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专题 7.2 基本不等式
一、多选题
1、(2020·浙江温州中学高三3月月考)若 ，下列等式不可能成立有( )个.
(1)
(2)
(3)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
对于 ：当a，b异号时， ，当a，b同号时， ，故 不可能成立．
对于 ：若 ， ，则 ，
当 时， ；化为： ，看作是点 到直线 的
距离为1，可能成立；
对于 ： ，
，令 ， ，
所以 ，不可能成立．
故选：C．2、(2019年高考浙江卷)若 ，则“ ”是 “ ”的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时， 当且仅当 时取等号，则当 时，有
，解得 ，充分性成立；
当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“
”的充分不必要条件.
3、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)设 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
由 得， ，所以是充分条件；
由 可得 ，所以是必要条件，
故“ ”是“ ”的充要条件．答案选C．
4、(2020届山东省泰安市高三上期末)若 ，则 的最小值为( )
A．6 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ， ，
∴ ，
∴
，
当且仅当 且 即 时，等号成立；
故选：C．
5、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)若正实数 ， 满足 ，则 取最
小值时， ( )
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
∵ ；
∴ ，且 ， ；
∴ ；
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号.故选：B.
6、(2020届山东省济宁市高三上期末)已知奇函数 在R上单调,若正实数 满足
则 的最小值是( )
A．1 B． C．9 D．18
【答案】A
【解析】
奇函数 在R上单调， 则
故 即
当 即 时等号成立
故选：
7、(2020届浙江省高中发展共同体高三上期末)设实数 、 满足 ，且 .则 的最小
值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可知， .当 时， ，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，
当 时， ，
当且仅当 且 时取等号，
综上可得， 的最小值 .
故选：C.
8、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)如图，在△ 中，点 是线段 上两个动点，且
，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图可知x，y均为正，设 ，
共线， ，，
则 ，
，
则 的最小值为 ，故选D.
9、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知 ， ，若不等式 恒成立，则m
的最大值为( )
A．10 B．12 C．16 D．9
【答案】D
【解析】
由已知 ， ，若不等式 恒成立，
所以 恒成立，
转化成求 的最小值，
，所以 ．
故选：D．
二、多选题
10、(2010南京金陵中学期末)下列说法中正确的有( )
A．.不等式a+b≥2√ab恒成立
1
B．存在a，使得不等式a+ ≤2成立
ab a
C．.若a，b∈(0，+∞)，则 + ≥2
a b
2 1
D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则 + ≥8
x y
【答案】BCD．
【解析】：不等式a+b≥2√ab恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；
1
当a为负数时，不等式a+ ≤2成立．故B正确；
a
由基本不等式可知C正确；
2 1 2 1 4 y x √4 y x
对于 + =( + )(x+2y)=4+ + ≥4+2 ⋅ =8，
x y x y x y x y
4 y x 1 1
当且仅当 = ，即x= ，y= 时取等号，故D正确．
x y 2 4
故选：BCD．
11、(2019秋•莱州市校级月考)若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是( )
1
A．ab有最大值 B．√a+√b有最小值√2
4
1 1 √2
C． + 有最小值4 D．a2+b2有最小值
a b 2
【答案】．AC
1
【解析】：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴1+a+b≥1√ab；∴ab≤ ；
4
1
∴ab有最大值 ，∴选项A正确；
4
√a+√b≥2√ab，2√ab≤1，∴√a+√b的最小值不是√2，∴B错误；
1 1 a+b 1 1 1
+ = = ≥4，∴ + 有最小值4，∴C正确；
a b ab ab a b
1 √2
a2+b2≥2ab，2ab≤ ，∴a2+b2的最小值不是 ，∴D错误．
2 2
故选：AC．
12、(2010薛城区校级期中)设a＞1，b＞1，且ab﹣(a+b)＝1，那么( )
A．a+b有最小值2(√2+1) B．a+b有最大值(√2+1)2
C．ab有最大值3+2√2． D．ab有最小值3+2√2．
【答案】．AD【解析】：∵a＞1，b＞1，
∴a+b≥2√ab，当a＝b时取等号，
∴1=ab−(a+b)≤ab−2√ab，解得√ab≥√2+1，
∴ ，
ab≥(√2+1) 2=3+2√2
∴ab有最小值3+2√2；
a+b
∵ab≤( ) 2，当a＝b时取等号，
2
a+b
∴1=ab−(a+b)≤( ) 2−(a+b)，
2
∴(a+b)2﹣4(a+b)≥4，
∴[(a+b)﹣2]2≥8，解得a+b−2≥2√2，即a+b≥2(√2+1)，
∴a+b有最小值2(√2+1)．
故选：AD．
13、(2019秋•崂山区校级期末)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西
方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称
之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB
为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为
E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( )
a+b
A． ≥√ab(a＞0，b＞0)
2
B．a2+b2≥2ab(a＞0，b＞0)
2
√ab≥
C． 1 1(a＞0，b＞0)
+
a b
a2+b2 a+b
D． ≥ (a≥0，b＞0)
2 2
【答案】．AC【解析】：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，
由于：OD≥CD，
a+b
所以： ≥√ab(a＞0，b＞0)．
2
由于CD2＝AC•CB＝ab，
CD2 ab
DE= =
所以 OD a+b
2
所以由于CD≥DE ，
2ab 2
√ab≥ =
整理得： a+b 1 1(a＞0，b＞0)．
+
a b
故选：AC．
三 、填空题
14、(2018年高考天津卷理数)已知 ，且 ，则 的最小值为 .
1
【答案】
4
1
【解析】由a−3b+6=0可知a−3b=−6，且2a+ =2a+2−3b
，
8b
1
因为对于任意x，2x>0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a+2−3b≥2×√2a×2−3b=2×√2−6= .
4
当且仅当¿，即¿时等号成立.
1 1
综上可得2a+
的最小值为 .
8b 4
15、(江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则
的最小值为_________.
【答案】9【解析】
又x＋2y＝4 即 ，当且仅当 等号成立，故原式
故填9
16、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)函数 的最小值是__________.
【答案】
【解析】
由于 ，故 ，故 ，当且仅当
，即 时，函数取得最小值为 .
故填： .
17、(2020年高考江苏)已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .故答案为： .
18、(2020·全国高三专题练习(理))已知圆 关于直线 对称，
则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
由题意可知直线过圆心，即
当且仅当 时，又
即 时等号成立，
故 的最小值为9.
故答案为：9
19、(2018年高考江苏卷)在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线
交 于点D，且 ，则 的最小值为___________．
【答案】9
【解析】由题意可知，S =S +S ,由角平分线性质和三角形面积公式得
△ABC △ABD △BCD
1 1 1 1 1
acsin120°= a×1×sin60°+ c×1×sin60°，化简得ac=a+c, + =1，
2 2 2 a c
因此 (1 1) c 4a √c 4a
4a+c=(4a+c) + =5+ + ≥5+2 ⋅ =9,
a c a c a c当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.
20、(2020年高考天津)已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：
21、(江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初)已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c
的最小值为_______．
【答案】8
【解析】 ，
22、(2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟)已知 ，则 的最小值________.
【答案】
【解析】 ， ， ，
由基本不等式得 .当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此，函数 的最小值为 .
故答案为： .
23、(江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研)已知 ， ，且
，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】∵ ， ，且
∴
∵
∴ ，当且仅当 时取等号.
令 ，原不等式转化为 ，解得 .
∴故答案为： .
四、解答题
24、(1) 已知x＞1，求f(x)＝x＋的最小值；
(2) 已知0＜x＜，求y＝2x－5x2的最大值．
【解析】. (1)因为x＞1，所以x－1＞0，所以f(x)＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即
x＝2时，等号成立．所以f(x)的最小值为3.
(2) y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，因为0＜x＜，所以5x＜2，2－5x＞0，所以5x(2－5x)≤＝1，
所以y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，y＝2x－5x2取得最大值.
25、(2020·深圳实验学校高中部高一期末)已知正实数 ， 满足等式 .
(1)求 的最大值；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1)因为 ， ，由基本不等式，得 .
又因为 ，所以 ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 的最大值为10.
所以 .所以当 ， 时，
的最大值为1；
(2)因为 ， ，
所以
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
不等式 恒成立，
只要 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
26、(2019年11月北京市清华大学中学生标准学术能力诊断性测试测试数学)已知a，b，c为正实数，且满
足a＋b＋c＝3.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤3；
(2) .
【解析】(1)证明： 正实数 ， ， 满足 ，
， ，
当且仅当 时等号成立(2) ， ，
当且仅当 时等号成立
27、(2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试理科数学试卷)已知正数 ， ， 满足
.
(1)求证： ；
(2)求 的最小值.
【解析】(1)因为 ， ， ，所以由柯西不等式得
.
又因为 .
所以
(2)
由均值不等式 ，当且仅当 时“=”成立
∵ .∴ 当且仅当 时取“=”
∴ ，当且仅当 ， 时等号成立，所以
的最小值为6.
28、(2020届山东省潍坊市高三上期中)在经济学中，函数 的边际函数 定义为
．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产 台 的收益函数为
(单位：万元)，成本函数 (单位：万元)，该公司每月最多生产
台该医疗器材．(利润函数=收益函数－成本函数)
(1)求利润函数 及边际利润函数 ；
(2)此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?(精确到 )
(3)求 为何值时利润函数 取得最大值，并解释边际利润函数 的实际意义．
【答案】(1) ； ；(2) 台， 万元；(3)
或 ； 反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
【解析】
(1)由题意知： 且 ，
，
.(2)每台医疗器材的平均利润 ，当且仅当 时等
号成立.
因为 ，当每月生产 台机器时，每台平均约为 万元，每月生产 台时，每台平均约为
万元，故每月生产 台时，每台医疗器材的平均利润最大为 万元.
(3) ，
由 ，得 ，此时 随 增大而增大，
由 得 ，此时 随 增大而减小，
或 时， 取得最大值.
反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
