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扬州中学2022-2023学年度高三数学9月双周练
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A． B． C． D．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方
2．徽砚又名歙砚，中国四大名砚之一，是砚史上与端砚齐名的珍品.以砚石在古歙州府加工和集散而得名，
向且距D点60 的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为
徽砚始于唐代，据北宋唐积《歙州砚谱》载：婺源砚在唐开元中，猎人叶氏逐兽至长城里，见叠石如城垒
状，莹洁可爱，因携之归，刊出成砚，温润大过端溪，此后，徽砚名闻天下，如图所示的徽砚近似底面直径
（ ）（参考数据： ）
为 ，高为 的圆柱体，则该徽砚的体积为（ ）
A．38m B．44m C．40m D．48m
A． B． C． D．
6．已知定义在 上的偶函数 ，满足 对任意的实数 都成立，且值域为
3．在 中，点 线段 上任意一点，点 满足 ，若存在实数 和 ，使得
，则 （ ） .设函数 ，（ ），若对任意的 ，存在 ，使得 成
A． B． C． D． 立，则实数 的取值范围为（ ）
4．天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中 A． B． C． D．
记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正
7．下列四个选项中的函数，其图象可能是下图的是（ ）
方形ABCD测得一座山的高 （如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图
②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得 ．由此可以算得地球的半径 （ ）C．当 时， 的面积为定值
A． B． C． D．
D．当 时，直线 与 所成角的范围为
8．若关于 的不等式 （ 为自然对数的底数）在 上恒成立，则 的最大值为
11．已知直线 ： 与 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
A．直线 与直线 可能重合
B．直线 与直线 可能垂直
二、多选题
9．游人游玩的湖边常设有如图所示的护栏柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗
C．直线 与直线 可能平行
细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直
D．存在直线 上一点P，直线 绕点P旋转后可与直线 重合
角坐标系，那么悬链线可以表示为函数 ，其中 ，则下列关于悬链线函数 的性质
12．若函数 在区间 上的最大值为6，则下列结论正确的是（ ）
判断中，正确的有（ ）.
A．
B． 是函数 的一个周期
C．当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
D．将函数 的图像向左移动 个单位得到函数 的图像，则函数 是一个偶函数
A． 为偶函数 第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
B． 为奇函数
C． 的最小值为a
三、填空题
13．已知m，n是两条不重合的直线， 是一个平面， ，则“ ”是“ ”的__________条
D． 的单调递增区间为
件．
10．在正方体 中，点 满足 ，其中 ， ，则（ ）
14．已知 ，则 ________．
A．当 时， 平面
15．设函数 ，若关于 的函数 恰好有六个零点，则实数
B．当 时，三棱锥 的体积为定值的取值范围是_____________． (1)求 的方程；
16．如图，在棱长为 的正方体 中，若 绕 旋转一周，则在旋转过程中，三棱 (2)过圆 上一点 （不在坐标轴上）作 的两条切线 ， ，记 ， 的斜率分别为 ， ，直线 的斜率
锥 的体积的取值范围为______． 为 ，证明： 为定值.
20．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，证明：对任意 ， ， ．
21．如图①所示，长方形 中， ， ，点 是边 的中点，将 沿 翻折到
，连接 ， ，得到图②的四棱锥 ．
四、解答题
17．已知全集 ，集合 ， ， ．
(1)求 ；
(2)求 ．
18．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径 的长为 ，C，D两点在半圆弧
上，且 ，设 ； (1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)若棱 的中点为 ，求 的长；
(3)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值．
22．已知函数 .
（1）当 时，求四边形 的面积.
(1)当 时，求 在 上的最大值；
（2）若要在景区内铺设一条由线段 ， ， 和 组成的观光道路，则当 为何值时，观光道路的总
(2)当 时， ，求 的取值范围.
长l最长，并求出l的最大值.
19．已知椭圆 ： 的右焦点为 ，圆 ： ，过 且垂直于 轴的直线被椭圆
和圆 所截得的弦长分别为 和 .参考答案：
1．A【分析】先解不等式 ，比较其和 的关系即可
【详解】依题意， 可得 ，即 ，显然 是 的充分
不必要条件.
故选：A
2．C【分析】先求出底面半径，然后利用圆柱的体积公式求解即可
【详解】由题意得该徽砚的底面半径为5cm，
所以该徽砚的体积为 ，
故选：C
3．D【分析】由题设 且 ，结合向量数乘、加法的几何意义可
得 ，再由已知条件即可得 的值.
【详解】
由题意， 且 ，而 ，
所以 ，即 ，
由已知， ，则 .
故选：D
4．A【分析】根据解直角三角形，结合正弦函数的概念即可求得答案.
【详解】由图可知， ,故 ，解得 ，
故选：A．
下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君5．D【分析】转化为解三角形问题，利用正弦定理、直角三角形的性质进行求解.
【详解】如图，根据题意， 平面ABD， ， ， ，
.
在 中，因为 ，所以 ，
所以 .在 中， .
故A，B，C错误.
故选：D.
6．D【分析】先根据函数 满足的关系式及奇偶性，值域，得到
，再写出 ，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当 时，
及 时， 的图象要位于 的下方，得到 ，
求出实数 的取值范围.
【详解】 变形为 ，
所以 或 ，即 或 ，
因为 为偶函数，且值域为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：
要想满足若对任意的 ，存在 ，使得 成立，
则当 时， ，所以 ，
且 时， 的图象要位于 的下方，
故只需 ，即 ，解得： ，
综上：实数 的取值范围是 .
故选：D
【点睛】对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出
不等式，求出参数的取值范围.
7．C【分析】根据图象的奇偶性及图象所过特殊点判断所给解析式即可.
【详解】由已知，函数图象为过原点的奇函数，
A中 ，D中 由解析式知，函数为偶函数，故不正确；B中，当 时， 无意义，故B不正确；
故选：C
8．C【详解】令 ，只需 即可. .当
时，导函数恒大于零，函数单调递增没有最小值.当 时，函数在
上递减，在 上递增，最小值为 ，即
，两边乘以 得 ，令 ，且
， ，令 ，解得 ，得极大值为
.所以 的最大值为 .
点睛：本题主要考查函数与导数的知识，考查函数的单调性、极值、最值的求解方法，考
查化归与转化的数学思想方法，属于难题.由于题目要求一个不等式恒成立，我们构造一个
函数，求其最小值，其最小值大于零即可.在化简过程中要注意将已知条件配成要求的
的形式.
9．ACD【分析】根据函数奇偶性的定义，结合导数的性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】函数 的定义域为R，且 ， 为偶函数，故A
正确，B错误；
∵ ， ，∴ ，
当且仅当 时取等号，即 时取等号，故C正确；，
当 时，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，由偶函数的性质可知， 在 上单调递减，故D正
确．
故选：ACD．
10．ABD【分析】对于A选项，确定 点在面对角线 上，通过证明面面平行，得线面
平行；
对于B选项，确定 点在棱 上，由等体积法，说明三棱锥 的体积为定值；
对于C选项，确定 点在棱 上， 的底 不变，高 随点 的变化而变化；
对于D选项，通过平移直线 ，找到异面直线 与 所成的角，在正 中，确
定其范围.
【详解】对于A选项，如下图，当 时， 点在面对角线 上运动，
又 平面 ，所以 平面 ，
在正方体 中， 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可证 平面 ，
，所以，平面 平面 ，
平面 ，所以， 平面 ，A正确；对于B选项，当 时，如下图， 点在棱 上运动，
三棱锥 的体积 为定值，B正确；
对于C选项，当 时，如图， 点在棱 上运动，过 作 于 点，
则 ，其大小随着 的变化而变化，C错误；对于D选项，如图所示，当 时， ， ， 三点共线，
因为 且 ,所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 或其补角是直线 与 所成角，
在正 中， 的取值范围为 ，D正确.
故选：ABD.
11．BD【分析】分别求出直线 ， 的斜率，根据两直线平行和垂直斜率满足的关系即可
逐一求解.
【详解】 直线 的斜率为 ，
直线 的斜率 ，
， ， 不可能相等，
直线 与直线 不可能重合，也不可能平行，故A，C均错误；
当 时， ， ， 直线 与直线 可能垂直，故B正确；
直线 与直线 不可能重合，也不可能平行，
直线 与直线 一定有交点 ，存在直线 上一点 ，直线 绕点 旋转后可与直线 重合，故D正确．
故选：BD．
12．BD【分析】先根据三角恒等变换整理得 ，以 为整
体，结合正弦函数图像与性质运算求解，并运用图像平移处理求解判断．
【详解】 ，
当 时，则 ，
所以当 时， 的最大值为6，即 ，所以 ，选项A不正确；
∵ 的最小正周期 ，则 是函数 的一个周期，选项B正确；
当 时， ，
所以不等式 恒成立，则 ，解得 ，选项 不正确；
函数 的图像向左移动 个单位得到函数
，
函数 是一个偶函数，选项 正确.
故选：BD．
13．充分不必要【分析】由线面垂直的性质可知满足充分性，由线面垂直的判定可知不满
足必要性.
【详解】若 ，且有 ，根据线面垂直的性质，可得出 ；
若 ，且有 ，根据线面垂直的判定，直线 不一定与平面 垂直.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要
14． 【分析】先用诱导公式求出 ，再用万能公式求出 和 ，再用正
弦的和角公式进行求解
【详解】因为 ，由诱导公式得：
所以 ．
，
．
故答案为：
15． 【分析】画出 图象，换元后得到方程
在 内有两个不同的实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，
求出实数 的取值范围.
【详解】作出函数 的图象如图，令 ，则当 ，方程 有 个不同的实数解，
则方程 化为 ，
使关于 的方程 恰好有六个不同的实数解，
则方程 在 内有两个不同的实数根，
令
所以 ,
解得: ，
所以实数 的取值范围为
故答案为
【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数
问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个
数.
16． 【分析】由题可得 为正四面体，利用线面垂直的判定定理
可得 平面 ，结合条件可得点A，O，E共线，且A在点O，E之间时，三棱锥
的体积最小；O在点A，E之间时，体积最大，然后根据正方体的性质结合棱锥
的体积公式即得.
【详解】如图，连接 ， ，由正方体的性质可知 为正四面体，设O为 中点，E为 中点，则 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
由题可知点A在以O为圆心，OA为半径的圆上运动．
在 绕 旋转过程中，若点A，O，E共线，且A在点O，E之间时，三棱锥
的体积最小；O在点A，E之间时，体积最大．
因为正方体的棱长为 ，
所以 ，
在 中，OB＝2， ，
则 ， ，
设点 ， 到平面 的距离分别为 ， ．
，
，
∵ ，∴三棱锥 体积的最小值为 ；
最大值为 ．
∴三棱锥 的体积的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能清A的轨迹，进而可得点A，O，E共线，且A在点
O，E之间时，三棱锥 的体积最小；O在点A，E之间时，体积最大，然后根据圆
的性质及棱锥的体积公式即得.
17．(1)
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式求得集合A，解分式不等式求得集合B，根据集合的交集
运算求得答案;
（2）结合（1），再解分式不等式求得集合C，根据集合的交集运算求得答案;
（1）
，解得 或 ，
所以 ,
,解得 ，
所以 ．所以 ．
（2）
由（1）知 ．将 化为 ，即 ，所以 ,
解得 ，
所以 ,
所以 ．
18．（1） ；（2）5【分析】（1）把四边形 分解为三个等腰三角形：
，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用 表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示 ， 和
，令 ，转化为二次函数的最值问题，即得解.
【详解】（1）连结 ，则
四边形 的面积为
（2）由题意，在 中， ，由正弦定理
同理在 中， ，由正弦定理令
时，即 ， 的最大值为5
【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学
建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由已知条件列方程组，结合 ，解出 ，可得椭圆 的方程；
（2）设 ，且满足圆的方程，设出过点 与椭圆 相切的直线方程，与
椭圆方程联立，利用 得出关于 的一元二次方程，由韦达定理得出 ，进而可求
出 为定值．
（1）
设椭圆 的半焦距为 ，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 所截得的弦长分别为
，则 ；过 且垂直于 轴的直线被圆 所截得的弦长分别为 ，则
，又 ，解得 ，所以 的方程为 .
（2）
设 ，则 .①设过点 与椭圆 相切的直线方程为 ，
联立 得 ，
则 ，
整理得 .②
由题意知 ， 为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得
.
又因为 ，所以 ，所以 为定值 ．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的方程即可；
（2）利用题设条件转化为证 ，构造函数 ，运用导
数的知识推证.
(1)
当 时， ， ，切点为
求导 ，切线斜率
曲线 在 处的切线方程为 ．
(2)
， 的定义域为 ，求导 ，
在 上单调递减．不妨假设 ，∴ 等价于 ．
即 ．
令 ，则 ．
， ， ．
从而 在 单调减少，故 ，即 ，
故对任意 ．
【点晴】方法点睛：本题考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和
分析问题解决问题的能力，本题的第一问借助导数的几何意义求切线方程；第二问求解时
先构造函数 ，然后再对函数 求导，运用导数的知识研究
函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作出辅助线，得到当平面 ⊥平面 时，P点到平面ABCM的距离
最大，四棱锥 的体积取得最大值，求出 ，从而得到体积最大
值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到
；（3）作出辅助线，得到∠PGD为 的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含 的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向
量，利用空间向量夹角余弦公式得到 ，结合 的取值范围求出余弦值
的最小值
(1)
取AM的中点G，连接PG，
因为PA=PM，则PG⊥AM，
当平面 ⊥平面 时，P点到平面ABCM的距离最大，
四棱锥 的体积取得最大值，
此时PG⊥平面 ，且 ，
底面 为梯形，面积为 ，
则四棱锥 的体积最大值为
(2)
取AP中点Q，连接NQ，MQ，
则因为N为PB中点，所以NQ为 PAB的中位线，
△
所以NQ∥AB且 ，
因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，
所以CM∥AB且 ，
所以CM∥NQ且CM=NQ，故四边形CNQM为平行四边形，
所以 .
(3)
连接DG，
因为DA=DM，所以DG⊥AM，
所以∠PGD为 的平面角，即 ，
过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y
轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，
设 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
设平面PAM的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
设平面PBC的法向量为 ，
因为 ，
则
令 ，可得： ，
设两平面夹角为 ，
则令 ， ，所以 ，
所以 ，所以当 时， 有最小值 ，
所以平面 和平面 夹角余弦值的最小值为
【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问
题，简洁明了，事半功倍.
22．(1)
(2)
【分析】（1）求导，得到导函数在 上恒大于等于0，从而得到函数最值；
（2）先由特殊点的函数值和导函数值，确定 ，再证明其充分性，从而得到 的取值范
围.
（1）
当 时， ，
，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，所以 .
（2）
注意到 ， ，则 ，
若 ， ，由（1）知，当 时， ；
当 时， ，
所以 恒成立，符合题意；
若 ， ，当 时， ，不合题意；
若 ，因为 时， ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，又 ，
所以存在 ， ，
当 时， ，
在 上单调递减， ，不合题意；
综上， ， 的取值范围是 .
【点睛】导函数求解函数的取值范围题目，先由特殊点的函数值或导函数的值确定参数的
取值范围，即必要性探究，再证明其充分性成立，这是求解参数取值范围的一种常用思路.下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君
