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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
房山区 2023—2024 学年度第一学期期末检测试卷参考答案
九年级数学
本试卷共8页，共100分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的
关键．根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在
平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答
案．
【详解】解：A．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不合题意；
故选：A．
2. 如果 ，那么 的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
利用比例的性质进行计算，即可解答．
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【详解】解：∵ ，
故选：C．
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式 ，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式 ，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线 的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
4. 如图，在 中，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．根据圆周角定理可得
即可求解．
【详解】解： ，
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，
故选：C．
5. 将二次函数 的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
根据函数图象平移的法则解答即可．
【详解】解：将二次函数 的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是 ．
故选：A．
6. 若点 ， 在反比例函数 的图象上，则 ， 的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．先根据点 在反比例函数 的图象上，求得
的值，进而可得出 的大小关系．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
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7. 如图，建筑物 和旗杆 的水平距离 为 ，在建筑物的顶端 测得旗杆顶部 的仰角 为
，旗杆底部 的俯角 为 ，则旗杆 的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得
， ，然后分别在 和 中，利用锐角三角函数的定义求出 和
的长，最后利用线段的和差，即可解答．
【详解】解，如图：
由题意得： ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
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，
，
故选：D．
8. 如图， 是半圆O的直径，半径 ，点D是 的中点，连接 ， 与
交于点E，给出下面三个结论：① 平分 ；② ；③ ．上述结论中，
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，可得 ，进而可判断①的正误；由 ，可得
，则 ，进而可判断②的正误；由 ，可
得 ，则 ，证明 ，则
，计算求解，可判断③是正误．
【详解】解：∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，①正确，故符合要求；
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∵ ，
∴ ，
∴ ，②正确，故符合要求；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，角平分线，圆周角定理，平行线的判定与性质，等腰
三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，
角平分线，圆周角定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正
弦是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 函数 中，自变量x的取值范围是_________
【答案】 ≠1的一切实数
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【解析】
【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为x≠1．
【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能
为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10. 如图，四边形 内接于 ，若 ，则 _______．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四
边形的对角互补计算即可．
【详解】解：∵四边形 内接于 ，
故答案为： ．
11. 请写出一个图象经过点 的函数的关系式______．
【答案】 （答案不唯一）
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【解析】
【分析】让 时，函数值 写出一个正比例函数即可．
【详解】解：函数 经过点 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是正确掌握函数的性质．
12. 如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上， ， ， ， ，则
的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三
角形的判定与性质求出 ，再根据线段的和差求解即可．
【详解】解： ，
，
，
， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
13. 如图， ， ， 三点在半径为 的 上， 是 的一条弦，且 于点 ，若 ，
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则 的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．根据题意可得
，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解： 是 的一条弦，且 于点 ， ，
，
， ，
，
故答案为： ．
14. 如图，在 的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形， 分别是小正方形的顶点，点C
在 上，则 的长为_______．
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式 ．利用弧长公式求解．
【详解】解：由题意 ，
∴ 的长 ．
故答案为： ．
15. 在 中， ， ， ，则 的面积为_______．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】本题考查直角三角形性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意可以画出相应的图形，然后根据勾股定理，可以求得 的长，从而可以求得 的长，进而根
据三角形的面积公式即可求解．
的
【详解】解：过点 作 ，交 延长线于点 ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
同理可得， ，
即 的长为2或4，
所以 或 ，
故答案为： 或 ．
16. 在平面直角坐标系 中， 为 轴正半轴上一点．已知点 ， ， 是 的外接
圆．
（1）点 的横坐标为_______；
（2）若 最大时，则点 的坐标为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当 与
轴相切于点 时， 最大是解题的关键．
（1）根据点 、点 的坐标求出 的中点，根据外心的概念得到点 的横坐标；
（2）连接 ， ， ，过点 作 于点 ，根据垂径定理求出 ，根据圆周角定理
和等腰三角形可得 ，推出 ，得到当 与 轴相切于点 时，
最大，进而得到四边形 是矩形，推出 ， ，，根据勾股定理
计算 ，即可得到答案．
【详解】（1） 点 ， ，
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的中点坐标为 ，
是 的外接圆，
点 在 的垂直平分线上，
点 的横坐标为 ，
故答案为: ；
（2）连接 ， ，根据（1）可知点 一定在直线 上，
是 的外接圆， 为 轴正半轴上，
， ，
如图，过点 作 于点 ，
，
， ，
，
，
，
，
当 最小时， 最大，即 最大，即 最大，
当 ，即当 与 轴相切于点 时， 最大，
连接 ，
与 轴相切于点 ，
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轴，
四边形 是矩形，
， ，
在 中， ，
，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数 的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据特殊角三角函数值，零指数幂，
绝对值的代数意义，二次根式的化简分别计算即可得到答案．
【详解】解：
．
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18. 如图 分别是 的边 上的点， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定；由条件得出
，根据相似三角形的判定即可解决问题；
【详解】证明：∵ ，
又∵ ，
∴ ．
19. 已知二次函数 ．
（1）在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的对称轴；
（2）结合图象直接写出当 时， 的取值范围．
【答案】（1）画图见解析，对称轴为直线
（2）
【解析】
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【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
（1）先将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴；找出该函数图象上的几个点，即可画出相
应的函数图象；
（2）根据（1）中的图象，可以写出当 时， 的取值范围．
【小问1详解】
二次函数 的图象，如图．
抛物线的对称轴为直线 ．
【小问2详解】
根据（1）可得：顶点坐标为 ，根据图象可得：当 时，则 的取值范围是 ．
20. 如图，在 中， ， ， ．求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．
由勾股定理求出 ，然后根据锐角三角函数的定义即可求解．
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【详解】解：在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
．
21. 已知：如图 ．
求作： 的内接正方形．
作法：①作 的直径 ；
②作直径 的垂直平分线 交 于点C，D；
③连接 ．
所以四边形 就是所求作的正方形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明： 是A 的垂直平分线，
过点O．
．
．（ ）（填推理的依据）
四边形 是菱形．
是 的直径，
°．（ ）（填推理的依据）
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菱形 是正方形．
【答案】（1）见解析 （2）在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等； ；直径所对的圆周角是直角
【解析】
【分析】本题主要考查作图，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
（1）根据要求作图即可；
（2）根据有一个角是 的菱形是正方形证明即可．
【小问1详解】
解：补全的图形如图所示：
【小问2详解】
解：证明： 是A 的垂直平分线，
过点O．
．
．（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）（填推理的依据）
四边形 是菱形．
是 的直径，
°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）
菱形 是正方形．
故答案为：在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等； ；直径所对的圆周角是直角．
22. 如图，在矩形 中， 为对角线， ，垂足为点E．
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（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键；
（1）由矩形的性质可得 ，则 ，由垂直可得 ，则
，即可得 ．
（2）在 中，根据 ，设 ， ，则 ．得出
．根据矩形性质得出， ．在 中，得出
， ．再根据 ，得出 ．解出 的值即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是矩形，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
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∴ ．
∴ ．
【小问2详解】
解：在 中， ，
设 ， ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．
在 中， ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
23. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 相交于点 和点Q．
（1）求m的值及点Q的坐标；
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（2）已知点 ，过点N作平行于x轴的直线交直线 与双曲线 分别为点 和
．当 时，直接写出 的取值范围是．
【答案】（1） ，点 的坐标为
（2） 或
【解析】
【分析】该题主要考查了一次函数和反比例函数综合，重点掌握一次函数和反比例函数图象和性质，解析
式求解，交点问题；
（1）点 代入直线 求出 ，点 代入双曲线 求出 ，联立直线与双曲线
求出点 的坐标；
（2）分两种情况画图解答即可；
【小问1详解】
解：将点 代入直线 得： ，
故点 ，
将点 代入双曲线 得： ，
故双曲线 为
联立直线 与双曲线 得： 或2，
故点 的坐标为 ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
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解：如图，当直线 在点P上方时， ，
此时， ，即 ；
如图，当直线 在点Q上方x轴下方时， ，
此时， ，即 ；
综上， 或 ；
24. 如图， 是 的直径， 是弦，点D在 的延长线上，且 ， 的切线
与 的延长线交于点E．
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（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定是解题的关键；
（1）连接 ，根据 ，和 ，得出 ．再根据圆周角定理得
出， ，即可得出 ，从而证明 是 的切线．
（2）在 中，得出 ，从而解得 ，再根据 是 的切线，得出
，在 中，运用解直角三角形即可解答；
【小问1详解】
证明：连接 ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ 是 的直径，
∴ ．
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∴ ．
即 ．
又∵ 是半径， 经过 的半径外端 ．
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
解：在 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的切线，切点为 ，
∴ ．
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
25. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动
路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点 A处）到落地的过
程中，实心球的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系
．
九年级一名男生进行了两次训练．
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
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水 平 距 离
0 3 5 6 7 9
竖 直 高 度
2 5
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 ；
（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 ．记该男
生第一次训练实心球落地的水平距离为 ，第二次训练实心球落地的水平距离为 ，则
（填“>”“=”或“<”）．
【答案】（1）最大高度 ，
（2）>
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，以及用待定系
数法求解函数表达式的方法和步骤．
（1）由表可知，当 时和当 时函数值相等，则该二次函数对称轴为直线 ，即当 时，
y取最大值5，得出 ，把 代入求出a的值，即可得出函数表达式；
（2）分别求出两次训练令y为0时，x的值，再比较大小即可．
【小问1详解】
解：由表可知，
当 时， ，
当 时， ，
∴该二次函数对称轴为直线 ，
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即当 时，y取最大值5，
∴实心球竖直高度的最大值为 ，
把顶点 代入 得： ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
解：第一次训练时，令 ，
则 ，
解得： （舍去），
第二次训练时，令 ，
则 ，
解得： （舍去），
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， ，在抛物线 上，设抛物线的对称
轴为 ．
（1）当 时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
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（2）点 ，在抛物线上，若 ，求t的取值范围及 的取值范围．
【答案】（1）抛物线与 轴交点的坐标为 ，
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解；
（1）将点 代入抛物线解析式，再根据 得出 ，再求解即可；
（2）再根据 ，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定 的取值范围．
【小问1详解】
解：当 时， ．
∴抛物线与 轴交点的坐标为 ．
∵点 ， 在抛物线 上，且 ，
∴ ，
解得 ．
【小问2详解】
解：由 ， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ．
∵ ，
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∴ ．
∴ ．
∴ ，
即 ．
综上所述， ．
∵点 在抛物线上，
∴ ， 关于抛物线的对称轴 对称，且 ．
∴ ，解得 ．
∴ ．
∴ ．
27. 如图，在等边三角形 中，E，F分别是 上的点，且 ， 交于点G．
（1） °；
（2）过点A作 （点D在 的右侧），且 ，连接 ．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
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【答案】（1）
（2）①见解析；②线段 ， 与 的数量关系： ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明 ，则 ，根据
，求解作答即可；
（2）①按照要求作图即可；②如图2，作 ，在 截取 ，连接 ， ．则
． 由 ， 可 求 ． 证 明 ． 则
， ， ．由勾股定理得， ．如图2，
过 点 作 于 点 ， 在 中 ， 由 ， ， 可 求
．由 ，可得 ．
【小问1详解】
解：∵等边三角形 ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
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①解：依题意补全图形，如图1．
②解： ，证明如下：
证明：如图2，作 ，在 截取 ，连接 ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
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∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
由勾股定理得， ．
如图2，过点 作 于点 ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质，
三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．熟练掌握等边三角形的性质，全
等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性
质，勾股定理，余弦是解题的关键．
28. 定义：在平面直角坐标系 中，对于 内的一点 ，若在 外存在点 ，使得 ，
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则称点 为 的“内二分点”．
（1）当 的半径为 时，
①在 ， ， ， 四个点中，是 的“内二分点”的是 ；
②已知一次函数 在第一象限的图像上的所有的点都是 的“内二分点”，求 的取值范围；
（2）已知点 ， ， ， 的半径为 ，若线段 上存在 的“内二分
点”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ， ；②
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）①根据圆的“内二分点”即可判断；②由当 时， ，可得一次函数 的
图像过定点 ，根据题意可得 ，当一次函数 的图像与 轴的交点也是 与 轴的
交点时， ；当一次函数 的图像与半径为1的 相切时，可得 ，由此即可求
解；
（2）画出图形，找到“临界点”，列出不等式组即可求解．
【小问1详解】
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解：① ， 的半径为 ，
但此时 在圆上，不合题意，故 不是 的“内二分点”，
， ， ，
， ， 在圆上，
， 是 的“内二分点”；
②当 时， ，
一次函数 的图像过定点 ，
若 ，则 在第一象限是一条射线（不含端点）， 上不可能所有的点都是
的“内二分点”，故 ，
如图当一次函数 的图像与 轴的交点也是 与 轴的交点时， ，
当一次函数 的图像与半径为1的 相切于点 时，
则 ，而 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 与 轴 交点坐标为 ，代入 ，
的
可得 ，
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的取值范围是 ；
【小问2详解】
①当 从点 左侧沿轴正方向移动时，线段 上存在点 为 的“内二分点”，如图，
则满足 ， ，
且 ，
解得： ，且 ， ，
结合图形可得，线段 上存在点 为 的“内二分点”， ；
②当 移动到点 的右侧时，线段 上存在点 为 的“内二分点”，如图，
则满足 ， ，
且 ，
解得： 或 ，且 ，
结合图形可得，线段 上存在点 为 的“内二分点”， ；
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综上所述，若线段 上存在点 为 的“内二分点”，则 或 ．
【点睛】本题是一个新定义问题，涉及直线与圆的位置关系，一次函数的图像，解直角三角形的计算，解
不等式组等知识，解题的关键是数形结合．理解“内二分点”的定义，找到“临界点”，题目难度较大．
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