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丰台区 2019-2020 学年度第一学期期末练习
初三数学
一、选择题
1.函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】
抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.
【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的最值.
2.如图，在 中， ∥ ，如果 ， ， ，那么 的值为（ ）
△
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例可得到 ，从而AC的长度可求.
【详解】∵ ∥
∴
∴
∴故选B
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.
3.在 中，∠ ，如果 ， ，那么cos 的值为（ ）
△
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出AB的长度，从而 可求.
【详解】∵∠ ， ，
∴
∴
故选A
【点睛】本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.
4.如图， ， ， 是⊙ 上的三个点，如果∠ °，那么∠ 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在弧AB上取一点D，连接AD,BD，利用圆周角定理可知 ,再利用圆内接四边形的性质
即可求出∠ 的度数.
【详解】
如图，在弧AB上取一点D，连接AD,BD，
则
∴
故选C
【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题
的关键.
5.设A（ x ， y）、B （x ， y）是反比例函数 图象上的两点．若x＜x＜0，则y 与y 之间的
1 1 2 2 1 2 1 2
关系是（ ）
A. y＜y＜0 B. y＜y＜0 C. y＞y＞0 D. y＞y＞0
1 2 2 1 2 1 1 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x＜x＜0即可得出结论．
1 2【详解】∵反比例函数 中，k=2>0，
∴函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴0>y1＞y2．
故选：B
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
6.如图，在扇形 中，∠ ， ，则阴影部分的面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用阴影部分 的面积等于扇形面积减去 的面积即可求解.
【详解】
=
故选D
【点睛】本题主要考查扇形面积和三角形面积，掌握扇形面积公式是解题的关键.
7.定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度 (单位： )与水平距离 (单位： )近似满足函数关系 (a≠0)．下
表记录了该同学将篮球投出后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高
点时，水平距离为（ ）
x (单位：m)
y (单位：m) 3.05
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案.
【详解】将 代入 中得
解得
∴
∵
∴当 时，
故选C
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质
是解题的关键.
8.我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还
有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图 )，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边
长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图 是等宽的勒洛三角形和圆形滚
木的截面图.图 图
有如下四个结论：
①勒洛三角形 是中心对称图形
②图 中，点 到 上任意一点的距离都相等
③图 中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】
逐一对选项进行分析即可.
【详解】①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；
②图 中，点 到 上任意一点的距离都相等，故②正确；
③图 中，设圆的半径为r
∴勒洛三角形的周长=
圆的周长为
∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；
④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误
故选B
【点睛】本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键.
二、填空题
9.如果 ，那么 _________．【答案】
【解析】
【分析】
将 进行变形为 ，从而可求出 的值.
【详解】∵
∴
故答案为
【点睛】本题主要考查代数式的求值，能够对原式进行适当变形是解题的关键.
10.如果 ，那么锐角 _________°．
【答案】30
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值即可得出答案.
【详解】∵
∴
故答案为30
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
11.在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗
杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为_________m．【答案】12
【解析】
【分析】
根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.
【详解】设旗杆的高度为x m,
∵
∴
故答案为12
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物
体的影长是解题的关键.
12.如图， 是⊙ 的一条弦， ⊥ 于点 ，交⊙ 于点 ，连接 . 如果 ， ，
那么⊙ 的半径为_________．
【答案】5
【解析】
【分析】
由垂径定理可知 ，在 中利用勾股定理即可求出半径.
【详解】设⊙ 的半径为r∵ 是⊙ 的一条弦， ⊥ ，
∴
在 中
∵
∴
∴
故答案为5
【点睛】本题主要考查勾股定理及垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理的内容是解题的关键.
13.请你写出一个函数，使它的图象与直线 无公共点，这个函数的表达式为_________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】
直线 经过一三象限，所以只要找到一个过二、四象限的函数即可.
【详解】∵直线 经过一三象限， 图象在二、四象限
∴两个函数无公共点
故答案为
【点睛】本题主要考查正比例函数的图象与性质，掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题的关
键.
14.如图所示的网格是正方形网格， 和 的顶点都是网格线交点，那么∠ ∠
△ △
_________°．【答案】45
【解析】
【分析】
先利用平行线的性质得出 ，然后通过勾股定理的逆定理得
出 为等腰直角三角形，从而可得出答案.
【详解】如图，连接AD，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为45
【点睛】本题主要考查平行线的性质及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理及平行线的性质是解题
的关键.15.将矩形纸片 按如下步骤进行操作：
（1）如图 ，先将纸片对折，使 和 重合，得到折痕 ；
（2）如图 ，再将纸片分别沿 ， 所在直线翻折，折痕 和 相交于点 .那么点 到边 的
距离与点 到边 的距离的比值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由矩形的性质可知 ,从而得出两个三角形的相似比，再利用相似三角形的性质可得出答案.
【详解】∵四边形ABCD为矩形
∴
∴
又∵
∴
∴
∴点 到边 的距离与点 到边 的距离的比值是
故答案为
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.16.某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，
图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心 顺时针方向转动，转一圈为 分钟．从小刚由登舱
点 进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点_________处(填 ， ， 或
)，此点距地面的高度为_______m．
【答案】 (1). C (2). 78
【解析】
【分析】
根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了 圈，即可确定出座舱到达了哪个位置；再利用垂径定理和
特殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可.
【详解】∵转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了 圈
∴乘坐的座舱到达图2中的点C处
如图，连接BC,OC,OB,作OQ⊥BC于点E
由图2可知圆的半径为44m，即
∵OQ⊥BC
∴
∴
∴
∴点C距地面的高度为 m
故答案为C,78
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握垂径定理及特殊角的锐角三角函数是解题的关键.
三、解答题
17.计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】解：原式
.
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
18.如图， 是□ ABCD 的边 延长线上一点，连接 ，交 于点 ．求证： ∽ CDF．
△ △【答案】详见解析
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质即可证明.
【详解】证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ ∠ ， ∥ ，
∴∠ ∠ ．
∴△ ∽△
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键.
19.已知二次函数 ．
（1）在平面直角坐标系 中画出该函数的图象；
（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2） ≤ ≤0
【解析】
【分析】
（1）按照列表，取点，连线的步骤画图即可；
（2）根据图象即可得出答案.
【详解】解：（1）列表如下：
-2 -1 0 1 2 3
5 0 -3 -4 -3 0函数图象如下图所示：
（2）由图象可知，当0≤x≤3时， ≤ ≤0．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
20.在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象的两个交点分别为点 ( ， )和点
．
（1）求 的值和点 的坐标；
（2）如果点 为 轴上 的一点，且∠ 直接写出点A的坐标．
【答案】（1）k=1,Q（-1，-1）．（2）
【解析】
【分析】
（1）将点P代入直线 中即可求出m的值，再将P点代入反比例函数 中即可得出k的值，通过
直线与反比例函数联立即可求出Q的坐标；
（2）先求出PQ之间的距离，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出点A的坐标.
【详解】解：（1）∵点 ( ， )在直线 上，
∴ ．∵点 ( ， )在 上，
∴ ．
∴
∵点 为直线 与 的交点，
∴ 解得
∴点 坐标为( ， )．
（2）由勾股定理得
∵∠
∴
∴ ( ,0) , ( ,0)．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合,掌握待定系数法，勾股定理是解题的关键.
21.习近平总书记指出，到2020年全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．为贯彻习总书记的指示，
实现精准脱贫，某区相关部门指导对口帮扶地区的村民，加工包装当地特色农产品进行销售，以增加村民
收入．已知该特色农产品每件成本10元，日销售量 (袋)与每袋的售价 (元)之间关系如下表：
每袋的售价 (元) … 20 30 …
日销售量 (袋) … 20 10 …
如果日销售量y (袋)是每袋的售价x(元)的一次函数，请回答下列问题：
（1）求日销售量y(袋)与每袋的售价x(元)之间的函数表达式；
（2）求日销售利润 (元)与每袋的售价 (元)之间的函数表达式；
（3）当每袋特色农产品以多少元出售时，才能使每日所获得的利润最大？最大利润是多少元？
(提示：每袋的利润=每袋的售价 每袋的成本)【答案】（1） ；（2）P= ；（3）当每袋特色农产品以25元出售时，才能使
每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据日销售利润=每袋的利润×销售量即可得出日销售利润 (元)与每袋的售价 (元)之间的函数表达
式；
（3）根据二次函数的性质求最大值即可.
【详解】解：（1）设一次函数的表达式为： ，
将( ， )，( ， )代入 中得
解得
∴售量 (袋)与售价 (元)之间的函数表达式为 ．
(2) ( )( )
．
(3) ( ) ( 40)
∴当 时，
∴当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键.
22.中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定：
一、在城市道路范围内，在不影响行人、车辆通行的情况下，政府有关部门可以规划停车泊位.停车泊位的
排列方式有三种，如图所示：二、双向通行道路，路幅宽 米以上的，可在两侧设停车泊位，路幅宽 米到 米的，可在单侧设停车
泊位，路幅宽 米以下的，不能设停车泊位；
三、规定小型停车泊位，车位长 米，车位宽 米；
四、设置城市道路路内机动车停车泊位后，用于单向通行的道路宽度应不小于 米.
根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为 米的双向通
行车道设置同一种排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题：
（1）可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为 ；
（2）如果这段道路长 米，那么在道路两侧最多可以设置停车泊位 个.
(参考数据： ， )
【答案】（1）平行式或倾斜式．（2）36．
【解析】
【分析】
（1）对应三种方式分别验证是否合适即可；
（2）分别按照第（1）问选出来的排列方式计算停车泊位，进行比较取较大者即可.
【详解】（1）除去两车道之后道路宽
因为要在道路两旁设置停车泊位，所以每个停车泊位的宽必须小于等于3m，所以方式3垂直式不合适，排
除；方式1平行式满足要求，对于房市，它的宽度为 ，要满足要求，必须有 ，即
，所以当 时，方式2倾斜式也能满足要求.
故答案为平行式或倾斜式（2）若选择平行式，则可设置停车泊位的数量为 （个）
若选择倾斜式，每个停车泊位的宽度为 ，要使停车泊位尽可能多，就要使宽度尽可能小，所以取
，此时每个停车位的宽度为 ，所以可设置停车泊位的数量为
（个）
故答案为36
【点睛】本题主要考查理解能力以及锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
23.如图，点O为∠ABC的边 上的一点，过点O作OM⊥AB于点 ，到点 的距离等于线段OM的
长的所有点组成图形 ．图形W与射线 交于E，F两点(点在点F的左侧).
（1）过点 作 于点 ，如果BE=2， ，求MH的长；
（2）将射线BC绕点B顺时针旋转得到射线BD，使得∠ ，判断射线BD与图形 公
共点的个数，并证明．
【答案】（1）MH= ；（2）1个．
【解析】
【分析】
（1）先根据题意补全图形，然后利用锐角三角函数求出圆的半径即 OM的长度，再利用勾股定理求出BM的长度，最后利用 可求出MH的长度.
（2）过点O作 ⊥ 于点 ，通过等量代换可知∠ ∠ ，从而利用角平分线的性质可知
，得出 为⊙ 的切线，从而可确定公共点的个数.
【详解】解：（1）∵到点 的距离等于线段 的长的所有点组成图形 ，
∴图形 是以 为圆心， 的长为半径的圆．
根据题意补全图形：
∵ 于点M，
∴∠ ．
在△ 中，
，
∴ ．
∵
∴ ，
解得： ．
∴ ．在 △ 中，
，
∴ ．
∵
∴
∴ ．
（2） 解： 1个．
证明：过点O作 ⊥ 于点 ，
∵∠ ∠ ，
且∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ．
∴ ．
∴ 为⊙ 的切线．
∴射线 与图形 的公共点个数为1个．
【点睛】本题主要考查解直角三角形和直线与圆的位置关系，掌握圆的相关性质,勾股定理和角平分线的性
质是解题的关键.
24.在二次函数的学习中，教材有如下内容：小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解.于是他们尝试利用图象法探究方
程 的近似解，做法如下：
请你选择小聪或小明的做法，求出方程 的近似解(精确到0.1).
【答案】（1）详见解析， ， ， ．（2）详见解析， ， ，
．
【解析】
【分析】
分别按照小聪和小明的作法列表，描点，连线画出图象然后找近似值即可.【详解】解法 ：选择小聪的作法，
列表并作出函数 的图象：
… -1 0 1 2 …
… …
根据函数图象，得近似解为 ， ， ．
解法2：选择小明的作法，
列表并作出函数 和 的图象：
… -1 0 1 2 3 …
… …
… -2 -1 1 2 …
… …根据函数图象，得近似解为 ， ， .
【点睛】本题主要考查根据函数图象求方程的近似解，能够画出函数图象是解题的关键.
25.在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 沿 轴翻折得到抛物线 .
（1）求抛物线 的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
① 当 时，求抛物线 和 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；
② 如果抛物线C 和C 围成的封闭区域内(包括边界)恰有 个整点，求m取值范围．
1 2
【答案】（1）（-1，-1）；（2）①整点有5个．② ≤ ．
【解析】
【分析】
（1）可先求抛物线 的顶点坐标，然后找到该店关于x轴对称的点的坐标即为抛物线 的顶点坐标.
（2）① 先求出当 时，抛物线 和 的解析式并画在同一个直角坐标系中即可确定整点的个数；
②结合整点的个数，确定抛物线与 轴的一个交点的横坐标的取值范围，从而代入抛物线解析式中确定m
的取值范围.
【详解】（1）∵
∴ 的顶点坐标为
∵抛物线 ： 沿 轴翻折得到抛物线 .
∴ 的顶点坐标为（ ， ）
（2）①当 时， ， ．根据图象可知， 和 围成的区域内(包括边界)整点有5个．
②抛物线在 和 围成的区域内 (包括边界) 恰有 个整点，结合函数图象，可得抛物线与 轴的一个交
点的横坐标的取值范围为 ≤ ．
将（1， ）代入 ，得到 ，
将（2， ）代入 ，得到 ，
结合图象可得 ≤ ．
【点睛】本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质及整点的定义是解题的关键.
26.如图，∠MAN=90 ， ， 分别为射线 ， 上的两个动点，将线段 绕点 逆时针旋转
°
到 ，连接 交 于点 ．（1）当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出 的值；
（2）写出一个∠ACB的度数，使得 ，并证明．
【答案】（1） ；（2）∠ ．
【解析】
【分析】
（1）按照题意补全图形即可，由已知可证△ ∽△ ，再由相似三角形的性质可知 ，
从而可得答案；
（2）过点 作 于点 ，由已知可证△ ∽△ ，从而有 ，再利用∠ACB的
度数可求出 ，从而可得出答案.
【详解】解：（1）正确补全图形；
∵
∴△ ∽△
∴∵
∴ ．
（2）解：∠ ．
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
过点 作 于点 ，
∴
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ∠ ．
∴△ ∽△ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握旋转的性质及相似三角形的判定是解题的关键.27.平面直角坐标系 中有点 和某一函数图象 ，过点 作 轴的垂线，交图象 于点 ，设点 ，
的纵坐标分别为 ， ．如果 ，那么称点 为图象 的上位点；如果 ，那么称点
为图象 的图上点；如果 ，那么称点 为图象 的下位点．
（1）已知抛物线 .
① 在点A(-1，0)，B(0，-2)，C(2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；
② 如果点 是直线 的图上点，且为抛物线的上位点，求点 的横坐标 的取值范围；
（2）将直线 在直线 下方的部分沿直线 翻折，直线 的其余部分保持不变，
得到一个新的图象，记作图象 ．⊙ 的圆心 在 轴上，半径为 ．如果在图象 和⊙ 上分别存在
点 和点F，使得线段EF上同时存在图象 的上位点，图上点和下位点，求圆心 的横坐标 的取值
范围．
【答案】（1）①A，C.② ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）①分别将A,B,C三个点的横坐标代入抛物线的解析式中，然后比较求出的函数值与各自点的纵坐标，
最后依据上位点的定义判断即可得出答案；
②找到直线 与抛物线 的两个交点，即可确定点 的横坐标 的取值范围
（2）当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求,数形结合求出临界点时
圆心的横坐标，即可得出答案.
【详解】解：（1）①当 时， ，所以A点是抛物线的上位点；
当 时， ，所以B点不是抛物线的上位点；
当 时， ，所以C点是抛物线的上位点；故答案为 ， .
②∵点 是直线 的图上点，∴点 在 上.
又∵点 是 的上位点，
∴点 在 与 的交点 ， 之间运动.
∵
∴
∴点 ( ， )， ( ， ).
∴ .
（2）如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.
将 沿直线 翻折后的直线的解析式为当 时， ，∴A(-3,0),OA=3
当 时， ∴C(0,3),OC=3
∴
∵
∴
∴
∵A(-3,0)
∴
同理可得
∴线段EF上同时存在图象 的上位点，图上点和下位点，圆心 的横坐标 的取值范围为
或 .
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握上位点，图上点和下位点的概念是解题的关键.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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