文档内容
初二数学 2024.01
考生须知
1．本试卷共4页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 将 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式 ，其中 ， 的取
值方法是：小数点向右移动， 的值等于移动位数；小数点向左移动， 的值等于移动位数的相反数，由
此即可求解．
【详解】解： ，
故选： ．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除，合并同类项，熟记运算法则是解答本题的关键．“同底数幂相乘，
底数不变，指数相加”， “幂的乘方，底数不变，指数相加”， “同底数幂相除，底数不变，指数相
减”， “把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”，根据同底数幂的乘除及合
并同类项的法则，即可判断各式是否正确．
【详解】选项A，根据同底数幂相乘法则，计算正确，符合题意；
选项B，根据幂 乘方法则， ，故计算错误，不符合题意；
的
第1页/共21页
学科网（北京）股份有限公司选项C，根据同底数幂的除法法则， ，故计算错误，不符合题意；
选项D，根据合并同类项法则， ，故计算错误，不符合题意；
故选：A．
3. 下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，根据平方差公式的结构特点逐项分析即可，熟练掌握
是解此题的关键．
的
【详解】解：A、 是平方和 性质，不能因式分解，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项符合题意；
C、 ，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
D、 ，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
故选：B．
4. 若分式 的值为0，则 的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握分式值为零时，分子为零，分母不为零是解题的关键．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ，解得 ，
故选D．
第2页/共21页
学科网（北京）股份有限公司5. 已知 可以写成一个完全平方式，则 可为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵ 可以写成一个完全平方式，
∴x2-8x+a=(x-4)2，
又（x-4）2=x2-8x+16，
∴a=16，
故选C．
6. 在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （2，1） C. （﹣2，﹣1） D. （2，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】解：点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1）．
故选：A．
7. 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边要分类进行讨论，再
验证各种情况是否能构成三角形进行解答．因为已知长度为 4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有
两种情况，需要分类讨论，并验证三角形存在性即可．
【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8，
4、8、8可以构成三角形，
周长为 ；
②当4为腰时，
其它两边为4和8，
∵ ，
第3页/共21页
学科网（北京）股份有限公司∴不能构成三角形，故舍去，
故选：C．
8. 如图，某小区规划在边长为 的正方形场地上，修建两条宽为 的甬道，其余部分种草，则甬道所
占的面积（单位： ）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式表示几何面积，按图形列出代数式即可．
【详解】解：由图知，甬道所占的面积 正方形面积 草坪面积，
下面将甬道平移到两边便于理解：
即甬道所占的面积 ，
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若分式 有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可．
第4页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键．
10. 计算： _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式乘方运算，解题的关键是熟练掌握分式乘方运算法则，准确计算．
【详解】解： ．
故答案 ：为．
11. 计算： _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式的乘除法，根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，再运用分式的乘
法运算法则即可求解，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键．
【详解】解：
第5页/共21页
学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ．
12. 分解因式： _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，熟记平方差公式与完全平方公式“
”是解题关键．提公因式法提3， 然后用完全平方公式
即可．
【详解】解：
故答案为： ．
13. 如图， 是等边三角形， ， 平分 交 于点 ，则线段 的长为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查等边三角形性质“三线合一”，灵活运用性质即可解题．
【详解】解： 是等边三角形，且 ，
，
第6页/共21页
学科网（北京）股份有限公司平分 交 于点 ，
，
故答案为：1．
14. 如图， ， 要使 ，则需再添加一个条件是_______（写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了添加条件证明三角形全等，添加 ，根据题意，由 得到
，因为 可由 证明 ．
【详解】解：添加 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
15. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么 的度数为_______．
【答案】 ##70度
第7页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，理解并掌握全等三角形的性质是解题
关键．首先根据三角形内角和定理解得 ，再根据全等三角形的性质“对应角相等”，即可获得
答案．
【详解】解：如下图，根据三角形内角和可得 ，
∵两个全等三角形，
∴ ．
故答案为： ．
16. 如图， 的角平分线 相交于点 ， ，且 于点 ，以下
结论：① ；② 平分 ；③ ；④ ．其中正确
的结论是_______ （只填序号）．
【答案】③④
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质、垂线的定义，根据平行线的性
质可得 ，由角平分线的定义可得 ，即可判断①；无法证明
平分 ，即可判断②；求出 ， ，即可判断③；计算
第8页/共21页
学科网（北京）股份有限公司出 ，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：① ，
，
是 的角平分线，
，故①错误，不符合题意；
②无法证明 平分 ，故②错误，不符合题意；
③ ，
，
平分 ，
，
，
，且 ，
，即 ，
，故③正确，符合题意；
④ 的角平分线 相交于点 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，故④正确，符合题意；
综上所述，说法正确的是③④，
第9页/共21页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：③④．
三、解答题（共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每
小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂．
先求算是平方根，绝对值，负整数幂和零指数幂，再算加减法即可求解
【详解】原式
.
18 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用完全平方式计算，掌握公式 ，分清 、 是解题的关键．
【详解】解：原式
．
19. 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了整式化简求值，运用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，
代值计算，即可求解；掌握单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则，括号前是“ ”时，去括号时要
变号是解题的关键．
【详解】解：原式
；
第10页/共21页
学科网（北京）股份有限公司当 ， 时，
原式
．
20. 计算
【答案】a.
【解析】
【详解】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
试题解析:
考点: 分式的混合运算．
21. 已知：如图，点B，E，C，F顺次在同一条直线上，点A，D在直线BC的同侧， ，
， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，由 可得 ，证明
第11页/共21页
学科网（北京）股份有限公司即可得到 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
22. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时
乘以 进行去分母，然后按照移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，然后检验，即可获得答
案．
【详解】解： ，
等号两边同时乘以 ，可得 ，
移项、合并同类项，可得 ，
系数化为1，可得 ，
第12页/共21页
学科网（北京）股份有限公司经检验， 是该分式方程的解，
∴该分式方程的解为 ．
23. 求证：当 是整数时，两个连续奇数的平方差是这两个奇数的和的 倍．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
根据题意，得到 是整数， 与 是两个连续的奇数，则 ，
，由此得到证明．
【详解】证明：根据题意得：
是整数，
与 是两个连续的奇数，
，
这两个奇数和为：
，
，
即当 是整数时，两个连续奇数 平的方差是这两个奇数的和的 倍．
24. 小月是学校图书馆A书库的志愿者，小杰是学校图书馆B书库的志愿者；他们各自负责本书库的整理
工作．6月5日，图书馆A书库有120册图书需整理，而B书库有80册图书需整理，小月每小时整理图书
的数量是小杰每小时整理图书数量的1.2倍，他们同时开始工作，结果小杰比小月提前15分钟完成工作，
求小月和小杰每小时分别可以整理多少册图书．
【答案】小月每小时整理96册，小杰每小时整理80册
第13页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列
方程求解，注意检验.
设小杰每小时整理x册图书，则小月每小时可以整理 册图书，根据同时开始工作，小杰比小月提前15
分钟完成工作．列方程求解
【详解】设小杰每小时整理x册图书，
根据题意，得
，解得
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义.
∴ （册）
答：小月每小时整理96册，小杰每小时整理80册.
25. 已知：如图， 是等边三角形，点D在 边上，点C关于直线 的对称点为 ，连接 ，
点P是线段 上的一点，连接 ， ，延长 到点E，使 ，连接 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定
理是解答本题的关键，先由等边三角形和轴对称的性质知 ，从而可推得
，再利用“边角边定理”可证明 ，最后利用全等三角形的性质即
可证得结论．
【详解】 是等边三角形，
，
第14页/共21页
学科网（北京）股份有限公司点C关于直线 的对称点为 ，
，
，
，
，
又 ， ，
，
．
26. 已知：如图，在 中， ，设 ， ，如果 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2） 的中线 ， 交于点O，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） ，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，非负数的性质，含 的直角三角形的性质等知识，解题
的关键是：
（1）先把 配方得出 ，然后根据等边三角形的判定即可得证；
（2）利用等腰三角形三线合一的性质可得 ， ，然后利用直角三角形
中 角的性质可得 ，从而得出结论．
【小问1详解】
第15页/共21页
学科网（北京）股份有限公司解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
【小问2详解】
解：
理由：∵等边 的中线 ， 交于点O，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
27. 已知：如图， ， ， ，连接 ， ， ，过点 作
于点 ．过点 作 的高线 ，交 的延长线于点 ．
第16页/共21页
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解答本题的关键．
（1）根据题意，得到 ， ，从而得到 ，
由此得到证明．
（2）根据已知条件，得到 ，即 ，又 ， ，从而得到
，进而得到 ，由此得到答案．
【小问1详解】
证明：根据题意得： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
第17页/共21页
学科网（北京）股份有限公司在 和 中，
，
．
【小问2详解】
解： ，
，
，
由（1）得： ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
28. 在平面直角坐标系 中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横纵坐标的绝对值之和等于点Q
的横纵坐标的绝对值之和，则称P，Q两点为“等和点”．下图中的P，Q两点即为“等和点”．
第18页/共21页
学科网（北京）股份有限公司（1）已知点A的坐标为 ．
①在点 中，与点A为“等和点”的是 （只填字母）；
②若点B在第一象限的角平分线上，且A，B两点为“等和点”，则点B的坐标为 ．
（2）已知点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，连接 ，点M为线段CD上一点，过点
作x轴的垂线l，若垂线l上存在点M的“等和点”，求n的取值范围．
【答案】（1）① 、W；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由“等和点”的定义进行判断即可；
②由“等和点”的定义可求解；
（2）先求出直线 的解析式为 ，设点 M 的坐标为 ，求出
，设直线 l 上任意一点的坐标为 ，根据“等和点”的定义得出
，根据 ，得出 ，即可求出n的取值范围．
【小问1详解】
解：① 点A的坐标为 ，
，
点 ，
， ， ，
与点A是“等和点”的是 、W，
故答案为： 、W；
②∵点B在第一象限的角平分线上，
∴设点B的坐标为 ，
第19页/共21页
学科网（北京）股份有限公司∵A，B两点为“等和点”，
∴ ，
解得： ，
点 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，
∴设直线 的解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点M在线段 上，
∴设点M的坐标为 ，
∴ ，
∵过点 作x轴的垂线l，
∴设直线l上任意一点的坐标为 ，
∵直线l上存在点M的“等和点”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，绝对值的意义，点的坐标规律，理解“等和
第20页/共21页
学科网（北京）股份有限公司点”的定义并运用是解题的关键．
第21页/共21页
学科网（北京）股份有限公司
