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2.2 基本不等式（精练）（提升版）
题组一 基本不等式常考形式
1．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ，且 恒成立，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 等价于 ，
故得到 则 的最大值是4.故选：C.
2．（2022·山东·济南市历城第二中学）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】 ，
因为 ，又 ，所以 ，则
，
当且仅当 ，即 时，取等号，即 的最小值是7.故选：C
3．（2022··一模）（多选）已知 ， 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】BC
【解析】 ， 且 ， ，
对于A，利用基本不等式得 ，化简得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故A错误；
对于B， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ，故C正确；
对于D，
利用二次函数的性质知，当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增，
， ，故D错误；
故选：BC
4．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）（多选）已知 ， ，且 ，则（ ）
A．xy的取值范围是 B． 的取值范围是
C． 的最小值是3 D． 的最小值是
【答案】BD【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，
解得 ，即 ，则A错误.
因为 ， ，所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，则B正确.
因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 即 时等号成立.因为 .所以 ，则C错误.
，
当且仅当 即 时等号成立，则D正确.故选：BD
5．（2022·山东德州·高三期末）（多选）已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为16
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ACD
【解析】由 可得， ， （当且仅当
时，取等号），故A正确；
（当且仅当 时，取等号），即，故D正确；
（当且仅当 时，取等号）， （当且仅当 时，取等号），即 ，
故B错误；
，即 （当且仅当 时，取等号），故C正确；
故选：ACD
6．（2022·上海交大附中高三开学考试）设 ， ，则 的最小值是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，设 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）当 ， ， 时， 恒成立，则
的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【解析】因为 ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立．
因为 ．若 恒成立，则 ，解得 ．故选：AB.
8．（2022·重庆·高三阶段练习）已知 ，且 ，则 的最小值为__________.
【答案】2
【解析】因为 ，所以
=2，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立.
故答案为：2
9．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知， ＝ ＝ ＝ ＋ ＝（ ＋ ）（x＋y）
＝4＋5＋ ＋ ≥9＋2 ＝ ，
当且仅当 ＝ ， 时取等号， 此时 ，
故 的最小值为 ．
故答案为：
题组二1．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数 的一个极值点为1，若 ，则
的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．
【答案】B
【解析】对 求导得 ，
因为函数 的一个极值点为1，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为9.故选：B.
2．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数 且 的图象恒过定点 ，若点
在直线 上，其中 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 且 的图象恒过定点 ，
所以 ，即 ，所以 ，
又 ，所以
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号.故选：C.
3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知 、 ，直线 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 、 ，直线 ， ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，所以 的最小值为 ，故选：D
4．（2022·江西·模拟预测（理））若圆 上存在两点关于直线
对称，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【解析】由题可知圆的圆心为 ，若圆上存在两点关于 对称，则说明直线过圆心，即
，即 ，变形可得
故
当且仅当 ，即 时取得等号，故最小值为4.故选：B
5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若 ， ， ，则 的最小值等于
（ ）A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】由 ，且 ，所以 ，
又由 ，可得 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 最小值等于 .故选：D.
6．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）若两圆 （ ）和
（ ）恰有三条公切线，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】圆 化为 ，则圆心为 ，半径 ，
圆 化为 ，则圆心为 ，半径 ，
因为两圆 （ ）和 （ ）恰有三条公切线，
所以两圆外切，则圆心距 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，所以 的最小值为 .故选：C.
7．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知a、b、c、d均为正实数，且 ，则 的最
小值为（ ）
A．3 B．C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以 的
最小值为 的最小值，所以 ，当且仅当
时取等号，所以 的最小值为 .故选：D
8．（2022·安徽·池州市第一中学） 中， 为边 上的点（不包括端点 、 ），且
，满足则 （ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】D
【解析】因为 在边 上，设 ，其中 ，即 ，则
，
因为 ，则 且 ， ，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立.所以， 有最小值 .故选：D.9．（2022·安徽安庆·二模（文））如图，在 中，点 在边 上，且 .过点 的直线分别
交射线 、 于不同的两点 、 .若 ， ，则 （ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
【答案】B
【解析】先证明结论：设 为与 、 、 不在同一直线外的一点，三点 、 、 共线
且 .
若三点 、 、 共线，可设 ，其中 ，
则 ，所以， ，
设 ，则 ，
所以，三点 、 、 共线 且 .
若 且 ，则 ，
所以， ，可得 ，故三点 、 、 共线，
即三点 、 、 共线 且 .
所以，三点 、 、 共线 且 .本题中，连接 ，
则 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，由题意可知 且 ，
于是 ，
当且仅当 时， 取到最小值 .
故选：B.
10．（2022·甘肃张掖·高三期末（理））在等差数列 中 ，且 ，则
的最大值等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【解析】因为在等差数列 中 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以， 的最大值为4.故选：A.
11．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）若函数 的最大值为2，则下
列结论不一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，且最大值为 ，
所以 ，即 ，故A一定成立；
又 ，所以 ，
当且仅当a=b时等号成立，故B一定成立；
又 ，所以 ，
当且仅当a=b时等号成立，故C一定成立；
，当 同号时， ，
当 异号时， ，故D不一定成立.
故选：D
12．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数 是定义在 上的单调函数，若正实数 ， 满足
则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因为奇函数 是定义在 上的单调函数，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是 .
故选：B
13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知随机变量 ，若
，则 的最小值为___________.
【答案】9
【解析】依题意，由正态分布知识可得 ，
，
当且仅当 且 即 时等号成立.
所以 的最小值为9.
故答案为：9.
14．（2022·河南濮阳·高三阶段练习（理））已知 ， ，直线 与曲线 相切，
则 的最小值是______．
【答案】
【解析】设直线 与曲线 的切点为 ，对 求导得 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以切点为 ，
由切点 在切线 上，可得 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
题组三 连用两次基本不等式
1.已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________．
【答案】4
【解析】题意a＞b＞0，则a－b＞0，所以b(a－b)≤2＝，
所以a2＋≥a2＋≥2＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4.
2.若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．
【答案】4
【解析】∵x＞0，y＞0，∴2＋2≥2.
又2＝2xy＋＋2≥4，∴2＋2≥4，当且仅当
即x＝y＝时等号成立.
