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昌平区 2022—2023 学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷
本试卷共8页，三道大题，25个小题，满分100分．考试时间120分钟．
一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
1. 如图，在一块直角三角板 中， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题词考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2. 为一根轻质杠杆的支点， ， ， 处挂着重 的物体．若在 端施加一个竖直
向上大小为 的力，使杠杆在水平位置上保持静止，则 和 需要满足的关系是 ，那么下列式子
正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将根据等式的性质将原式进行变形，即可判断．【详解】解：由题意知， ，在下列选项中：
A．将 两边同除以12得： ，故此选项错误；
B．将 两边同除以 得： ，故此选项错误；
C．将 两边同除以 得： ，故此选项错误；
B．将 两边同除以 得： ，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的变形，能够根据等式的性质进行正确的变形是解题的关键．
3. 关于四个函数 ， ， ， 的共同点，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 都有最低点
C. 对称轴是 轴 D. 随 增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据a值得函数图象的开口方向，即可得出函数
有最高点或电低点，从而判定B；根据函数的对称轴判定C；根据函数的增减性判定D．
【详解】解：A．函数 与 的开口向下，函数 与 开口向上， 故此选项不
符合题意；
B．函数 与 的开口向下，有最高点；函数 与 开口向上，有最低点， 故此
选项不符合题意；
C．函数 ， ， ， 的对称轴都是y轴，故此选项符合题意；
D．函数 与 ，当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小；函数与 ，当 时，y随x增大而减小，当 时，y随x增大而增大；故此选项不符合题
意．
故选：C．
【点睛】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数 的图象性质是解题的关键．
4. 为做好校园防疫工作，每日会对教室进行药物喷酒消毒，药物喷洒完成后，消毒药物在教室内空气中的
浓度 和时间 满足关系 （ ），已知测得当 时，药物浓度
，则 的值为（ ）
A. 50 B. C. 5 D. 15
【答案】A
【解析】
分析】把 ， 代入 即可．
【
【详解】解：∵当 时，药物浓度 ，
∴代入 得，
解得：
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题
的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
5. 如图， 是 直径， ，点 ， 是圆上点， ， ，点 是劣弧 上的
一点（不与 ， 重合），则 的长可能为（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】先依次求出 、 的长，即可根据 得到 的范围，最后判断即可．
【详解】解：连接 、 ，
∵ 是 直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 的长可能为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧弦之间的关系，解题的关键是根据 得到 ．6. 怎样平移抛物线 就可以得到抛物线 （ ）
A. 左移1个单位长度、上移1个单位长度
B. 左移1个单位长度、下移1个单位长度
C. 右移1个单位长度、上移1个单位长度
D. 右移1个单位长度、下移1个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可判断．
【详解】解：由抛物线 ， 左移1个单位长度，下移1个单位长度，可得到抛物线
，
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键．
7. 如图，为测楼房BC的高，在距离楼房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC为（ ）
A. 30tanα米 B. 米 C. 30sinα米 D. 米
【答案】A
【解析】
【详解】在Rt△ABC中， ，∴BC＝AC·tanα，即BC＝30tanα米．
故选A．
8. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最
大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形 ，若 的内接正六边形为正六边形 ，则 的长为（ ）
A. 12 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得 ，则 ，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得
， ，再根据 可得 是等边三角形，则
，最后结合三角函数即可求解．
【详解】解：连接 ，交 于点M，连接 ，
∵六边形 是 的内接正六边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 经过圆心O，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解
决本题的关键．
二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
9. 写出一个开口向上，过 的抛物线的函数表达式______．
【答案】 (答案不唯一)
【解析】
【分析】根据开口向上，所以 ，又经过点 ，则 ，即可写出一个a为正数， 的解析
式即可．
【详解】解：∵开口向上，
∴ ，
又经过点 ，
∴抛物线解析式为： (答案不唯一)，
故答案为： (答案不唯一)
【点睛】本题考查二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
10. 在半径为 的圆中， 的圆心角所对弧的弧长是______ ．【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】解：半径为 的圆中， 的圆心角所对弧的弧长是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式： 是解题的关键．
11. 如图， 中， ，以 为直径作 ，交 于 ，交 于 ．若 ，
则 ______．
【答案】 ##50度
【解析】
【分析】在等腰三角形 中，根据三线合一可求得 ，然后利用圆内接四边形的性质可求
得 即可
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
即 ，∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等腰三角形三线合一，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解
题的关键
12. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为
，则 的值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴ ，
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对
称这个特点即可解题.
13. 我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法
早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，
问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图， 为 的直径，弦 于点 ， 寸，
寸（注：1尺＝10寸），则可得直径 的长为______寸．”【答案】26
【解析】
【分析】根据垂径定理得出 的长，设半径为r寸，再利用勾股定理求解．
【详解】
解：连接OA，
，
由垂径定理知，点E是AB的中点，
设半径为r寸，
由勾股定理得，
，
即 ，
解得： ，，
即圆的直径为26寸．
故答案为：26．
【点睛】本题利用了垂径定理和勾股定理，正确构造直角三角形求出半径长是解题关键．
14. 如图，在 中， ， ， ，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 于点 ，解 ，得出 ，进而解 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．
15. 如图， ， 分别与 相切于点 ， ， 为 的直径， ， ，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得出 ， ，根据含 30 度角的直角三角形的性质得出
，勾股定理求得 ，根据切线的性质以及切线长定理判断 是等边三角形，根据等边
三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵ 为 的直径， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴
∴ ，
∵ ， 分别与 相切于点 ， ，
∴∴ 是等边三角形，
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，含
30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
16. 某快递员负责为 ， ， ， ， 五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益
2元，某天5个小区需要取送快递数量下表．
小区 需送快递数量 需取快递数量
15 6
10 5
8 5
4 7
13 4
（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满
足条件的方案______（写出小区编号）；
（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编
号）．
【答案】 ①. A，B，C(答案不唯一) ②. A，B，E
【解析】
【分析】（1）根据三个小区需送快递总数量 ，需取快递总数量 ，求解即可；
（2）先求出第个小区总收益，再比较，选择收益最多的，且又满足需送快递总数量 ，需取快递总数
量 的三个小区即可．
【详解】解：（1）∵A小区需送快递数量15，需取快递数量6，B小区需送快递数量10，需取快递数量
5，C小区需送快递数量8，需取快递数量5，
∴若前往A、B、C小区，需取快递数量为 ，
需取快递数量为 ，∴前往A，B，C小区满足条件，
故答案为：A，B，C(答案不唯一)；
（2）前往A小区收益为： (元)，
前往B小区收益为： (元)，
前往C小区收益为： (元)，
前往D小区收益为： (元)，
前往E小区收益为： (元)，
∵ ， ， ，
∴他的最优方案是前往A、B、E小区收益最大，
故答案为∶A，B，E．
【点睛】本题考查有理数混合运算，有理数比较大小，属基础题目，难度不大．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25题，
每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先将特殊角的三角函数值代入，再进行化简．
【详解】解：原式＝
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的运算，掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
18. 如图，矩形 中，点 在边 上， ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连
接 交 于点 ．（1）写出图中两对相似的三角形（相似比不为1）
（2）求 的值．
【答案】（1） ， （答案不唯一）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质求出 ， ，再证明三角形相似即可；
（2）先根据 求出 ，再根据矩形的性质求解．
【小问1详解】
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ；
∵ ， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ．
【小问2详解】∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的
关键．
19. 已知二次函数 ．（1）求二次函数 图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图象；
（3）结合图象直接写出自变量 时，函数的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）函数最大值为0，最小值为 ．
【解析】
【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式，由此求得顶点坐标；
（2）根据题意画出函数的图象即可；
（3）观察图象写出函数y的取值范围．
【小问1详解】
解：∵ ．
∴抛物线的顶点坐标是 ．
【小问2详解】
解：二次函数 的图象如图所示：小问3详解】
【
解：观察图象得，当自变量 时
当 时， 取最小值，此时 ，
当 时， 取最大值，此时 ，
∴当 时， ．
即：函数最大值为0，最小值为 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，画二次函数图像，解题的关键是正确的画出函数图像．
20. 我们在课上证明圆周角定理时，需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明，下面给出了情形
（1）的证明过程，请你在情形（2）和情形（3）中选择其一证明即可．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在 中，弧 所对的圆周角是 ，圆心
角是 ．
求证： ．
情形（1）
证明：如图（1），当圆心 在 的边上时
∵ ，
∴ ．∵ 是 中 的外角，
∴ ．
∴ ．
即 ．
请你选择情形（2）或情形（3），并证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】情形（2）：延长 交 于点 ，连接 ，利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性
质求解即可求得答案；
情形（3）：延长 交 于点 ，连接 ，利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质求解即
可求得答案．
【详解】情形（2）：如图2，当圆心 在 的内部时，延长 交 于点 ，连接 ，
则 （同弧或等弧所对的圆周角都相等），
，
，
（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），
，
即 ．情形（3）：如图3，当圆心 在 的外部时，延长 交 于点 ，连接 ，
则 （同弧或等弧所对的圆周角都相等），
，
，
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
，
即 ．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质及三角形外角性质是解此
题的关键．
21. 已知：如图， 过正方形 的顶点 ， ，且与 边相切于点 ．点 是 与 的交
点，连接 ， ， ，点 是 延长线上一点，连接 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；的
（2）如果正方形边长为2，求 长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得出 ，结合已知条件得出 ，即可得
证；
（2）连接 并延长交 于点 ，根据题意得出 ，设 ,则 ，在
中， ，求得 ，根据 ，求得
的长，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
为 的直径，
即点 在 上，
∴ ，∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接 并延长交 于点 ，
∵ 过正方形 的顶点 ， ，且与 边相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
设 ,则 ，
在 中，
解得：
∴
∵ ，
∴
即 ,解得： ,
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，余弦的定义，勾股定理，掌握正方形的性质以及圆的性质
是解题的关键．
22. 小张在学校进行定点 处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上
篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为 米时，球心距离地面的高度为 米，现测量第一次投
篮数据如下：
0 2 4 6 …
1.8 3 3.4 3 …
请你解决以下问题：
（1）根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）若小吴在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成
功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；
（3）第二次在定点 处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮
球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进
球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？
【答案】（1）见解析 （2）小昊不能阻止此次投篮
（3）0.275米
【解析】
【分析】（1）先描出点 ， ， ， ，再用平滑曲线连接即可；
（2）先求出抛物线解析式，再求出当 的y值与2.4比较即可；（3）求出当 时的y值，再用 即可．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：小昊不能阻止此次投篮．
理由：设抛物线解析式为 ，把 ， ， 代入，得
，解得： ，
∴ ，
当 时，则 ，
∵ ，
∴小昊不能阻止此次投篮．
【小问3详解】
解：对于抛物线 ，
当 时， ，
(米)，
∵第二次在定点 处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出
手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，
∴小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象性质是解
题的关键．23. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， （点 ， 不重合）在抛物线
（ ）上．
（1）当 时，求二次函数的顶点坐标；
（2）①若 ，则 的值为______；
②已知二次函数的对称轴为 ，当 时，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）先将 代入抛物线 ，然后再化成顶点式即可解答；
（2）①先分别求得 ，再根据 得到关于a的分式方程求得a的值，再看是否与B、C重合即
可解答；先求得抛物线的对称轴为 ，然后分 和 两种情况，分别根据二次函数的增减性和对
称性即可解答．
【小问1详解】
解：将 代入抛物线 可得： ．
所以二次函数的顶点坐标为 ．
【小问2详解】
解:①将 代入 可得：将 代入 可得：
∵
∴
解得：
经检验： 是分式方程的解
∴当 时，
∵
∴点B与点C重合，故 ，即 ；
②二次函数 的对称轴为 ，即
当 时， ，二次函数图像开口向上，当 时，y随x的增大而增大
由轴对称可得点 关于 的对称点为
∵
∴ ，即
当 时， ，二次函数图像开口向下，当 时，y随x的增大而增大由轴对称可得点 关于 的对称点为
∵
∴ ，即
综上， 或 ，即 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的性质、二次函数的增减性和对称性等知识点，灵活应用二次函
数的性质成为解答本题的关键．
24. 如图，在 中， ，点 在 上， ，连接 ，点 是 上一点，
，过点 作 的垂线分别交 ， 于 ， ．
（1）依题意补全图形；
（2） ，求 的大小（用含 的式子表示）；
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）先求出 ，再在 中根据等腰三角形性质求出 即可；
（3）设 ， ，再证明 ，求出 的长即可．
【小问1详解】解：补齐图形如下：
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
【小问3详解】
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴
∴∴
∴
∴
∵ ，
∴
即
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，数形结合，用代数式表示线段长，准
确的计算是本题的关键．
25. 已知：对于平面直角坐标系 中的点 和 ， 的半径为4，交 轴于点A， ，对于点 给
出如下定义：过点 的直线与 交于点 ， ，点 为线段 的中点，我们把这样的点 叫做关于
的“折弦点”．
（1）若
①点 ， ， 中是关于 的“折弦点”的是______；
②若直线 （ ）上只存在一个关于 的“折弦点”，求 的值；（2）点 在线段 上，直线 上存在关于 的“折弦点”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① 点、 点；②k的值是 .
（2） .
【解析】
【分析】（1）①根据题意P点是弦MN的中点，则 ，因此 .分别计算 ， ，
的长度，与OC的长作比较即可判断.
②将C点坐标代入 中求出 值即可.
（2）分别计算 过A点和B点时b的值，即可写出b的取值范围.
【小问1详解】
解：①如图，∵P为MN的中点，
∴ ，
∴ ，
即 .
∵ ，
∴此时，P点是直径MN的中点，符合题意.
∵ ，
∴ ，
∴ 符合题意.
∵ ，
∴ ，
∴ 不符合题意.
∴ 、 点是折弦点.
故答案为： 点、 点
②把 代入 中得
，
解得 ，
此时直线MN是定直线，它只有一个折弦点.
【小问2详解】
解：把 代入 中得 ，
把 代入 中得 ，∴b的范围是
的
【点睛】本题主要考查了垂径定理，能够读懂题意，会画图分析是解题 关键.
