2− ln2≤p(t)≤2−3ln2 。
3
[ 10 ]
故 f(x) 的极值差比系数的取值范围为 2− ln2,2−3ln2 .
3
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