文档内容
2.2 基本不等式（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 直接型
【例1-1】（2022·江西）当 时， 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】由 （当且仅当 时等号成立．）可得当 时， 的最小值为
故选：D
【例1-2】（2022·北京·高三学业考试）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 时取“=”.故选：B.
【例1-3】（2022·广东）已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（ ）
A．4 B．8 C． D．【答案】C
【解析】因为正实数a，b，满足2a+b=1，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以ab的最大值为 .故选：C
【一隅三反】
1．（2022·河南驻马店）已知a>0，则当 取得最小值时，a的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】∵a>0，∴ ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故选：C
2．（2021·江苏）若 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．4 B． C．9 D．18
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，所以 ，当且仅当 时取等号，故选：D
3．（2021·河南南阳）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，A不符合题意.
，当且仅当 ，即 时，等号成立，显然 不可能成立，
B不符合题意.
，当且仅当 ，即 时，等号成立，C符合题意.当 时， ，D不符合题意.故选：C
考点二 常数替代型
【例2-1】（2022·甘肃武威·高二期末（理））已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 （当且仅当 ，即
时取等号），即 的最小值为4.故选：D.
【例2-2】（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知p，q为正实数且 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可知 ，
，当 ，即 时，“ ”成立，故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·河南郑州）已知实数a>0，b>0， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ， .当且仅当 时等号成立.故选：B
2．（2022·山西太原）已知 为正实数， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】因为 所以
当且仅当 ，即 时等号成立故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知 ，乘“ ”得 ，当且仅
当 时，取等号，则 的最小值为 .故选：A
4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值是
（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 ，即 取等号.故选：B.
考点三 配凑型
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 ，
即 时等号成立.所以函数 的最小值是 .故选：D.
【例3-2】（2021·辽宁）已知正实数x，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 ，即y的最大值是 .故选：D.
【例3-3】（2021·河北邢台）若 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A
【解析】因 ，则 ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取
“=”，所以当 时， 有最大值 .故选：A
2．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模）函数 的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【解析】因为 ，所以3x－1>0，所以 ，
当且仅当 ，即x =1时等号成立，故函数 的最小值为5．选：D．
3．（2022·江苏徐州）设 ， 为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】∵ ，∴ ，即 ，
∴
，当且仅当 ，且 时，即 ， 时等号成立.
故选： .
考点四 消元型
【例4】（2022·重庆·西南大学附中）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】依题意正实数 ， 满足 ， ，
，当且仅当 ， 时等号成立.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·北京·人大附中高三阶段练习）已知正数 、 满足 ，则 的最小值是___________.
【答案】
【解析】因为 、 为正数，由基本不等式可得 ，所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 .故答案为： .
2．（2020·江苏·高考真题）已知 ，则 的最小值是_______．【答案】
【解析】∵ ∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .故答案为： .
3．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数 、 、 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为正实数 、 、 满足 ，则 ，
则 ，当且仅当 时取等号.
故 的最大值为 .故选：C.
考点五 求参范围
【例5】（2022·全国·高三专题练习）若对任意 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 即 时取等号，因为
恒成立，所以 ，即 ；故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， （当且仅当 时取等号），
，即 的取值范围为 .故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）若对任意 ， 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，对任意 ，则有 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，即 的最大值为 ，
又由对任意 时， 恒成立，所以 ，即 的取值范围为 .故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）若 ，且 恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式 恒成立，即 ，
，等号成立的条件是 ，即 ，与条件 联立，解得 ，
所以 的最小值是8，即 ，解得： .故选：A
