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专题 3.2 正弦定理、余弦定理
一、单选题
1、(2020届山东实验中学高三上期中)在 中，若 ，则 =(
)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】余弦定理 将各值代入
得
解得 或 (舍去)选A.
2、(2020年全国3卷)7.在 ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=( )
△
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 在 中， ， ，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故 .
故选：A.3、(2020届山东省济宁市高三上期末)在 中, ,则 的面积为(
)
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
故 ，
故选：
4、(2020届河北省衡水中学高三下学期一调)在 中， ，则 的形状
是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理可知 ，
两式相加，得到
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
而 所以 ，
因为 ，所以所以 ，即 ，又 ，
所以 是等边三角形，故选D项.
5、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, ABC的面积为S，且2S＝(a+b)2﹣c2，则tanC＝( )
△
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】△ABC中，∵S ，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC，
ABC
△
且 2S＝(a+b)2﹣c2，∴absinC＝(a+b)2﹣(a2+b2﹣2abcosC)，
整理得sinC﹣2cosC＝2，∴(sinC﹣2cosC)2＝4．
∴ 4，化简可得 3tan2C+4tanC＝0．
∵C∈(0，180°)，∴tanC ，
故选：C．
6、(2020届山东师范大学附中高三月考)泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了
测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为 ，沿点A向北
偏东 前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为 ，则“泉标”的高度为( )
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
【答案】A
【解析】如图, 为“泉标”高度,设高为 米，由题意, 平面 , 米, ，．
在 中, ,在 中, ,
在 中, ，, ， ,
由余弦定理可得 ，
解得 或 (舍去),
故选：A.
7、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)在 中，“ ”是“ 为钝角三角
形”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由题意可得，在 中，因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ， ，
结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
因此 ，所以 是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，
反之，若 是钝角三角形，也推不出“ ，故必要性不成立，
所以为既不充分也不必要条件，故选D.
8、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)已知△ 的内角 的对边分别为 ，若
， ，则△ 面积的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ，由余弦定理， ，故 ，有 ，故
.
故选：B
9、已知 中， ，则 的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ 化为 ．可得：B为锐角，C为钝角．
∴ =- = = ≤ = ，当且仅当 tanB=
时取等号．∴tanA的最大值是
故选A
二、多选题
10、(2019春•市中区校级月考)在 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】．
【解析】：选项 满足 ，选项 满足 ，所以 ， 有两解，
对于选项 ，可求 ，三角形有一解，
对于选项 ，由 ，且 ，可得 为锐角，只有一解，三角形只有一解．
故选： ．
11、在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】：由在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，知：
在 中，由余弦定理得： ，故 正确；
在 中，由正弦定理得： ，
，故 正确；
在 中， ，
由余弦定理得： ，
整理，得 ，故 正确；在 中，由余弦定理得 ，
故 错误．
故选： ．
12．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 为非零实数)，则下列
结论正确的是
A．当 时， 是直角三角形 B．当 时， 是锐角三角形
C．当 时， 是钝角三角形 D．当 时， 是钝角三角形
【答案】 ．
【解析】：对于 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
显然 是直角三角形；
对于 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
显然 是等腰三角形， ，
说明 为锐角，故 是锐角三角形；
对于 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
可得 ，说明 为钝角，故 是钝角三角形；
对于 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
此时 ，不等构成三角形，故命题错误．
故选： ．
13．下列命题中，正确的是
A．在 中， ，
B．在锐角 中，不等式 恒成立
C．在 中，若 ，则 必是等腰直角三角形
D．在 中，若 ， ，则 必是等边三角形【答案】
【解析】：对于 ，由 ，可得： ，利用正弦定理可得： ，正确；
对 于 ， 在 锐 角 中 ， ， ， ， ，
，因此不等式 恒成立，正确
对于 ，在 中，由 ，利用正弦定理可得： ，
，
， ，
或 ，
或 ，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题， 错误．
对于 ，由于 ， ，由余弦定理可得： ，可得 ，解得 ，
可得 ，故正确．
故选： ．
14、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
若 ， ， 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是( )
A． ， ， 依次成等差数列
B． ， ， 依次成等差数列
C． ， ， 依次成等差数列
D． ， ， 依次成等差数列
【答案】ABD【解析】 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ， 依次成等差数列，
则： ，
利用 ，
整理得： ，
利用正弦和余弦定理得： ，
整理得： ，
即： 依次成等差数列.
此时对等差数列 的每一项取相同的运算得到数列 ， ， 或 ， ， 或 ， ， ，
这些数列一般都不可能是等差数列，除非 ，但题目没有说 是等边三角形，
故选：ABD.
三、填空题
15、(2020届江苏省七市第二次调研考试)在 中，已知 ， ，则A的值是______.
【答案】
【解析】 ， ，即 ，， ，则 ，
， ， ，则 .
故答案为：
16、(2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测)在 中，若 ， ，
，则 的值为______.
【答案】 ；
【解析】因为 ， ， ，
由正弦定理可得 即 ，解得
故答案为：
17、(2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测)在 中，若 ，且 ，
则 的值为______.
【答案】 ；
【解析】因为，又
由正弦定理得 即
故答案为：
18、(2019年高考全国Ⅱ卷理数) 的内角 的对边分别为 .若 ，则
的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得 ，所以 ，即 ，
解得 (舍去)，
所以 ，
19、(2019 年高考浙江卷)在 中， ， ， ，点 在线段 上，若
，则 ___________， ___________．
【答案】 ，
【解析】如图，在 中，由正弦定理有： ，而 ，， ，所以 .
.
20、(2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模)在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ，
，若 是边 上的中线，且 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】过点 作 ,设 ，
由三角函数定义得 .当且仅当 时取等号.
所以 的最小值为
故答案为：
21、(2020年全国1卷)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，
AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
【答案】
【解析】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
四、解答题
22、(2020届山东省临沂市高三上期末)在① ， ，② ，
，③ ， 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.：已知 的内
角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，______，求 的面积S.
【解析】选①∵ ， ，∴ ， ，
∴
，
由正弦定理得 ，
∴ .
选②∵ ，
∴由正弦定理得 .
∵ ，∴ .又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ .
选③∵ ， ，
∴ 由余弦定理得 ，即 ，
解得 或 (舍去). ，
∴ 的面积 .
故答案为：选①为 ；选②为 ；选③为 .
23、(2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模)在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ，
，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的值.
【解析】(1)因为 ，根据正弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，所以 ，
又 ，故 .
(2)在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
得 ，故 .
由正弦定理 得 ，解得 .
因为 ，故 ， ，
所以 .
所以 .
24、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考) 的内角A，B，C的对边分别为 ，已知
.(I)求B；
(II)若 的周长为 的面积.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ) ,
，
,
，
.
,
.
(Ⅱ)由余弦定理得 ，
，
，
，
.
25、(2020届山东省潍坊市高三上期中)在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知
， ， ．(1)求 ， 的值：
(2)求 的值．
【解析】
(1)由 ，得 ，
因为在 中， ，得 ，
由余弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 .
(2)由 ，得
由正弦定理得 .
26、(2020年江苏卷).在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求 的值；
(2)在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．【解析】(1)由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
(2)由于 ， ，所以 .
.
由于 ，所以 ，所以
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
27、(2020年全国2卷). 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
(1)求A；
(2)若BC=3，求 周长的最大值.
【解析】(1)由正弦定理可得： ，
，.
，
(2)由余弦定理得： ，
即 .
(当且仅当 时取等号)，
，
解得： (当且仅当 时取等号)，
周长 ， 周长的最大值为 .
28、(2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题)在 中，角 所对边分别为
.已知 .
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 的值.
【解析】(1)在 中，因为 ，
所以 .
结合正弦定理得， ，即 .因为 ，所以 ，
所以 .
可得 ；
(2)在 中，因为 ，则 ， .
又因为 ，则 .
所以
.
29、(2020年天津卷).在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)求 的值；
(Ⅲ)求 的值．
【解析】(Ⅰ)在 中，由 及余弦定理得，
又因为 ，所以 ；
(Ⅱ)在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ；
(Ⅲ)由 知角 为锐角，由 ，可得 ，
进而 ，
所以 .
