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2022-2023 学年初二下学期数学统一练习 3
一、选择题（每题4分，共32分，只有一个选项是正确的）
1. 在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行且另一组对边相等
C. 两组邻边相等 D. 对角线互相垂直
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【详解】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：
平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是
平行四边形，③两组对角分别平行的四边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A. 3，4，5 B. 1， ， C. 2，2，3 D. 5，12，13
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形；
B、12+（ ）2＝（ ）2，能构成直角三角形；
C、22+22≠32，不能构成直角三角形．
D、52+122＝132，能构成直角三角形；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要
利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3. 已知直角三角形ABC中， ， ，若 ，则AB长为（ ）
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A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 计算．
【详解】解：∵∠A=30°，∠C=90°，AC= ，
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练运用三角函数关系是解题的关键
4. 如图，在 中， ，则 的长为（ ）
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
【答案】A
【解析】
的
【分析】根据平行四边形 对角线互相平分，可得 ，又由 ，根据勾股定
理，即可求得 的长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及勾股定理解三角形．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，
对边相等，是解题的关键．
5. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同
学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到 ， 的中点D，E，并且测
出 的长为 ，则A，B两点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果．
【详解】解：∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位
线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6. 如图，在 中， ，延长 至F，延长 至E，连接 ，则 的值为（
）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出 ，根据邻补角求出
，根据三角形外角的性质得出答案即可．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行四边形对角相等，求出
，是解题的关键．
7. 如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，若
， ，则 的长为（ ）
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
【答案】A
【解析】
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【分析】根据角平分线的性质，结合平行四边形的性质可得 ；然后通过证明 得
到四边形 为平行四边形，再由 推出四边形 为菱形；根据菱形的性质可得 、
、 ，利用勾股定理计算出 的长，进而可得 的长．
【详解】解：如图， 是 的角平分线，
．
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
同理可得 ，
四边形 为平行四边形．
，
四边形 为菱形．
， ， ．
在 中， ，
．
故选：C．
【点睛】本题侧重考查平行四边形的性质、角平分线的性质、菱形
的判定与性质、勾股定理，掌握两种四边形的性质定理是解决此题的关键．
8. 如图，点A、B为定点，定直线 ，P是l上的一个动点，点M、N分别是 、 的中点，对下
列选项：①线段 的长；② 的周长；③ 的面积；④直线 ， 之间的距离：⑤
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的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A. ②③⑤ B. ②⑤ C. ①③④ D. ⑤
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是l上一动点判断②；根据三角形的面积公式判断③；根
据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．
【详解】解：①∵点M，N分别为 、 的中点，
∴ ，即线段 的长不会随点P的移动而变化；
② 、 随点P的移动而变化，
∴ 的周长随点P的移动而变化；
③∵点M，N分别为 、 的中点，
∴ ， ，
∵点A，B为定点，
∴ 的长为定值，
∴线段 的长为定值，
∵ ， ，
∴ ，
∵P是l上的一个动点，
∴点P到 的距离为定值，
∴ 的面积为定值，
即 的面积不会随点P的移动而变化；
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④∵ ，
∴直线 ， 之间的距离不会随点P的移动而变化；
⑤ 的大小随点P的移动而变化；
综上分析可知，会随点P的移动而变化的是②⑤，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理、平行线间的距离、三角形面积的计算，掌握三角形的中位
线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
二、填空题：（每空3分，共30分）
9. 如果 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方式大于且等于零列式求解即可.
【详解】由题意得
x+8≥0，
∴ .
故答案为 .
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方式大于且等于零时二次根式有意义是解答本
题的关键.
10. 若一个三角形的三边长分别为 ，则这个三角形最长边上的高为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由 ，可知该三角形为直角三角形，直角边长为6、8，斜边长为10，设这个三
角形最长边上的高为 ，依题意得， ，计算求解即可．
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【详解】解：∵ ，
∴该三角形为直角三角形，直角边长为6、8，斜边长为10，
设这个三角形最长边上的高为 ，
依题意得， ，
解得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活
运用．
11. 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，
请你说出这样判断的依据是______．
【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可．
【详解】解：如图所示，设 与 为两条铁轨， ， ， 等均为枕木，
由题意， ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
同理可证，四边形 等均为平行四边形，
∴
∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了，
∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
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故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
12. 如图，在平行四边形 D中， ，在 上取 ，则 的度数是_____度．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质求得 ， ，再根据等腰三角形的性质求得
，进而可求解．
【详解】解：在平行四边形 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性
质，找到角之间的关系并正确求解是解答的关键．
13. 如图，在 中， ，点D为 的中点，若 ， ，则 的长为______．
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【答案】
【解析】
的
【分析】先由勾股定理求出 长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得 的长．
【详解】解：在 中， ，
由勾股定理得：
，
是 中点，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．
14. 在如图所示的方格纸中有一个菱形 ， ， ， 四点均为格点），若方格纸中每个小正方形
的边长均为1，则该菱形的面积为________．
【答案】12
【解析】
【分析】如图：菱形的两对角线分别为6、4，根据菱形的面积计算公式可求解．
【详解】解：由图可得，菱形的两对角线长分别为6、4，则该菱形的面积为 ．
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故答案为：12．
【点睛】主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，还考查了学生的读图能力．
15. 如图所示，矩形 的对角线 和 相交于点 ，过点 的直线分别交 和 于点 、
， ， ，则图中阴影部分的面积为 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式的运用，掌握矩形的性质、
证明 是解题的关键．
【详解】解： 四边形 是矩形， ，
， ， ，
，
，
，则 ，
，
，故 ，
故答案为：3．
16. 如图，在平行四边形 中， ， 的平分线交 于点E，交 的
延长线于点F，则 _____cm．
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【答案】3
【解析】
【分析】先证明 ，再结合平行四边形的性质，计算即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
的
17. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，请确定点C 坐标，使得以A，B，C，O为顶
点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】分两种情况：①当 为平行四边形的边时，②当 为平行四边形的对角线时，讨论可得点C
的坐标．
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【详解】解：①当 为平行四边形的边时， ，
∵ ， ， ，
∴点C坐标为 或 ；
②当 为平行四边形的对角线时， ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求解．
18. 如图，在平行四边形 中，分别以 、 为边向外作等边 、 ，延长 交
于点G，点G在点A、E之间，连接 、 ， ，则以下四个结论一定正确的是：______．
① ；② ；③ 是等边三角形；④
【答案】①②③
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质和等边三角性的性质证得 ，
， ， ，进而有 ，利用“
”可判定①正确；根据 ， 可
判定②正确；进而可证明 ，得到 ，可证明③正确；当 时，
，可判断④不正确．
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【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∵ 和 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，故②正确；
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故③正确；
当 时， ，
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∴ ，但 的度数不确定，故④错误，
综上，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，
结合图形，找寻各知识点的联系是解题的关键．
三、解答题：（19-22每题6分，23-24每题7分，共38分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂运算法则，绝对值的意义进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂
运算法则，绝对值的意义．
20. 已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．
以下是甲、乙两同学的作业．
甲：①以点C为圆心，AB长为半径作弧；②以点A为圆心，BC长为半径作弧；③两弧在BC上方交于点
D，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1）
乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边
形．（如图2）
老师说甲、乙同学的作图都正确，
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甲的作法，他的作图依据是：_____；
乙的作法，他的作图依据是：_____．
【答案】 ①. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ②. 对角线互相平分的四边形是平行四边
形
【解析】
【分析】分别根据甲乙的作图方法以及平行四边形的判定解决问题即可．
【详解】解：甲：由作法知，AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
乙：由作法知，AM=CM，BM=DM，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理及作图，熟练掌握知识点是解题的关键．
21. 如图，在 中， ， 是对角线 上的两点，且 ．
求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．利用 证明 ，
即可证明 ．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ；
∴ ．
22. 如图，在▱ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证： ABF 是等边三角形；
（2）若∠CD△F=45°，CF=2，求AB的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据在▱ABCD中，∠ABC=60°，可以得到∠DAB的度数，然后根据AF平分∠DAB，可以得
到∠FAB的度数，然后等边三角形的判定方法即可得到 ABF是等边三角形；
（2）作FG⊥DC于点G，然后根据直角三角形中30°角所△对的直角边等于斜边的一半，可以得到CG、FG
的长，然后即可得到DG的长，从而可以得到DC的长，然后即可得到AB的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DAB=120°，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB=60°，
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∴∠FAB=∠ABF=60°，
∴∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°，
∴△ABF是等边三角形；
（2）作FG⊥DC于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴∠FCG=∠ABC=60°，
∴∠GFC=30°，
∵CF=2，∠FGC=90°，
∴CG=1，FG= ，
∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，
∴∠FDG=∠DFG=45°，
∴DG=FG= ，
∴DC=DG+CG= ，
∴AB= ，
即AB的长度是 ．
【点睛】本题考查等边三角形 的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答．
23. 如图，在 中， ，D为 边上一点，连接 ，E为 中点，过点C作
交BE的延长线于F，连接 交 于点G，连接 ．
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（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据“ ”证明 ，得出 ，根据一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形，即可证明结论；
（2）过点C作 于点H，根据直角三角形中 角作对的直角边等于斜边的一半，求出 ，
根据勾股定理求出 ，再求出 ，最后根据平行四边形面积公式求出结果即可．
【小问1详解】
证明：∵E为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
【小问2详解】
解：过点C作 于点H，如图所示：
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和
性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，证明 ．
24. 定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；
（2）如图1，四边形ABCD是“等对边四边形”，其中AB=CD，边BA与CD的延长线交于点M，点E、
F是对角线AC、BD的中点，若∠M=60°，求证：EF AB；
（3）如图2．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且满足∠DBC=∠ECB ∠A，线段CE、BD交
于点O．
①求证：∠BDC=∠AEC；
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②请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明．
【答案】（1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②
四边形EBCD是等对边四边形．证明见解析．
【解析】
【分析】（1）理解等对边四边形的图形的定义，有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等，可得出答案．
（2）取BC的中点N，连接EN，FN，由中位线定理可得EN＝12CD，FN＝12AB，可证明△EFN为等边三
角形，则结论得证；
（3）①证明∠EOB＝∠A，利用四边形内角和可证明∠BDC＝∠AEC；
②作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点．根据AAS可证明△BCF≌△CBG，则BF＝CG，证明
△BEF≌△CDG，可得BE＝CD，则四边形EBCD是“等对边四边形”．
【详解】（1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等．
（2）如图1，取BC的中点N，连接EN，FN，
∴EN CD，FN AB，
∴EN=FN．
∵∠M=60°，
∴∠MBC+∠MCB=120°．
∵FN∥AB，EN∥MC，
∴∠FNC=∠MBC，∠ENB=∠MCB，
∴∠ENF=180°﹣120°=60°，
∴△EFN为等边三角形，
∴EF=FN AB．
（3）①证明：∵∠BOE=∠BCE+∠DBC，∠DBC=∠ECB ∠A，
∴∠BOE=2∠DBC=∠A．
∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EOD=360°，∠BOE+∠EOD=180°，
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∴∠AEC+∠ADB=180°．
∵∠ADB+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠AEC；
②解：此时存在等对边四边形，是四边形EBCD．
如图2，作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点．
∵∠DBC=∠ECB ∠A，BC=CB，∠BFC=∠BGC=90°，
∴△BCF≌△CBG(AAS)，
∴BF=CG．
∵∠BEF=∠ABD+∠DBC+∠ECB，∠BDC=∠ABD+∠A，
∴∠BEF=∠BDC，
∴△BEF≌△CDG(AAS)，
∴BE=CD，
∴四边形EBCD是等对边四边形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，中位线定理，等腰三角形的判定与性质，
等边三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，解决本题的关键是理解等对边四边形的定义．
附加题（共10分，计入总分）：
25. 在 中， ，点O是 所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得
，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使 ，且 ，连接DE．若
，且 ， ，则 的大小为______．
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【答案】 或
【解析】
【分析】分点O在 内部和点O在 外部两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和
性质，结合中位线性质，等腰三角形的判定和性质，求出 即可．
【详解】解：当点O在 内部时，连接 交 于点F，连接 ，延长 交 于点M，连接
，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，A为 的中点，
∴ ，
∴ ；
当点O在 外部时，连接 交 于点F，连接 ，延长 交 于点M，连接 ，如图所
示：
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同理可得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 、A、O、M四点共圆，
∴ ，
∵ 为 的中点，A为 的中点，
∴ ，
∴ ；
综上分析可知， 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，垂直平分线性质，等腰三角形的
判定和性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论，作出图形，构造全等三角形解决问题．
26. 已知：四边形 中， ， ， ，对角线 相交于点
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O，且 平分 ，过点A作 ，垂足为H．判断线段 之间的数量关系：
___________；并证明你的结论．
【答案】 ，证明见解析
【解析】
【分析】先证明 是等边三角形，再证明 ，最后根据三角形内角和定理证明
， 在 上 截 取 ， 先 证 明 ， 得 出
，再证明 ，得出 ，即可解决问题．
【详解】 ，
证明：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
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∴ ，
在 上截取 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平
分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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