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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
密云区 2023—2024 学年第一学期期中考试
九年级数学试卷
满分100分，考试时间120分钟.
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合
题意的.
1. 一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ，由此
即可完成解答．
【详解】解：一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的各项系数，理解一元二次方程的概念是解题的关键．
2. 每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”，某校在此期间组织学生
开展“爱护地球”图标设计征集活动，下列图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的
图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
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【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 度后与原图重合．
3. 用配方法解方程 ，变形后结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案．
【详解】解：
即 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系 中，点 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数即可得出结论．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是
故选D．
【点睛】此题考查的是求一个点关于原点的对称点，掌握关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互
为相反数是解决此题的关键．
5. 抛物线 向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答．
【详解】解：抛物线 向右平移3个单位长度后可得 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟知平移口诀是解题的关键．
6. 如图， 是 的外接圆 的直径，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理推论：直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．
【详解】解： 是 的外接圆 的直径，
点 ， ， ， 在 上，
，
，
是 的外接圆 的直径，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到 ，
是解题的关键．
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7. 关于二次函数 ，以下说法正确的是（ ）
A. 当 时， 随 增大而减小 B. 当 时， 随 增大而增大
C. 当 时， 随 增大而减小 D. 当 时， 随 增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】解： ，
抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
二次函数的图象为一条抛物线，当 时， 随 的增大而减小， 时， 随 增大而增大
正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 中，
对称轴为 ，顶点坐标为 ．
8. 用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为 ，当
x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x、S与x满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系
C. 二次函数关系，一次函数关系 D. 正比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【解析】
【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．
【详解】解：由题意可得： ， ，
∴ ， ，
∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，
故选A．
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【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握
二次函数与一次函数的解析式是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若关于x的一元二次方程 有一个根为1，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】把方程的根 代入方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根为1，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是方程的根一定满足方程，代入求解．
10. 二次函数 的图象如图所示，则方程 的根为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合函数图象，可得二次函数的图象与 轴的交点横坐标为一元二次方程的根，即可解答．
【详解】解：根据图形可得二次函数 与 轴的交点为 ，
方程 的根为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的解的关系，解题的关键是明确函数与方
程的联系．
11. 的半径为 ，若圆心O到直线l的距离是 ，则直线l与 的位置关系是______．
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【答案】相交
【解析】
【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与 的位置关系为相交．
【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是 ， 的半径为 ，
又∵ ，
∴直线l与 相交．
故答案为：相交．
【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若 ，
则直线与圆相交；若 ，则直线于圆相切；若 ，则直线与圆相离．
12. 写出一个开口向上，与y轴交于点 的抛物线的函数表达式：______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，二次项系数大于0，常数项为4即可．
【详解】解：由题意可得函数表达式为 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记 时，抛物线开口向上； 时，抛物线开口向下，是解
题的关键．
13. 若一元二次方程 的两个根为 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出 的值，即可得到答案．
【详解】解： 一元二次方程 的两个根为 ，
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， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知 是解题的关键．
的
14. 如图所示， 绕点P顺时针旋转得到 ，则旋转 角度是______．
【答案】 ##90度
【解析】
【分析】根据旋转的性质可知，点 与点 对应，则旋转的角度是 ，勾股定理证明 是直
角三角形，即可求得 ，即可求解．
【详解】如图，连接
，
是直角三角形，且
绕点P顺时针旋转得到 ，
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点 与点 对应，则旋转的角度是
故答案为：
【点睛】本题考查了求旋转角，勾股定理以及勾股定理的逆定理，找到旋转角是解题的关键．
15. 若 ， 两点都在抛物线 上，则 ______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意可得点M和点N关于抛物线的对称轴对称，求出抛物线的对称轴即可进行解答．
【详解】解：抛物线 的对称轴为直线 ，
， 两点都在抛物线 上，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查抛物线的对称性，解题的关键是求出抛物线的对称轴．
16. 如图， 是 直径， 、 是 上的两点，且 ，连接 和 ，下列四个结论中：
① ；② 垂直平分 ；③ ；④ ．所有正确结论的序号是
______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据平行线的性质，等边对等角，得出 ，即可得出 ，进而根据
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得出 ，即可判断②，根据 不一定相等即可判断③，根据圆周角定理，
即可判断④．
【详解】解：∵
∴
又∵ ,则
∴
∴ ，故①正确；
连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，则 ，
又
∴
∴
∴ 垂直平分 ，故②正确；
当且仅当 时， ，故③错误，
∵
∴
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∵
∴ ，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，弧与圆心角的关系，熟
练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分）
17. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】利用因式分解法即可求解．
【详解】解：原方程变形得： ，
或 ，
解得： ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
18. 下面是小玲设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线 ，使得 ．
作法：如图所示．
①在直线l上取一点O，以点O为圆心， 长为半径在直线l上方画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接 ，以点B为圆心， 长为半径画弧，交半圆于点Q；
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③作直线 ．
所以直线 就是所求作的直线．
根据小玲设计的尺规作图过程，解决问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接 和 ，
∵ ，
∴ ______，
∴ （____________）（填推理的依据），
∴ ．
【答案】（1）见解析 （2） ，等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）根据圆周角定理的推论和平行线的判定求解可得．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
证明：连接 和 ，
∵ ，
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∴ ，
∴ （等弧所对的圆周角相等），
∴ ．
【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定．
19. 已知二次函数 ．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图象；
（3）结合函数图象：当 时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，即可解答；
（2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数
图象；
（3）根据函数图象中的数据，可以写出x的取值范围．
【小问1详解】
解： ，
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二次函数图象的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：当 时，可得 ，解得 ，
抛物线与 轴的交点坐标为 ，
当 时，可得 ，解得 ，
抛物线经过点 ，
故可以描点画图如下：
【小问3详解】
解：由图象可得，当 时，x的取值范围是 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思
想解答是解答本题的关键．
20. 如图， 、 、 为 上的三个点， 的直径为 ， ，求弦 的长．
【答案】
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【解析】
【分析】首先连接 ，由 ，利用圆周角定理，即可求得 ，得出 是等边
三角形，即可求得答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
又 的直径为 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
21. 在平面直角坐标系xOy中， 的三个顶点为 ， ， ，将 绕原点逆时
针旋转 后得到 ，其中 、 、 分别与点A、B、C对应．
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（1）画出旋转后的 ；
（2）若x轴上一点D，满足 的值最小，在图中画出点D的位置，并直接写出点D的坐标．
【答案】（1）见详解 （2）见详解，
【解析】
【分析】（1）分别作出点A、B、C绕点O逆时针旋转后得到的点，然后顺次连接，即可画出 ；
（2）确定 关于 轴对称的点的坐标为 ，再连接 ，交点即为点D，即可得出点D的坐标．
【小问1详解】
如图：
即为所求；
【小问2详解】
确定 关于 轴对称的点的坐标为 ，再连接 ，交点即为点D，连接 ，
点D即为所求；
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、 关于 轴对称，
，
要使 的值最小，即 、 、 在一条直线上，
结合网格图形可得： ．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性
质．
22. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为 米，宽为 米．停车场内车道的宽都相等，若
停车位的总占地面积为 平方米，求车道的宽度（单位：米）．
【答案】车道的宽度为 米
【解析】
【分析】由停车场外围的长为 米，宽为 米．及车道及入口都是长为 米宽，将两个停车位合在一起，
可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可．
【详解】解：设车道的宽为x米，依题意得 ，
解得： （舍去）
答：车道的宽度为 米．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
23. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
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（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
【答案】（1）
（2） ，方程的两个根为 ，
【解析】
【分析】(1)根据题意和一元二次方程根的判别式得到 ，解不等式即可求得；
(2)首先根据(1)可知，k的值只能是1或2，分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均为整数，即可
解答．
【
小问1详解】
解： 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
解得 ，
故k的取值范围为 ；
【小问2详解】
解： 且k为正整数，
k的值只能是1或2，
当k=1时，方程为 ，
解得 ，
方程的两个根均为整数，
不合题意，舍去，
当 时，方程为 ，
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解得 ， ，
方程的两个根均为整数，符合题意，
故 ，方程的两个根为 ， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法，熟练掌握和运用一元二次方程根
的判别式及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
24. 如图， 是 直径， 是 的一条弦，且 于点E，连接 、 和 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得到 ，再根据等腰三角形的性质，得到
；
（2）设半径 ，则 ，根据垂径定理可得 ，在 中，利用勾股定
为
理列方程，即可解答．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
；
【小问2详解】
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解： 是 直径， ，
，
设半径为 ，则 ，
在 中，可得 ，
可得方程 ，
解得 ，
的半径为3．
【点睛】本题考查了垂径定理，在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等，勾股定理，熟练利用勾股定
理列方程是解题的关键．
25. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球
距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示，已知篮球出手位
置A距地面的高度为 ，与篮筐B的水平距离为 ，当篮球行进的水平距离为 时，篮球距地面
的高度达到最大为 ．
（1）结合图中所建平面直角坐标系 ：直接写出篮球出手位置A的坐标为______，篮球行进的最高点
C的坐标为______；
（2）求篮筐距离地面的高度．
【答案】（1） ，
（2）
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【解析】
【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；
（2）设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入，求出解析式， 对应的y值即为篮筐距离地面的高
度．
【小问1详解】
解：由题意知，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：设抛物线的解析式为 ，
将 代入 ，得： ，
解得 ，
，
将 代入，得： ，
即篮筐距离地面的高度为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，已知点 和 在二次函数 的图象上，设抛物线
的对称轴为 ．
（1）当 时，求b的值；
（2）若 ，求t的取值范围．
【答案】26.
.
27
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【解析】
【分析】（1）分别求出当 和 时的函数值，再根据 建立关于b的方程即可解决问题；
（2）根据 ，即可求出对称轴的取值范围．
【小问1详解】
解：将点 和 代入二次函数 中，
得： ，
当 时，
则 ，
解得： ；
【小问2详解】
解： ， ，
，
解得： ，
抛物线的对称轴为 ，
，
，
．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的性质是解
题的关键．
27. 如图，在 中， ，点 关于直线 的对称点为点 ，点 是射线 上一动点（不
与点 重合），点 在线段 上（不与 、 两点重合），且 ．
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（1）证明： ；
（2）连接 ，用等式表示线段 、 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）过点 作 于点 ，由等腰三角形的性质可得 ，由轴对称的性质
可得 ，结合 ，易得 ，即可证明 ；
（2）在 上取一点 ，使得 ，连接 ，证明 ，由全等三角形的性质
可得 ， ，再证明 ，进而可得 ，即可获得答案．
【小问1详解】
证明：如下图，过点 作 于点 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
由对称的性质可得 ，
又∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
，
证明如下：
在 上取一点 ，使得 ，连接 ，如下图，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∴ ，
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在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、对称的性质等知识，正确作出辅
助线是解题关键．
28. 对于 和 内一点 （ 与 不重合）给出如下定义：过点 可以作出无数条 的弦，若在
这些弦中，长度为正整数的弦有 条，则称点P为 的 属相关点， 为点 关于 的相关系数，在
平面直角坐标系 中，已知 的半径为 ．
（1）当点 的坐标为 时．
①经过点 的 的所有弦中，最短的弦长为______；
②点 关于 的相关系数为______．
（2）已知点 ，点 为 的 属相关点，求线段 的取值范围．
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【答案】（1）① ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，弦 经过点 ，当弦 时，线段 是经过点 的圆的最短弦，过点
O作 于点F， ， 中， ，当 最大时， 取
最小值， ,最小值为 .设经过点 的弦的弦长为 ，则 ， 可取的正整数为
， .故点 关于 的相关系数为 ．
（2）经过点 的长度为正整数的弦长度分别为 ，经过点 的且弦长为6的弦有1条，为经过点 的
的最短弦．令此弦为 ，可得点 在以 为圆心,以 为半径的圆上．于是
．
【小问1详解】
解：如图，弦 经过点 ,当弦 时，线段 是经过点 的圆的最短弦，理由如下，
过点 作 于点F， ,
中， ,
当 最大时， 取最小值，
如图， ,当点F与点 重合时， 取最大值，即 ,
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相应的， 取最小值，最小值为 .
故答案为： ．
经过点 的 的最长弦为直径，弦长为8，
∴设经过点 的弦的弦长为 ，则 ，
∵ ，
∴ 可取的正整数为6，7，
经过点 的弦长为8的弦有1条，弦长为6，7的弦各有2条 ，故点 关于 的相关系数为 ．
【小问2详解】
解：如图，点 为 的4属相关点，
∵经过点 的且弦长为 的弦有1条，为直径，经过点 的且弦长为 的弦有2条，
∴经过点 的且弦长为6的弦有1条，为经过点 的 的最短弦．
如图，令此弦为 ，由（1）知， ,
∴ .
∴点 在以 为圆心,以 为半径的圆上．
如图，连接 并延长，交半径为 的圆于点 ，
．
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∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查垂径定理，两圆的位置关系，圆外一点到圆上点的距离求解；理解两圆的位置关系是解
题的关键．
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