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专题 6.3 双曲线与抛物线的性质与应用
一、单选题
1、(2018年高考浙江卷)双曲线 的焦点坐标是( )
A．(− ，0)，( ，0)
B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，− )，(0， )
D．(0，−2)，(0，2)
2、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)双曲线 的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
3、(2020·浙江高三)若双曲线 的焦距为4，则其渐近线方程为( )
A． B． C． D．
4、(2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初)已知双曲线 的一条渐近线为
，则离心率为( )
A． B． C． 或 D．
5、(2020届山东省烟台市高三上期末)若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方
程为( )A． B． C． D．
6、(2018年高考全国Ⅱ理数)双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为( )
A． B．
C． D．
7、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)在平面直角坐标系中，经过点 ，渐近线方程为
的双曲线的标准方程为( )
A． B． C． D．
8、(2020届山东省德州市高三上期末)双曲线 ( ， )的右焦点为 ，点 的
坐标为 ，点 为双曲线左支上的动点，且 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．
9、(2020届浙江省温州市高三4月二模)已知双曲线 )，其右焦点F的坐标为 ，
点 是第一象限内双曲线渐近线上的一点， 为坐标原点，满足 ，线段 交双曲线于点 .
若 为 的中点，则双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．10、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)双曲线 的一条渐近线的倾斜角
为 ，则 的离心率为( )
A． B． C． D．
11、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)设双曲线E： ，命题p：双曲线E离心率
，命题q：双曲线E的渐近线互相垂直，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知圆 与双曲线 的
渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
13、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)设双曲线C： (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为
1 2
．P是C上一点，且F P⊥F P．若△PF F 的面积为4，则a=( )
1 2 1 2
A． 1 B． 2
C． 4 D． 8
14、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知抛物线 的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，
，A为垂足.若直线AF的斜率为 ，则 的面积为( )
A． B． C．8 D．15、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知点 为双曲线 右支上一点，
分别为 的左，右焦点，直线 与 的一条渐近线垂直，垂足为 ，若 ，则该双
曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
16、(2020年高考北京)设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作
于 ，则线段 的垂直平分线( )
A． 经过点 B． 经过点
C． 平行于直线 D． 垂直于直线
17、(2020·浙江学军中学高三3月月考)抛物线 ( )的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于
点M，N(点N在轴上方)，点E为轴上F右侧的一点，若 ， ，则 (
)
A．1 B．2 C．3 D．9
18、(2020年高考全国Ⅱ卷理数)设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐
近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
二、多选题
19、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，，则能使双曲线C的方程为 的是( )
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
20、(2020届山东省日照市高三上期末联考)过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点，
为线段 的中点，则( )
A．以线段 为直径的圆与直线 相离 B．以线段 为直径的圆与 轴相切
C．当 时， D． 的最小值为4
21、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的焦
点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E， 的外角
平分线交x轴于点Q，过Q作 交 的延长线于 ，作 交线段 于点 ，则(
)
A． B． C． D．
22、(2020届山东省德州市高三上期末)已知抛物线 的焦点为 ，直线的斜率为 且经过点 ，直线 与抛物线 交于点 、 两点(点 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 ，若
，则以下结论正确的是( )
A． B． C． D．
23、(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知曲线 .
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y 轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、填空题
24、(2019年高考江苏卷)在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点(3，4)，则该双曲
线的渐近线方程是 .
25、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)双曲线 ： 的左、右焦点分别为
、 ， 是 右支上的一点， 与 轴交于点 ， 的内切圆在边 上的切
点为 ，若 ，则 的离心率为____.
26、(2020年高考全国I卷理数)已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为
C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
27、(2020年新高考全国Ⅰ卷)斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
28、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知F为双曲线 的右焦点，过F
作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且 (O为坐标原点)，则C的离心率为________.
29、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知 是抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影是 ，点
的坐标为 ，则 的最小值是__________．
30、(2020年高考北京)已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近
线的距离是_________．
四、解答题
31、(2020届浙江省嘉兴市5月模拟)设点 为抛物线 上的动点， 是抛物线的
焦点，当 时， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作圆 ： 的切线 ， ，分别交抛物线 于点 ．当 时，求 面积的最小值．
32、(2020届山东省临沂市高三上期末)如图，已知点F为抛物线C： ( )的焦点，过点F的动
直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时， .
(1)求抛物线C的方程.
(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由.
33、(2020届浙江省绍兴市4月模拟)如图，已知点 ， ，抛物线 的焦点
为线段 中点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线交抛物线 于 两点， ，过点 作抛物线 的切线 ， 为切线 上的
点，且 轴，求 面积的最小值.34、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)如图，已知抛物线 的焦点为 .
若点 为抛物线上异于原点的任一点，过点 作抛物线的切线交 轴于点 ，证明：
.
， 是抛物线上两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ( 不与 轴平行)，且
.过 轴上一点 作直线 轴，且 被以 为直径的圆截得的弦长为定值，求
面积的最大值.
