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北京师范大学附属中学 2021-2022 学年九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一
个是符合题意的.
1. 下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能
够重合，则此图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一固定点旋转180度后能够与
原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，固定的点叫对称中心；理解两个概念是解答本题的关键．
2. 抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，﹣3） B. （﹣1，3） C. （1，﹣3） D. （1，3）
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．
【详解】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+3是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，3）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，
对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
3. 平面直角坐标系内一点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）A. （2，﹣3） B. （3，﹣2） C. （﹣2，﹣3） D. （2，3）
【答案】B
【解析】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P
（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【详解】解答：解：点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是：（3，﹣2）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4. 如图，在 中，以C为中心，将 顺时针旋转35°得到 ，边 ， 相交于点F，
若 ，则 的度数为（ ）
A. 60° B. 65° C. 72.5° D. 115°
【答案】B
【解析】
【分析】由图形旋转变换的性质，可得∠A=∠D=30°，再根据三角形的外角的性质，即可求解.
【详解】∵以C为中心，将 顺时针旋转35°得到 ，
∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
∴ =∠ACD+∠D=35°+30°=65°，
故选B.
【点睛】本题主要考查图形的旋转的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质，是解题的
关键.
5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）A. 34° B. 46° C. 56° D. 66°
【答案】C
【解析】
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可
求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．
【详解】解：∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝34°，
∴∠ABD＝34°
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，
故选C．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6. 已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，
3），则关于x的方程 ＝kx的两个实数根分别为（ ）
A. x＝﹣3，x＝3 B. x＝﹣3，x＝2 C. x＝﹣2，x＝3 D. x＝﹣2，x＝2
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据正、反比例函数图象的对称性可得出点A、B关于原点对称，由点A的坐标即可得出点B的
坐标，结合A、B点的横坐标即可得出结论．
【详解】解：∵正比例函数图象关于原点对称，反比例函数图象关于原点对称，
∴两函数的交点A、B关于原点对称，
∵点A的坐标为（﹣2，3），
∴点B的坐标为（2，﹣3）．∴关于x的方程 ＝kx的两个实数根为x＝﹣2，x＝2．
1 2
故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
7. 已知抛物线 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -4 0 2 2 0 -4 …
下列结论：①抛物线开口向下；②当 时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴是直线 ；④
函数 的最大值为2.其中所有正确的结论为（ ）
A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系数法可得二次函数解析式，根据二次函数的性质对各选项判断即可得答案.
【详解】∵抛物线经过（-1，2），（0，2），（2，0）三点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2，
∵-1<0，
∴抛物线开口向下，故①正确，
∵y=-x2+x+2=-(x- )2+ ，
∴对称轴为x= ，最大值为 ，故③正确，④错误，∴当x> 时，y随x的增大而减小，
∴当x>1时，y随x的增大而减小，故②正确，
综上所述：正确的结论有①②③，
故选：A.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，熟练掌握二次函数的性
质是解题关键.
8. 如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即
可．
【详解】解：∵ 切 于点
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的
性质，结合图形认真推导即可得解．
9. 北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看
作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函
数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解答：解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得 ，
解得6＜x＜9，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．
10. 如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，
BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分
别是（ ）A. 150°， B. 150°，2 C. 120°， D. 120°，2
【答案】D
【解析】
【分析】观察图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x＝0时，y＝2 ，即AB＝2 ，如图，
点C′是 的中点，连接OC′交AB于点D，则OC′⊥AB，AD＝BD＝ ，∠AOB＝2∠BOC′，利用
三角函数定义可得∠BOC′＝60°，即可求得答案．
【详解】解：由函数图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，
∴⊙O的直径为4，OA＝OB＝2，
观察图象，可得当x＝0时，y＝2 ，
∴AB＝2 ，
如图，点C′是 的中点，连接OC′交AB于点D，
∴OC′⊥AB，AD＝BD＝ ，∠AOB＝2∠BOC′，
∴sin∠BOC′＝ ＝ ，
∴∠BOC′＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°，
∴△BOC′是等边三角形，
∴BC′＝OB＝2，
即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2．故选：D
【点睛】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解
题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
11. 函数 的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标，即可得到答案.
【详解】由函数图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，-1），
∵抛物线的开口向上，
∴该函数的最小值是：-1.
故答案是：-1.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象，理解二次函数图象的开口方向和函数的最值，是解题的关键.
12. 将抛物线 向左平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为________.
【答案】y=(x+1)2
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案.
【详解】∵抛物线 向左平移1个单位长度，
∴抛物线平移后的表达式为y=(x+1)2，
故答案为：y=(x+1)2
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.
13. 若抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，则m的值为 _____．
【答案】m＜9
【解析】
【分析】令y＝0，则x2+6x+m＝0，由题意得Δ＞0，解不等式即可得出m的取值范围．【详解】解：令y＝0，则x2+6x+m＝0，
∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，
∴Δ＝62﹣4×1×m＞0．
解得：m＜9．
故答案为：m＜9．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线与x轴有两个交点时Δ＞0是解题的关键．
14. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．如果AB＝8，CD＝2，那么
⊙O的半径为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】解答：解：设⊙O的半径为R，则OC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝ AB＝4，
在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，即R2＝（R﹣2）2+42，
解得，R＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
是解题的关键．
15. 请你写出一个函数，使它的图象与直线 无公共点，这个函数的表达式为_________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】直线 经过一三象限，所以只要找到一个过二、四象限的函数即可.
【详解】∵直线 经过一三象限， 图象在二、四象限∴两个函数无公共点
故答案为
【点睛】本题主要考查正比例函数的图象与性质，掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题的关
键.
16. 下列关于抛物线y＝x2+bx﹣2．
①抛物线的开口方向向下；
②抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）；
③当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧；
④对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．
其中正确的说法是 _____．（填写正确的序号）
【答案】②④
【解析】
【分析】利用抛物线的性质对每个说法进行逐一判断即可得出结论．
【详解】∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口方向向上．
∴①说法错误；
令x＝0则y＝﹣2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）．
∴②说法正确；
∵抛物线y＝x2+bx﹣2的对称轴为直线x＝﹣ ，
∴当b＞0时，﹣ ＜0，
∴当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴左侧．
∴③说法错误；
令y＝0，则x2+bx﹣2＝0，
∵Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8＞0，
∴对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．
∴④说法正确；
综上，说法正确的有：②④，
故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，利用抛
物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点的性质解答是解题的关键．
17. 已知A（ ， ），B（1， ），C（4， ）三点都在二次函数 的图象上，则
、 、 的大小关系为_______．
【答案】y＜y＜y##y＞y＞y
1 3 2 2 3 1
【解析】
【分析】先确定抛物线 的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的
性质判断对应函数值的大小．
【详解】解：∵二次函数 的图像开口方向向下，对称轴是x=2，
∴A（ ， ）距对称轴的距离是 ，B（1， ）距对称轴的距离是1，C（4， ）距对称轴的距离
是2，
∵ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当
a＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．
18. 如图，点E是正方形ABCD对角线上的一点，∠EAB＝70°，BE＝4，将AE绕点A逆时针旋转90°得
到线段AF，点F到AD的距离是 _____．【答案】2
【解析】
【分析】过F点作FG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AB于点H，由旋转的性质以及正方形的性质可得
∠FAG＝∠EAH，AF＝AE，在利用AAS证出△FGA≌△EHA，可知点F到AD的距离即EH的长，再根据
BD是正方形的对角线可得△BHE是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得出结果．
【详解】如图，过F点作FG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵将AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
∴AF＝AE，∠FAE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠FAG＝∠EAH，
在△FAG与△EAH中，
，
∴△FGA≌△EHA（AAS），
∴FG＝EH，
∵BD是正方形的对角线，
∴∠ABD＝45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴EH＝ BE，
∵BE＝4，∴EH＝2 ，
∴FG＝2 ，
∴点F到AD的距离是2 ，
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形
判定，作辅助线构造两个三角形全等是关键．
三、解答题（本题共54分，第19～25题，每小题5分，第26～27题，每小题5分，第28题
7分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】化简二次根式，利用绝对值的性质求出绝对值，零指数幂，分母有理化，然后合并同类二次根式．
【详解】解： ，
= ，
= ，
= ，
＝ ．
【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，绝对值化简，零指数幂．分母有理化，熟练掌握二次根式
的加减混合运算，绝对值化简，零指数幂．分母有理化是解题关键．
20. 如图，△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△ABC ．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△ABC ，并直接写出点B、C 的坐标：
1 1 1 1 1 1
B（ ， ）；C （ ， ）．
1 1
【答案】画图见解析；B（1，2）；C （4，1）．
1 1
【解析】
【分析】图形绕点A逆时针旋转90°，将AB，AC逆时针旋转90°，得到 ，连接 ，
利用网格特点和旋转的性质得出点B、C 的坐标，从而得到△ABC ．
1 1 1 1
【详解】如图所示，△ABC 为所作，B 点的坐标为（1，2），C 点的坐标为（4，1）．
1 1 1 1
故答案为（1，2），（4，1）．
【点睛】本题考察了绕某点画旋转图形以及求点坐标，首先找到旋转的点，根据旋转角度和网格特征，即
可得到对应坐标点．
21. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）（2，﹣1）；（2）见解析；（3）﹣1≤y＜3．
【解析】
【分析】（1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
（2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数
图象；
（3）根据函数图象中的数据，可以写出y的取值范围．
【详解】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，
的
∴该函数与x轴 两个交点坐标为（3，0），（1，0），顶点坐标为（2，﹣1），过点（0，3），
（4，3），
函数图象如图所示；
（3）由图象可得，
当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1≤y＜3．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
22. 如图，点A、B、C是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）若∠BAD＝30°，BC＝2 ，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】
【分析】（1）先根据垂径定理得到 ，然后利用圆周角定理得到结论；
（2）连接OB，如图，利用垂径定理得到BE＝CE＝ ，再利用圆周角定理得到∠BOE＝60°，然后利用
含30度的直角三角形三边的关系求OB的即可．
【详解】解答：（1）证明：∵BC⊥AD，
∴
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：连接OB，如图，
∵BC⊥AD，
∴BE＝CE＝ BC＝ ×2 ＝ ，
∵∠BOE＝2∠BAD＝2×30°＝60°，
在Rt△BOE中，∵OE＝ BE＝ × ＝1，
∴OB＝2OE＝2，
即⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），C（0，1），点D是矩形OABC对角线的交点．已知反
比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图像经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
的
（1）求点D 坐标和k的值；
（2）反比例函数图像在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标
x的取值范围．
【答案】（1）点D的坐标为（1， ）；k＝ ；（2） ≤x≤2．
【解析】
【分析】（1）先求得D点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据M的纵坐标，即可求得M的横坐标，结合N的横坐标，即可得到图形G上点的横坐标x的取值
范围．
【详解】解答：解：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A（2，0），C（0，1），
∴点D的坐标为（1， ）．
∵反比例函数y＝ （k≠0）的图像经过点D，
∴ ，
解得：k＝ ．
（2）由题意可得：点M的纵坐标为1，点N的横坐标为2．∵点M在反比例函数y＝ 的图像上，
∴点M的坐标为（ ，1），
∴ ≤x≤2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像性质，准确计算是解题的关键．
24. 已知抛物线 ．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m， ），N（2， ）在该抛物线上，若 ＞ ，求m的取值范围．
【答案】（1）直线x=-1；（2） 或 ；（3）当a＞0时，m＜－4或m＞
2；当a＜0时，－4＜m＜2．
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．
（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式．
（3）分类讨论当a＞0时和a＜0时二次函数的性质，即可求出m的取值范围．
【详解】（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴 ．
故答案为： ．
（2）∵抛物线顶点在x轴上，对称轴为 ，
∴顶点坐标为(-1，0)．
将顶点坐标代入二次函数解析式得： ，
整理得： ，
解得： ．∴抛物线解析式为 或 ．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝-1，
∴N(2，y)关于直线x＝-1的对称点为 (-4，y)．
2 2
根据二次函数的性质分类讨论．
（ⅰ）当a＞0时，抛物线开口向上，若y＞y，即点M在点N或 的上方，则m＜-4或m＞2；
1 2
（ⅱ）当a＜0时，抛物线开口向下，若y＞y，即点M在点N或 的上方，则－4＜m＜2．
1 2
【点睛】本题为二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
25. 已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙O的弦，DF⊥AB于点E，
OE＝1，∠BAD＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接并延长DO交 于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析， ．
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD＝30°，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，
根据直角三角形的性质得到OE＝ OD，求得OD＝2OE＝2，得到AB＝2OD＝4，根据等腰三角形的性质
得到∠DCA＝∠DAC＝30°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接FG，根据勾股定理得到DE＝ ＝ ＝ ，根据三角形中位线的性质得到
OE＝ FG，求得FG＝2OE＝2，由勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝30°，
∵DF⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，
∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，
∴OE＝ OD，
∴OD＝2OE＝2，
∴OA＝OD＝2，
∵AB是⊙O直径，
∴AB＝2OD＝4，
∵AB＝2BC，
∴BC＝2，
∴AE＝OA+OE＝3，
∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，
∴AE＝CE，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，
∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接FG，
在Rt△DOE中，
∵OD＝2，OE＝1
∴DE＝ ＝ ＝ ，∵OE⊥DF，
∴EF＝DE＝ ，
∵OD＝OG，
∴OE是△DFG的中位线，
∴OE＝ FG，
∴FG＝2OE＝2，
在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，
∴GE＝ ＝ ＝ ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等，熟练掌握垂径
定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等知识是解题的关键．
26. 已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1，顶点为D，点A（﹣2，1），B（0，1）．
（1）求顶点D的坐标（用m表示）；
（2）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围．
【答案】（1）（m，m+1）；（2）m≤﹣1；（3）﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．
【解析】
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．
（2）由抛物线开口方向和顶点坐标可得顶点纵坐标m+1≤0时满足题意．
（3）根据抛物线顶点坐标可得抛物线运动规律，通过数形结合求解．
【详解】解答：解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，
∴抛物线顶点D坐标为（m，m+1）．
（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（m，m+1），
∴当m+1≤0时，抛物线与x轴有交点，
解得m≤﹣1．
（3）∵抛物线顶点坐标为（m，m+1），
∴抛物线顶点所在图象为直线y＝x+1，
当m＜﹣2时，抛物线对称轴在点A左侧，
把A（﹣2，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得1＝4+4m+m2+m+1，
解得m＝﹣4或m＝﹣1（舍），
如图，∴m增大时，抛物线与线段有交点，
当m＜0时，抛物线对称轴在点B左侧，
把B（0，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得0＝1﹣2m+m2+m+1，
解得m＝﹣1或m＝2（舍）．
此时抛物线同时经过点A，B，如图，
∴﹣4≤m＜﹣1满足题意．
m增大，抛物线沿直线y＝x+1移动，
当抛物线经过点B时m＝0，
∴﹣1＜m≤0满足题意．
综上所述，﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是根据顶点坐标找出抛物线运动规律，通过数形结合求
解．
27. 如图，正方形ABCD，将线段AB绕点顺时针旋转2α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接BE，
AP⊥BE于P，交DE于F，连接BF．
（1）①补全图形，②∠ADE＝ （用含α的式子表示）；
（2）判断DE与BF的位置关系，并证明；
（3）若正方形ABCD的边长为2，点M是CD的中点，直接写出MF的最大值．
【答案】（1）①图见解析；②45°﹣α；（2）DE⊥BF，证明见解析；（3） +1．
【解析】
【分析】（1）①根据叙述，画出图形；
②由AE＝AB，AB＝AD推出AE＝AD，进而求得结果；
（2）根据∠AEF＝∠ABF，∠AEF＝∠ADF，得出∠ABF＝∠ADF，推出A、F、B、D共圆，从而∠BFD＝
∠BAD，从而得出结论；
（3）连接BD；由∠BFD＝90°推出点F在以BD为直径的圆上，当MF过圆心时，MF最大，进而求得结果．
【详解】（1）①补全的图形如图1所示，
②∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝90°+2α，
由旋转性质得：AE＝AB，
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝＝
＝45°﹣α，
故答案是：45°﹣α；
（2）如图2，连接BD，
DE⊥BF，理由如下：
∵AE＝AB，AP⊥BE，
∴∠AEB＝∠ABE，EP＝PB，
∴FE＝FB，
∴∠FEP＝∠FBP，
∴∠AEB﹣∠FEP＝∠ABE﹣∠FBP，
∴∠AEF＝∠ABF，
∵∠AEF＝∠ADE，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴点A、F、B、D共圆，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，
∴DE⊥BF；
（3）如图3，连接BD，
∵∠BFD＝90°，
∴点F在以BD为直径的⊙O上，过M点作⊙O的直径NF′，则MF′最大，
∵OM＝ BC＝1，NF′＝BD＝2 ，
∴ ，
∴ ，
即MF的最大值是： +1．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，四点共圆等知
识，四点共圆是解答本题的关键，也是难点．
28. 规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形
G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣
d．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）如图1，图形G 为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G 的距离跨度： A（1，
1 1
0）的距离跨度 ；B（﹣ ）的距离跨度 ；C（﹣3，﹣2）的距离跨度 ；
（2）如图2，图形G 为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y＝k（x﹣1）上存在到G 的距离跨
2 2
度为2的点，求k的取值范围；
（3）如图3，射线OP：y＝ x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围 ．
【答案】（1）2；2；4；（2）﹣ ≤k≤ ；（3）﹣1≤x ≤2．
E
【解析】
【分析】（1）先根据距离跨度的定义求得点到圆的最小距离d和最大距离D，利用D﹣d即可得出结论；
（2）利用（1）计算过程得出规律：到G 的距离跨度为2的点在以D为圆心，1为半径的圆上；由已知可
2
得：直线y＝k（x﹣1）经过点A（1，0），利用直线y＝k（x﹣1）与该圆相切时的k值，结合图形，发现
直线y＝k（x﹣1）与以点D为圆心，1为半径的圆有公共点时 满足条件，从而得到k的取值范围；
（3）过点E作EC⊥OP于点C，交⊙E于点D，H，由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运
动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以点E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E
为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，结合图形即可的结论．
【详解】解答：解：（1）如图，设圆O交x轴于点E，F，
∵A（1，0）在直径EF上，
∴d＝AF＝1，D＝AE＝3，
∴A（1，0）的距离跨度＝D﹣d＝2；
连接OB，过点B作BD⊥OE，则OD＝ ，BD＝ ．
∴BO＝ ．
∵⊙O的半径为2，
∴d＝1，D＝3，
∴B（ ， ）的距离跨度＝3﹣1＝2；
连接CO并延长交⊙O于点G，H，
∴d＝CG，D＝CH，
∵⊙O的直径径为4，∴C（﹣3，﹣2）的距离跨度＝D﹣d＝CH﹣CG＝GH＝4．
故答案为：2；2；4．
（2）对于直线y＝k（x﹣1），令y＝0，则x＝1，
∴直线y＝k（x﹣1）经过点A（1，0）．
由（1）知：到G 的距离跨度为2的点在以D为圆心，1为半径的圆上，
2
设直线y＝k（x﹣1）与该圆相切于点M，N，如图，
连接DM，DN，则DM⊥AM，DN⊥AN，
∵DM＝1，AD＝2，
∴sin∠MAD＝ ，
∴∠MAD＝30°．
∴∠MDA＝60°．
过点M作MB⊥AD于点B，
在Rt△MBD中，
∵cos∠MDB＝ ，
∴BD＝MD×cos60°＝ ，
∴OB＝OD﹣BD＝ ．
∵sin∠MDB＝ ，
∴MB＝MD×sin∠MDB＝ ，
∴M（﹣ ， ）．∵点M在直线y＝k（x﹣1）上，
∴ ．
∴ ．
同理，当直线经过点N时, ．
∵直线y＝k（x﹣1）上存在到G 的距离跨度为2的点，
2
∴直线y＝k（x﹣1）与以点D为圆心，1为半径的圆有公共点，
∴观察图形可得k的取值范围为：﹣ ≤k≤ ．
（3）如图，过点E作EC⊥OP于点C，交⊙E于点D，H，
由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此
时以点E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，
∴CD＝2，CH＝4，CE＝1．
∵射线OP的解析式为: ，
∴∠COE＝30°，OE＝2CE＝2，
当E′（﹣1，0）时，点O到⊙E距离跨度为2，
观察图形可知，满足条件的圆心E的横坐标x 的取值范围为：﹣1≤x ≤2．
E E
故答案为：﹣1≤x ≤2．
E
【点睛】本题主要是考查了圆与锐角三角函数的综合应用，能够根据题目所给的新定义，结合圆的性质以
及锐角三角函数值求解对应边长和坐标的值，是解决此类问题的关键．
