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昌平区 2022—2023 学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷
本试卷共8页，三道大题，25个小题，满分100分．考试时间120分钟．
一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
1. 如图，在一块直角三角板 中， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 为一根轻质杠杆的支点， ， ， 处挂着重 的物体．若在 端施加一个竖直
向上大小为 的力，使杠杆在水平位置上保持静止，则 和 需要满足的关系是 ，那么下列式子
正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 关于四个函数 ， ， ， 的共同点，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 都有最低点
C. 对称轴是 轴 D. 随 增大而增大
4. 为做好校园防疫工作，每日会对教室进行药物喷酒消毒，药物喷洒完成后，消毒药物在教室内空气中的
浓度 和时间 满足关系 （ ），已知测得当 时，药物浓度
，则 的值为（ ）A. 50 B. C. 5 D. 15
5. 如图， 是 直径， ，点 ， 是圆上点， ， ，点 是劣弧 上的
一点（不与 ， 重合），则 的长可能为（ ）
.
A 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 怎样平移抛物线 就可以得到抛物线 （ ）
A. 左移1个单位长度、上移1个单位长度
B. 左移1个单位长度、下移1个单位长度
C. 右移1个单位长度、上移1个单位长度
D. 右移1个单位长度、下移1个单位长度
7. 如图，为测楼房BC的高，在距离楼房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC为（ ）
A. 30tanα米 B. 米 C. 30sinα米 D. 米
8. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最
大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形 ，若 的内接正六边形为正六
边形 ，则 的长为（ ）A. 12 B. C. D.
二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
9. 写出一个开口向上，过 的抛物线的函数表达式______．
10. 在半径为 的圆中， 的圆心角所对弧的弧长是______ ．
11. 如图， 中， ，以 为直径作 ，交 于 ，交 于 ．若 ，
则 ______．
12. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为
，则 的值为_______．
13. 我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了 246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法
早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，
问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图， 为 的直径，弦 于点 ， 寸，
寸（注：1尺＝10寸），则可得直径 的长为______寸．”14. 如图，在 中， ， ， ，则 的长为______．
15. 如图， ， 分别与 相切于点 ， ， 为 的直径， ， ，则
______．
16. 某快递员负责为 ， ， ， ， 五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益
2元，某天5个小区需要取送快递数量下表．
小区 需送快递数量 需取快递数量
15 6
10 58 5
4 7
13 4
（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满
足条件的方案______（写出小区编号）；
（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编
号）．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25题，
每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
18. 如图，矩形 中，点 在边 上， ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连
接 交 于点 ．
（1）写出图中两对相似的三角形（相似比不为1）
（2）求 的值．
.
19 已知二次函数 ．（1）求二次函数 图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图象；
（3）结合图象直接写出自变量 时，函数的最大值和最小值．
20. 我们在课上证明圆周角定理时，需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明，下面给出了情形
（1）的证明过程，请你在情形（2）和情形（3）中选择其一证明即可．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在 中，弧 所对的圆周角是 ，圆心
角是 ．
求证： ．
情形（1）
证明：如图（1），当圆心 在 的边上时
∵ ，
∴ ．
∵ 是 中 的外角，
∴ ．
∴ ．即 ．
请你选择情形（2）或情形（3），并证明．
21. 已知：如图， 过正方形 的顶点 ， ，且与 边相切于点 ．点 是 与 的交
点，连接 ， ， ，点 是 延长线上一点，连接 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）如果正方形边长为2，求 的长．
22. 小张在学校进行定点 处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上
篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为 米时，球心距离地面的高度为 米，现测量第一次投
篮数据如下：
0 2 4 6 …
. .
1 3
3 3 …
8 4
请你解决以下问题：
（1）根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；（2）若小吴在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成
功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；
（3）第二次在定点 处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮
球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进
球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？
23. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， （点 ， 不重合）在抛物线
（ ）上．
（1）当 时，求二次函数的顶点坐标；
（2）①若 ，则 的值为______；
②已知二次函数的对称轴为 ，当 时，求 的取值范围．
24. 如图，在 中， ，点 在 上， ，连接 ，点 是 上一点，
，过点 作 的垂线分别交 ， 于 ， ．
（1）依题意补全图形；
（2） ，求 的大小（用含 的式子表示）；
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
25. 已知：对于平面直角坐标系 中的点 和 ， 的半径为4，交 轴于点A， ，对于点 给
出如下定义：过点 的直线与 交于点 ， ，点 为线段 的中点，我们把这样的点 叫做关于的“折弦点”．
（1）若
①点 ， ， 中是关于 的“折弦点”的是______；
的
②若直线 （ ）上只存在一个关于 “折弦点”，求 的值；
（2）点 在线段 上，直线 上存在关于 的“折弦点”，直接写出 的取值范围．
