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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初二（下）数学限时作业 4（3.8）
一、选择题（每题3分，共36分）
1. 下列命题中不正确的是（ ）
A. 菱形的四条边相等 B. 菱形的四个角相等
C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 菱形是轴对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】利用菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、菱形的四条边一定相等，故A正确，是真命题，但不符合题意；
B、菱形的四个角不一定相等，故B错误，是假命题，但符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，故C正确，是真命题，但不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，正确，是真命题，但不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质，难度不大．
2. 在四边形 中， 的值能判定它是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平行四边形两组对角分别相等，由此判断即可．
【详解】解： 的值为 时， ， ，不能判定 是平行
四边形，故A选项不合题意；
的值为 时， ， ，不能判定 是平行四边形，故B
选项不合题意；
的值为 时， ， ，不能判定 是平行四边形，故C
选项不合题意；
的值为 时， ， ，能够判定 是平行四边形，故D
选项符合题意；
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故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形两组对角分别相等．
3. 在菱形 中， ， 分别是 ， 的中点，如果 ，那么线段 的长是（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质，掌握菱形的四条边相等是解题的关键．
先证明 是 的中位线，再根据三角形中位线的性质求出 长，再根据菱形的性质作答即可．
【详解】解： ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
．
，
．
四边形 是菱形，
．
故选：A．
4. 要使平行四边形 成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩
形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可得出结论．
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【详解】解：A、当∠A＋∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；
B、当∠B＋∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；
C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形；
D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形；
故选：C．
【点睛】本题考查了对矩形的判定定理的应用，矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩
形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．
5. 已知 为矩形 的对角线，则图中 与 一定不相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【
详解】解：A选项中，根据对顶角相等，得 与 一定相等；
B、C项中，无法确定 与 是否相等；
D选项中，因为∠1=∠ACD，∠2＞∠ACD，所以∠2＞∠1．
故选：D．
6. 若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6 ，则对角线的长为( )．
A. 3.6 B. 7.2 C. 1.8 D. 14.4
【答案】B
【解析】
【分析】如图，根据矩形性质得出AC=BD，AO=OC= AC，BO=OD= BD，求出OA=OB，得出△AOB
是等边三角形，求出AB=AO=OB，即可得出答案．
【详解】如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC= AC，BO=OD= BD，
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∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=OB=3.6cm，
∴BD=AC=2AO=7.2cm，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出等边三角形AOB和求出
BD=AC=2AO．
7. 矩形邻边之比3∶4，对角线长为10 ，则周长为( )
A. 14 B. 28 C. 20 D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形性质得出∠BAD=90°，AB=CD=6cm，AD=DB，根据勾股定理求出AD，即可求出BC，
求出即可.
【详解】如图，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，
∴∠BAD=90°，AB=CD=6cm，AD=DB，
∵在Rt△BAD中，BD=10cm，由勾股定理得：AD= =8（cm），
∴AD=BC=8cm，
∴矩形的周长是AB+BC+CD+AD=6cm+8cm+6cm+8cm=28cm，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．
8. 菱形 中， ，若周长为8，则此菱形的高为（ ）
A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
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【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用直角三角形的30度角的性质，即可解决问题．
【详解】
解：∵菱形ABCD的周长为8，
∴AD＝AB＝2，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝1：5，
∴∠A＝30°．
过点D作DE⊥AB于点E，
，
∴此菱形的高等于1．
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构
造直角三角形解决问题．
9. 在□ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝120°，则□ABCD的面积是( )
A. 3 B. 6 C. 15 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】作AE⊥BC于点E，在直角△ABE中，利用三角函数求得AE的长，然后利用平行四边形的面积
公式即可求解．
【详解】解：作AE⊥BC于点E．
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=60°
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在直角△ABE中，AE=AB•sinB=3× = ．
∴▱ABCD 面的积是：AE•AD=4× =6 cm2．
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及三角函数，正确求得高AE的长是解题关键．
10. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．
【详解】解：∵四边形AECF为菱形，
∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，
由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，
又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，
∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，
在Rt△EBC中，EC=2EB，
又∵EC=AE，AB=AE+EB=3，
∴EB=1，EC=2，
∴Rt△BCE中， ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特
殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．
11. □ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴．若点A坐标为(-1，2)，则点C的坐标为（
）
A. (1，-2) B. (2，-1) C. (1，-3) D. (2，-3)
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【答案】A
【解析】
【分析】平行四边形的对角线互相平分；根据平行四边形的性质得出四边形ABCD是中心对称图形，对称中
心是对角线的交点，根据关于原点对称的图形的特点求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，
又∵平行四边形ABCD的对角线交点在坐标原点，
∴A和C关于O对称，
∵点A的坐标为（-1，2），
∴点C的坐标为（1，-2），
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，解题关键是熟练掌握性质》
12. 在平行四边形 中，点 和分别 和 的五等分点，点 和
分别是 和 的三等分点，已知四边形 的面积为1，则平行四边形 面
积为（ ）
A. 2 B. C. D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】可以设平行四边形 的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形 的面积减去四
个角上的三角形的面积，就可表示出四边形 的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求
解．
【详解】解：设平行四边形 的面积是S， ， 边上的高为 ，
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则 ，即 ，
根 据 题 意 ， ， ，
， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的面积计算，正确利用等分点的意义，得到平行四边形的面
积与三角形的面积关系是解答的关键．
二、填空题（每空3分，共36分）
13. 在 中，若 ，则 ______， ______．
【答案】 ①. ##135度 ②. ##45度
【解析】
【分析】平行四边形对角相等，相邻的两个角互补，结合 即可求解．
【详解】解：由平行四边形的性质可得
，
， ，
， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，相邻的两个角互补．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=__．
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【答案】40°
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°,
∵DC=DB,
∴∠C=∠DBC=70°，
∴∠CDB=180°-70°-70°=40°.
故答案是：40°．
【点睛】考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识.
15. 一个四边形边长依次为 ， ， ， ，且 ，则这个四边形的形状为______．
【答案】平行四边形
【解析】
【分析】根据平方和绝对值的非负性可得 ， ，进而可得这个四边形的形状为平行四边形．
【详解】解： ， ， ，
， ，
， ，
这个四边形的形状为平行四边形，
故答案为：平行四边形．
【点睛】本题考查非负数的性质、平行四边形的判定，解题的关键是根据平方和绝对值的非负性得出
， ．
16. 已知三角形三条边的长分别是7cm，12cm，15cm，则连接三边中点所构成三角形的周长为
________cm．
【答案】17
【解析】
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【分析】三角形两边中点的连线是三角形的中位线，如解图，DE，DF，EF都是△ABC的中位线，根据中
位线的性质可分别求出长度，从而得到周长．
【详解】解：如下图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=15cm，BC=12cm，
AC=7cm
∵点D、E分别是AB、BC的中点
∴DE是△BAC的中位线
∴DE= cm
同理，EF= cm，DF= cm
∴△DEF的周长= ＋ ＋ cm
故答案为：17．
【点睛】本题考查三角形中位线的定理，需要注意，三角形的中位线平行且等于对应底边的一半，且不可
弄错边之间的关系．
17. 如图，在 中，D是 上一点， ，E，F分别是 ， 的中点， ，则
的长为________________
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；
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连结 ，根据等腰三角形三线合一的性质得出 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半求得 ．
【详解】解：如图，连结 ，
∵ ，F是 的中点，
∴ ，
又∵在 中，E是 的中点， ，
∴ ，
故答案为：4．
在
18. 若 ▱ABCD中，∠A=30°，AB=7cm，AD=6cm，则S
▱ABCD
=_________．
【答案】21cm2
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由直角三角形的性质可得DE= AD=3，即可求平行四边形ABCD的
面积．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠A=30°，DE⊥AB，
∴DE= AD=3，
∴S =BA×DE=7×3=21(cm2)，
ABCD
▱
故答案为：21cm2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，利用直角三角形的性质求DE的长度是本题
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的关键．
19. 如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是______．
【答案】(﹣2，4)
【解析】
【分析】作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，则∠AMO＝∠BNC＝90°，OM＝2，AM＝1，OB＝5，证明
△BCN≌△AOM(AAS)，得出BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，得出ON＝OB﹣BN＝4，即可得出答案．
【详解】解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：
则∠AMO＝∠BNC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵A(2，1)，B(0，5)，
∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，
∴∠CBN＝∠AOB，
∵∠AOM+∠AOB＝90°，
∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，
在△BCN和△AOM中， ，
∴△BCN≌△AOM(AAS)，
∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，
∴ON＝OB﹣BN＝4，
∴点C的坐标是(﹣2，4)；
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故答案为(﹣2，4)．
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解
题的关键．
20. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接AC，BO，依据点B的坐标为（3，2），即可得到OB＝ ，再根据四边形ABCO是矩形，
即可得出对角线AC的长.
【详解】解：如图，连接AC，BO，
∵点B的坐标为（3，2），
∴OB＝ ＝ ，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝BO＝ ，
故答案为： .
【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，熟知矩形的对角线相等是解答此题的关键.
21. 若菱形的边长等于一条对角线的长，则这条对角线与另一条对角线的比值是_____．
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【答案】 ##
【解析】
【分析】菱形的对角线互相垂直且平分，结合菱形的边长等于一条对角线的长，利用勾股定理解直角三角
形求出另一条对角线长即可．
【详解】解：如图所示，菱形 中， 的长等于菱形的边长， 与 交于点O，
的
由菱形 性质可得 ， ， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
22. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接
CE，则CE的长为________．
【答案】
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【解析】
【详解】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．
所以△AOE≌△COE．
设CE为x．
则DE=AD-x，CD=AB=2．
根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22
解得CE=13/6．
23. 如图，在菱形 中， ，E是 边的中点，P是 边上一动点， 的最
小值是 ，则 的长为______
【答案】2
【解析】
【分析】找出B点关于 的对称点D，连接 ，则 就是 的最小值，即 ．又易
证 是等边三角形，得出 ，结合 E 是 边的中点，又可得出 ．最后在
中，由勾股定理求解即可．
【详解】如图，连接 交 于P，连接 ，
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由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于 对称，则 ，
∴ ，即 就是 的最小值．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质和勾股定理等知识．理
解 就是 的最小值是解题关键．
三、计算题（每题4分，共12分）
24. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）3 （2）
（3）
【解析】
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、根式的乘方与开方等相关混合运算即可．
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【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
【小问3详解】
．
【点睛】本题考查负整数指数幂、零指数幂、根式的加减乘除混合运算等相关知识点，解题的关键是正确
运用运算法则．
四、解答题（25题4分，26，27题各6分，共16分）
25. 如图，已知 中，点E，F分别在 上，且 ．求证： ．
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【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到 ，进而可证明
四边形 是平行四边形，则 ．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
26. 如图，在 中， 是 上的一点， 是 的中点，过点 作 ，交 的延长线于点
，且 ，连接 ．
（1）求证： 是 的中点；
（2）若 ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）矩形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论；
（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行
且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．
【详解】解：（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
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，
∴△AFE≌△DBE（AAS）．
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．
即：D是BC的中点．
（2）四边形ADCF是矩形；
证明：∵AF=DC，AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识
综合运用．
27. 对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边
形”．
（1）已知：如图1，四边形 是“等对角四边形”， ， ， 则
______度， ______度．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
小红画了一个“等对角四边形 ”（如图2），其中 ， ，此时她发现
成立．请你证明此结论；
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（3）已知：在“等对角四边形 ”中， ， ， ， ．
则对角线 的长为______．
【答案】（1）130；80
（2）见解析 （3） 或
【解析】
【分析】（1）根据四边形 是“等对角四边形”得出 ，根据多边形内角和定理求
出 即可；
（2）接 ，根据等边对等角得出 ，求出 ，根据等腰三角形的判定得出
即可；
（3）情况：（Ⅰ）当 时，延长 相交于点E，先用含 角的直角三角形
的性质求出 ，得出 ，再用三角函数求出 ，由勾股定理求出 ；
（Ⅱ）当 时，过点D作 于点M， 于点N，则 ，
四边形 是矩形，先求出 ，再由矩形的性质得出 ，
求出 ，根据勾股定理求出 即可．
【小问1详解】
解：如图1，
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∵等对角四边形 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：130；80．
【小问2详解】
解：如图2，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：分两种情况：（Ⅰ）如图4，当 时，延长 相交于点E，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（Ⅱ）如图5，当 时，过点D作 于点E， 于点F，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述： 的长为 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定
理、含30度的直角三角形的性质、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，
需要进行分类讨论，解题的关键是通过作辅助线运用含30度的直角三角形的性质和勾股定理才能得出结果．
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