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北京师范大学附属中学 2021-2022 学年九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一
个是符合题意的.
1. 下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，﹣3） B. （﹣1，3） C. （1，﹣3） D. （1，3）
3. 平面直角坐标系内一点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （2，﹣3） B. （3，﹣2） C. （﹣2，﹣3） D. （2，3）
4. 如图，在 中，以C为中心，将 顺时针旋转35°得到 ，边 ， 相交于点F，
若 ，则 的度数为（ ）
A. 60° B. 65° C. 72.5° D. 115°
5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）
A. 34° B. 46° C. 56° D. 66°6. 已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，
3），则关于x的方程 ＝kx的两个实数根分别为（ ）
A. x＝﹣3，x＝3 B. x＝﹣3，x＝2 C. x＝﹣2，x＝3 D. x＝﹣2，x＝2
1 2 1 2 1 2 1 2
7. 已知抛物线 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -4 0 2 2 0 -4 …
下列结论：①抛物线开口向下；②当 时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴是直线 ；④
函数 的最大值为2.其中所有正确的结论为（ ）
A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
8. 如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
9. 北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看
作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝
ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函
数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
10. 如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，
BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分
别是（ ）
A. 150°， B. 150°，2 C. 120°， D. 120°，2
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
11. 函数 的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．
12. 将抛物线 向左平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为________.
13. 若抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，则m的值为 _____．的
14. 如图，AB是⊙O 一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．如果AB＝8，CD＝2，那
么⊙O的半径为_____．
的
15. 请你写出一个函数，使它 图象与直线 无公共点，这个函数的表达式为_________．
16. 下列关于抛物线y＝x2+bx﹣2．
①抛物线的开口方向向下；
②抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）；
③当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧；
④对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．
其中正确的说法是 _____．（填写正确的序号）
17. 已知A（ ， ），B（1， ），C（4， ）三点都在二次函数 的图象上，则
、 、 的大小关系为_______．
18. 如图，点E是正方形ABCD对角线上的一点，∠EAB＝70°，BE＝4，将AE绕点A逆时针旋转90°得
到线段AF，点F到AD的距离是 _____．
三、解答题（本题共54分，第19～25题，每小题5分，第26～27题，每小题5分，第28题
7分）19. 计算： ．
20. 如图，△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．将△ABC绕点A逆时针
旋转90°后，得到△ABC ．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△ABC ，并直接写出点B、C 的坐标：
1 1 1 1 1 1
B（ ， ）；C （ ， ）．
1 1
21. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
22. 如图，点A、B、C是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）若∠BAD＝30°，BC＝2 ，求⊙O的半径．23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），C（0，1），点D是矩形OABC对角线的交点．已知反
比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图像经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）反比例函数图像在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标
x的取值范围．
24. 已知抛物线 ．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m， ），N（2， ）在该抛物线上，若 ＞ ，求m的取值范围．
25. 已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙O的弦，DF⊥AB于点E，
OE＝1，∠BAD＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接并延长DO交 于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．26. 已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1，顶点为D，点A（﹣2，1），B（0，1）．
（1）求顶点D的坐标（用m表示）；
（2）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围．
27. 如图，正方形ABCD，将线段AB绕点顺时针旋转2α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接BE，
AP⊥BE于P，交DE于F，连接BF．
（1）①补全图形，
的
②∠ADE＝ （用含α 式子表示）；
（2）判断DE与BF的位置关系，并证明；
（3）若正方形ABCD的边长为2，点M是CD的中点，直接写出MF的最大值．
28. 规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形
G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣
d．
在平面直角坐标系xOy中，的
（1）如图1，图形G 为以O为圆心，2为半径 圆，直接写出以下各点到图形G 的距离跨度： A
1 1
（1，0）的距离跨度 ；B（﹣ ）的距离跨度 ；C（﹣3，﹣2）的距离跨度
；
的
（2）如图2，图形G 为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径 圆，直线y＝k（x﹣1）上存在到G 的距离
2 2
跨度为2的点，求k的取值范围；
（3）如图3，射线OP：y＝ x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP
上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围 ．
