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昌平区 2022—2023 学年第二学期初一年级期末质量抽测
数学试卷 2023．6
本试卷共7页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填
涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可解答．
【详解】解： ，
，
，
故选： ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的解法，能根据不等式的基本性质求出不等式的解集是解题的关键．
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加求解即可．
【详解】解： =a6+2=a8，
故选C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3. 今年，北京市的大气治理已经进入向 “宣战”的第十个年头．有了科技的助力，大气治理工作
从“漫天撒网”细致到了网格，精确到点位，在基层环境治理中，热点网格可谓生态环境执法部门的一项
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“利器”，当热点网格内的臭氧超标浓度值高于 微克/立方米，且超过周边网格浓度 微克/立方米就
会产生报警．其中 微克 克，把 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
4. 以下问题，适合全面调查的是（ ）
A. 了解某种奶制品中蛋白质的含量
B. 检测一批折叠手机的耐折次数
C. 了解北京电视台《春节联欢晚会》的收视率
D. 中考英语听说计算机考试前，对考试设备进行测试
【答案】D
【解析】
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、了解某种奶制品中蛋白质的含量，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、检测一批折叠手机的耐折次数，适合抽样调查，故B不符合题意；
C、了解北京电视台《春节联欢晚会》的收视率，适合抽样调查，故C不符合题意；
D、中考英语听说计算机考试前，对考试设备进行测试，适合全面调查，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
5. 已知 ，下列不等式变形中正确的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等
号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同
时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，A选项错误；
∵ ，
∴ ，B选项错误；
∵ ，
∴ ，C选项正确；
∵ ，
∴ ，D选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是本题的关键．
6. 如图， ，射线 在 内部，下列说法一定成立的是（ ）
A. 和 互余 B. 和 互补 C. 和 互为对顶角 D. 和 相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ，可以得出 和 互余，故A选项成立，B选项不成立；由对顶角的定义：两
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个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角；
由题意知，没有其他条件可以推得 和 相等．
【详解】解：A、因为 ，所以 ， 和 互余，选项说法正确，故选项符合题意；
B、因为 ，所以 ， 和 互余，选项说法错误，故选项不符合题意；
C、由对顶角定义可知， 和 不互为对顶角，选项说法错误，故选项不符合题意；
D、由题意知，射线 在 内部， 不一定是 的角平分线，得不出 和 相等的结
论，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了角的互余概念、对顶角的定义，准确理解角的互余概念，对顶角的定义是解题的关键．
7. 如图，下列条件中，能判断 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【详解】解：A. ，由内错角相等，两直线平行，能判断 ，故A符合题意；
B. 不是 被 截成的内错角，不能判断 ，故B不符合题意；
C. 不是 被 截成的内错角，不能判断 ，故C不符合题意；
D. 不是 被 截成的同旁内角，不能判断 ，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行，是解题的关键．
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8. 已知关于 的不等式组 有以下说法：
①当 时，则不等式组的解集是 ；
②若不等式组的解集是 ，则 ；
③若不等式组无解，则 ；
④若不等式组的整数解只有 ，0，1，2，则 ．
其中正确的说法有（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．
【详解】解：关于 的不等式组 ，
①当 时，则不等式组的解集是 ，故本小题正确，符合题意；
②若不等式组的解集是 ，则 ，故本小题正确，符合题意；
③若不等式组无解，则 ，故本小题正确，符合题意；
④若不等式组的整数解只有 ，0，1，2，则 ，故本小题错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是由不等式组的解集情况求参数，熟知解一元一次不等式组的基本步骤是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 用不等式表示“ 的3倍与7的差小于11”为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先表示“ 的 3 倍”为 ，再表示“与 7 的差”为 ，最后再表示“小于 11”为
．
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【详解】解：∵“ 的3倍”为 ，再表示“与7的差”为 ，
∴用不等式表示“ 的3倍与7的差小于11”为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，
如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”、“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
10. 将 分解因式________
【答案】
【解析】
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=
故答案为： ．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
11. 某车库的门禁如图所示，点 为旋转轴，门禁杆放平位置 与抬起位置 平行．若
，则 ______°．
【答案】92
【解析】
【分析】首先根据 得 ，再根据 ，即可求出 的
度数．
【详解】解： ，
，
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，
，
为
故答案 ：92．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
的
12. 昌平区某月连续10天 最高气温数据整理如下：
最高气温（ 1
11 14 16 18
） 5
天数 2 1 2 3 2
根据统计表中的数据，这组数据的众数是______ ，这10天最高气温的平均值是______ ．
【答案】 ①. 16 ②. 15
【解析】
【分析】根据众数的定义确定众数，根据算术平均数的计算方法计算平均数．
【详解】解：数据16 出现了3次，次数最多，
众数是16 ，
这10天最高气温的平均值是： ，
故答案为：16，15．
【点睛】本题考查了平均数和众数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据
中出现次数最多的数据叫做众数．
13. 命题“相等的角是对顶角”是_________命题．（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】
【详解】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个直角相等，但有时两个直角不是对顶角，从
而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．
故答案为：假．
【点睛】考点：命题与定理．
14. 已知方程 的三个解为 方程 的三个解为
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则方程组 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程
的解中相同的解为方程组的解．
【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解，
可知 是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解，
∴方程组 的解为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组
的解是解答此题的关键．
15. 如图是一个可折叠的衣架， 是地平线，当 时， ； 时， ，
就可确定点 ， ， 在同一条直线上，将下面正确的依据序号填写在横线上______．
①两点确定一条直线；
②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【答案】②
【解析】
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可．
【详解】解： ，
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；
，
，
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
点 ， ， 在同一条直线上．
故答案为：②．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是
解题关键．
16. 某运动品牌店在进行优惠促销活动：①单件商品的价格大于等于600元打9折；②所购全部商品的总
价大于等于800元打8折．以上两种优惠可同时享受．某顾客心仪的四种商品对应价格如下：
商品
价格（元） 700 260 120 600
（1）若只选购商品 ，则应付金额为______元；
（2）若此顾客想从这四种心仪商品中选购两件，且在享受优惠的基础上所付金额最少，应该选择的商品
搭配是______．
【答案】 ①. 630 ②.
【解析】
【分析】（1）根据优惠促销活动列出算式计算即可求解；
（2）分别算出每种商品搭配所花费的金额，再根据享受优惠和所花费的金额最少，即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意得：
（元），
若只选购商品 ，则应付金额为630元，
故答案为：630；
（2）根据题意得：
商品搭配 花费的金额为： （元），享受两种优惠，
的
商品搭配 花费 金额为： （元），只享受了一种优惠，
商品搭配 花费的金额为： （元），享受两种优惠，
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商品搭配 花费的金额为： （元），没有享受优惠，
商品搭配 花费的金额为： （元），享受两种优惠，
商品搭配 花费的金额为： （元），只享受一种优惠，
商品搭配 、 只享受一种优惠，商品搭配 没有享受优惠，
应选择商品搭配 、 、 ，
，
应该选择的商品搭配是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，零指数幂，准确熟
练地进行计算是解题的关键．
18. 把 分解因式．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式 ，再根据完全平方公式进行分解，即可得到答案．
【详解】解： ．
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【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式 ，
是解题的关键．
19. 解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，图见解析
【解析】
【分析】先去括号，再移项、合并同类项、最后系数化为1即可，再在数轴上把解集表示出来．
【详解】解：去括号得， ，
去括号得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，
是基础知识要熟练掌握．
20. 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法求解可得；
【详解】解：
，得 ∴
把 代入①，得
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∴ 所以，原方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解决本题的关键是要掌握消元的方法，即代
入消元法与加减消元法．
21. 解不等式组 ．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解①得： ，
∴ ，
解②得： ，
，
原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，原式
【解析】
【分析】先利用多项式乘以多项式，积的乘方，多项式除以单项式法则化简，再合并同类项，然后将 的
值代入进行计算即可．
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【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，能够熟练运用多项式乘以多项式，积的乘方公式，多项式除以
单项式法则是解答此题的关键．
23. 在学校的校本课上，李宏同学设计了一个运算程序，如下图：
按照上述程序进行运算，程序运行到“判断是否大于100”为一次运行．
（1）若 ，则需要该运算程序运行______次才能输出结果；
（2）若该程序运行了两次就输出了结果，求满足此条件的最小整数 的值．
【答案】（1）三 （2）5
【解析】
【分析】（1）根据所给程序运算法则求解即可；
（2）根据所给程序运算法则列不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：
第1次： 时， ，
第2次： 时， ，
第3次： 时， ，输出结果，
故答案为：三；
【小问2详解】
解：根据题意得：
，
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解得： ，
是整数，
最小整数 的值为5．
【点睛】本题考查程序流程图与有理数的运算，解一元一次不等式，理解程序运算法则，正确列出不等式
是解答的关键．
24. 在一次有400人参加的数学竞赛活动中，将成绩在85分及以上定为“优秀”，70分至84分定为“良
好”，60分至69分定为“合格”，从其中随机抽取60人的成绩组成一组样本并进行数据整理，下面给出
部分信息．
．75分至84分的数据如下：
79 82 78 77 81 76 80 84 84
84 78 84 77 83 84 75 75 83
．活动成绩分布表
成绩分组（含两端数 频
画记
据） 数
95-100 正 8
90-94 正 7
正正
85-89 12
80-84
75-79
70-74 正 6
65-69 4
60-64 正 5
．活动成绩等级扇形图
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根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全“活动成绩分布表”和“活动成绩等级扇形图”；
（2）这组样本成绩的中位数为______；
（3）根据本组抽样的数据，推测本次活动中取得优秀成绩的人数为______人．
【答案】（1）见解析 （2）84
（3）180
【解析】
【分析】（1）根据75分至84分的数据，补全“活动成绩分布表”，计算出优秀和良好的百分比即可补全
“活动成绩等级扇形图”；
（2）根据中位数的定义即可得出答案；
（3）用总人数乘以优秀率的百分比即可．
【小问1详解】
解：根据75分至84分的数据，补全“活动成绩分布表”如下表
活动成绩分布表
成绩分组（含两端数 频
画记
据） 数
95-100 正 8
90-94 正 7
正正
85-89 12
80-84 正正 10
75-79 正 8
70-74 正 6
65-69 4
60-64 正 5
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优秀率为： ，
良好率为： ，
补全“活动成绩等级扇形图”如下图：
活动成绩等级扇形图
【小问2详解】
解： 中位数是成绩数据由小到大排列后第30，第31个数据的平均数，第30，第31的 分别为84、84，
中位数为： ，
故答案为：84；
【小问3详解】
解：推测本次活动中取得优秀成绩的人数为：
（人），
故答案为：180．
【点睛】本题考查了频数分布表，扇形统计图，中位数，用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关
键．
25. 陈佩与赵晴川在讨论性质“平行于同一条直线的两条直线平行”的证明方法．
陈佩说道：“我们之前证明两条直线平行时，常在‘三线八角’的图形中进行研究．此图中没有‘三线八
角’的图形，能不能构造出‘三线八角’的图形呢？”
赵晴川想了想，说道：“可以构造一条截线 ，与三条已有直线 ， ， 分别交于点 ， ，
，然后就可以用平行线的判定定理进行证明了”．
按照上述同学的说法，完成证明：
已知：如图， ， ．
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求证： ．
（1）在图中画出辅助线 ，并标出点 ， ， ；
（2）补全证明过程：
∵ ，
∴ ______（两直线平行，同位角相等）．
∵ ，
∴ （两直线平行，______角相等）．
∴ ______ ．
∴ （______）．
【答案】（1）见解析 （2） ；内错； ；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】（1）画出 ， ， 的截线即可；
（2）先证明 ，再证明 ，可得 ，从而可得结论．
【小问1详解】
解：如图，
．
【小问2详解】
∵ ，
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∴ （两直线平行，同位角相等）．
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∴ ．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，熟记平行线的判定方法与性质是解本题的关键．
26. 学校组织义卖活动，某班设计制作了手工艺品14件，手绘作品9件，且单件手工艺品比手绘作品的定
价高5元，若全部售出，此班可募集捐款300元．
（1）求单件手工艺品和手绘作品的定价各是多少元？
（2）本班学生决定将义卖金额再增加180至200元之间（不包括180元和200元），在现有时间内可补充
的手工艺品和手绘作品共计15件，求出所有符合条件的补充方案．
【答案】（1）单件手工艺品定价为15元，单件手绘作品定价为10元．
（2）符合条件的补充方案有3种，①手工艺品7件，手绘作品8件；②手工艺品8件，手绘作品7件；③
手工艺品9件，手绘作品6件
【解析】
【分析】（1）设单件手工艺品的定价是 元，单件手绘作品的定价是 元，根据单件手工艺品比手绘作品
的定价高5元，若全部售出，此班可募集捐款300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设现有时间内可补充的手工艺品为 件，则手绘作品为 件，根据本班学生决定将义卖金额
再增加180至200元之间，列出一元一次不等式组，解得 ，即可解决问题．
【小问1详解】
解：设单件手工艺品定价 元，单件手绘作品定价 元
依题意，得 解之，得
答：单件手工艺品定价为15元，单件手绘作品定价为10元．
【
小问2详解】
设现有时间内可补充的手工艺品为 件，则手绘作品为 件．
则有
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解之，得
∵ 为正整数，
∴ ，8，9．
∴可以补充的方案有：
①手工艺品7件，手绘作品8件；
②手工艺品8件，手绘作品7件；
③手工艺品9件，手绘作品6件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
27. 阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．
设 表示一个三位数，
则
因为 能被3整除，如果 也能被3整除，那么 就能被3整除．
（1）①一个四位数 ，如果 能被9整除，证明 能被9整除；
②若一个五位数 能被9整除，则 ______；
（2）若一个三位数 的各位数字是任意三个连续的正整数，则 的最小正因数一定是______（数字
“1”除外）；
（3）由数字1至9组成的一个九位数 ，这个数的第一位 能被1整除，前两位组成的两位数
能被2整除，前三位组成的三位数 能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出
这个九位数是______．
【答案】（1）①见解析；②1
（2）3 （3）381654729
【解析】
【分析】（1）①首先把四位数 改写成 ，由 能
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被9整除， 能被9整除，即可得出结论；②首先把五位数改写成
，然后根据这个五位数能被9整除得 能被9整除，即可求得答案；
（2）假设 ，则三位数 ，据此可得出答案；
（3）由 能被1整除，可得 为质数，由四位数 能被4整除，可得两位数 能被4整除，则
，由九位数 中已有7，9，可得 ，由五位数 能被5整除，可得
末尾数字 ，从而得到 ，由八位数 能被8整除，可得三位数 能被8整除，从而
得到 ，从而得到 对应 ，由 为质数可得 ，由 能被2整除可得 ，从而得
到 ，即可得到答案．
【小问1详解】
①证明：∵ 是一个四位数，
能被9整除， 能被9整除，
四位数 能被9整除；
②解： 是一个五位数，
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，
五位数 能被9整除，
能被9整除，
，
故答案为：1；
【小问2详解】
解： 三位数 的各位数字是任意三个连续的正整数，
不妨假设 ，
，
的
三位数 最小正因数一定是3，
故答案为：3；
【小问3详解】
解： 均为0至9之间的整数
由 能被1整除，可得 为质数，
由四位数 能被4整除，可得两位数 能被4整除，则 ，
由九位数 中已有7，9，可得 ，
由五位数 能被5整除，可得末尾数字 ，从而得到 ，
由八位数 能被8整除，可得三位数 能被8整除，从而得到 ，
这时的九位数为： ，
对应 ，
为质数，
，
两位数 能被2整除，且 ，
，
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，
这个九位数时：381654729，
故答案为：381654729．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解整除数的特征
是解答此题的关键．
28. 如图，对于两条直线 ， 被第三条直线 所截的同旁内角 ， 满足 ，则称
是 的关联角．
（1）已知 是 的关联角．
①当 时， ______°；
②当 时，直线 ， 的位置关系为______；
（2）如图，已知 是 的关联角，点 是直线 上一定点．
①求证： 是 的关联角；
②过点 的直线 分别交直线 ， 于点 ， ，且 ．当 是图中某角的关
联角时，写出所有符合条件的 的度数为______．
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【答案】（1）①80；②平行
（2）①见解析；② 或 或
【解析】
【分析】（1）①根据关联角所满足的关系式 即可解答；②解方程组 ，
根据 和 的关系来确定直线 ， 的位置关系；
（2）①由 与 与 的互补关系，求出 与 之间的大小关系
进而命题得以证明；②根据直线 过点O的形式可分4种情况，每种情况均有2个角与 互为同
旁内角，因此共有4种情况，分别解出 的度数即可.
【小问1详解】
解：由关联角的定义可知：① ，
②解 得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：80；平行．
【小问2详解】
①∵ 是 的关联角，
∴
∵ ， ，
∴
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∵ ， 为 ， 被 所截得到的同旁内角，
∴ 是 的关联角．
②当直线 位于如下图所示位置时：
∵ 是 的关联角， ，
∴. ，
若 是 的关联角，则
∴ ，
若 是 的关联角，则
，
解得 ，
当直线 位于如下图所示位置时：
∵ ，
∴ ，
，
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若 是 的关联角，则
，
∵ ，
∴ （舍去）。
若 是 的关联角，则
，
得 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了同旁内角及角的计算，解二元一次方程组，难度不大，注意分情况讨论．
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