专题2-2费马点与加权费马点详细总结（原卷版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 2-2 费马点与加权费马点详细总结 知识点梳理 【常规费马点】 【加权费马点】 题型一 普通费马点最值问题 题型二 加权费马点·单系数型 题型三 加权费马点·多系数型 知识点梳理 【常规费马点】 【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC， 当 的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数. A P B C 【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’， AP＝A’P’，又∵∠PCP’ ＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC， ∴PA＋PB＋PC＝ P’A’＋PB＋ PP’， 如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC最小，最小值为A’B，此时∠BPC＝∠APC＝ 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∠APB＝120° A A A' A' P' P' P P B C B C 图1 图2 【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论： ① 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫 三角形的等角中心； ② 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． 【如何作费马点】如图3，连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得 到等边△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相 应连线的交点即为费马点。（最大角小于120°时） B' A A' P B C 图3 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值． A P B C 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【练习1】 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则 MA+MD+ME的最小值为______． A D M B C E 【加权费马点】 如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似， 也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段， 一种是旋转特殊角度： 对应旋转90°， 对应旋转120° 另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比 【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求 的最小值 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A A P P B C B C 原图 原图 3 【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2 ，P为三角形ABC内部一点，求 的最小 值 A A P P B C B C 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。 以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转 中心呢？我们总结了以下方法： 1. 将最小系数提到括号外； 2. 中间大小的系数确定放缩比例； 3. 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段 所在的三角形。 【例 3】 如图，在△ABC 中， ， ， ，在△ABC 内部有一点 P，连接 ，则（1） 的最小值为________；（2） 的最小 值为________ A A P P B C B C 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【练习 3】如图，在△ABC 中， ， ， ，在△ABC 内部有一点 P，连接 ，则 的最小值为________． A P B C 题型一 普通费马点最值问题 1．（2021滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是△ABC内一 点，则 的最小值为_________． B P C A 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA ＋PC＝PE． 问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝4 2，点O是△MNG内一点，则点O到 △MNG三个顶点的距离和的最小值是______． E M A O B P C N G D 图1 图2 3．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值． A P B C 7(CBCA) 4．已知，在△ABC中，∠ACB＝30° ，AC＝4，AB＝ 点P是△ABC内一动点，则PA＋PB＋ PC的最小值为________ A P B C 5．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD ＋ME的最小值为______． 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D M B C E 6．A、B、C、D四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市 之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，则应当如何修建？ 最小长度是多少？ A D Q P B C 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·随州中考真题 7．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求 平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明， 该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择 填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④ 处填写该三角形的某个顶点） 当ABC的三个内角均小于120时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60得到APC，连接PP， 由PC PC，PCP60，可知△PCP为 三角形，故PPPC，又PAPA，故 PAPBPC PAPBPP AB， 由 ② 可知，当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPC取最小值，如图2，最小值为AB，此时 的P点为该三角形的“费马点”，且有APCBPCAPB ； 已知当ABC有一个内角大于或等于120时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 BAC120，则该三角形的“费马点”为 点． ABC 120 AC 3，BC 4，ACB30 ABC (2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P为 的 “费马点”，求PAPBPC的值； AC 4km，BC 2 3km，ACB60 (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 ．现欲 建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a km km 2a km 元/ ，a元/ ， 元/ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结 果用含a的式子表示） 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 广东省江门市一模 ABC BAC 90,AB5,AC 2 3 P ABC P ABC 8．如图，在 中， ，点 为 内部一点，则点 到 三个顶点 之和的最小值是 ． 武汉中考 9．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论： PA+PC=PE． 问题解决：如图 2，在△MNG 中，MN=6，∠M=75°，MG=4 2，点 O 是△MNG 内一点，则点 O 到 △MNG三个顶点的距离和的最小值是______． E M A O B P C N G D 图1 图2 2023·四川宜宾·中考真题 10．如图，抛物线yax2bxc经过点A3,0 ，顶点为M1,m ，且抛物线与y轴的交点B在 0，2 和 0，3 之间（不含端点），则下列结论： 3 3 ③ 当 时， ；②当 的面积为 时， 3x1 y0 ABM 2 3 a ； 2 ③当ABM 为直角三角形时，在AOB内存在唯一点P， 使得PAPOPB的值最小，最小值的平方为189 3． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 一题四问，从特殊到一般 11．背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是 法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如 图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P在 内部，当 时， 则 取得最小值． (1)如图2，等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 的度数，为 了解决本题，我们可以将 绕顶点A旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换， 将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三 角形并连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下 问题． (2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证： 过 的费马点． (3)如图4，在 中， ， ， ，点P为 的费马点，连接 、 、 ，求 的值． (4)如图5，在正方形 中，点E为内部任意一点，连接 、 、 ，且边长 ；求 的最小值． 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型二 加权费马点·单系数型 2023·武汉·慧泉中学校月考 12．如图， 中， ， ，点P为 内一点，连接 ，则 的最小值为 . 西安市铁一中二模 13．已知，如图在 中， ， ， ，在 内部有一点D，连接DA、DB、 DC．则 的最小值是 ． 2023·成都市郫都区中考二模 14．如图，矩形ABCD中，AB2，BC 3，点E是AB的中点，点F 是BC边上一动点．将ABEF沿着 EF B B' P PB PC PD PB' 2PCPD 翻折，使得点 落在点 处，若点 是矩形内一动点，连接 、 、 ，则 的最小值为 ． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型三 加权费马点·多系数型 1 5 15．在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（2 AP＋BP＋ 2 PC）²的最小值 A P B C 原图 16．在等边三角形ABC中，边长为 4，P为三角形ABC内部一点，求 3AP＋4BP＋5 PC的最小值 A P B C 原图 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 成都七中育才学校月考 17．在ABC中，AB3，AC 4，BAC的角平分线交BC于E，过C作射线AE的垂线，垂足为D，连 3PC4PD5PA 接 BD ，当S △ACE S △BED 取大值时，在 ACD 内部取点 P ，则 4 的最小值是 ． 一题八问，练到位 18．如图，在 中， ，在 内部有一点P，连接 、 、 ．（加 权费马点）求： （1） 的最小值； （2） 的最小值 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3） 的最小值； （4） 的最小值 （5） 的最小值； （6） 的最小值 （7） 的最小值； 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （8） 的最小值. 16