文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 25 三角形综合测试卷
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023·江苏·统考中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1=56°，则∠2的
度数是（ ）．
A．26° B．30° C．36° D．56°
2．（3分）（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个
条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC C．AB=DC D．AF=DE
3．（3分）（2023·山东·统考中考真题）△ABC的三边长a，b，c满足
，则 是（ ）
(a−b) 2+√2a−b−3+|c−3√2|=0 △ABC
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
4．（3分）（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AC=4√2，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且
PM⊥PN．若BM=1，则△PMN的面积为（ ）
13
A．13 B．√13 C．8 D．
2
5．（3分）（2023·河北·统考中考真题）如图，直线l ∥l ，菱形ABCD和等边△EFG在l ，l 之间，点
1 2 1 2
A，F分别在l ，l 上，点B，D，E，G在同一直线上：若∠α=50°，∠ADE=146°，则∠β=（ ）
1 2
A．42° B．43° C．44° D．45°
6．（3分）（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，
BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则DF=（ ）
5 5
A． B． C．2 D．1
4 2
7．（3分）（2023·北京·统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E
在直线AC同侧，AB√a2+b2 √2(a+b)>c
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（3分）（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．24
9．（3分）（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角
形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=√3，AD=1．以下结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；
3−√3
③当点E在BA的延长线上时，MC= ；
2
1
④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为 ．
2
其中正确结论有（ ）
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
10．（3分）（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若
∠AOC=140°，则∠BOD的度数为 ．
11．（3分）（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D．交AB
于点E．连接CE．若CE=CA，∠ACE=40°，则∠B的度数为 ．
12．（3分）（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，过
点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC=4，CE=5，则CD的长为 ．
13．（3分）（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线
CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°<α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD
处，射线C A'与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
14．（3分）（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B
顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90∘,∠E=30∘，点F
为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为 ．
15．（3分）（2023·江苏·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是AC
延长线上的一点，CD=2．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作
▱CMND．连接AN并取AN的中点P，连接PM，则PM的取值范围是 ．
16．（3分）（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC−A B C 中，
1 1 1
，点M为 的中点，一只小虫从 沿三棱柱 的表面爬行到M处，则
AB=2√3,A A =2 AC B ABC−A B C
1 1 1 1 1
小虫爬行的最短路程等于 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023·湖南·统考中考真题）如图，AB和CD相交于点O，AC∥BD，点O为AB的中点，
求证：AC=BD．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
18．（6分）（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，AB∥CD，直线MN与AB,CD分别交于点E，F，
CD上有一点G且¿=GF，∠1=122°．求∠2的度数．
19．（8分）（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，D为
AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE=90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺
规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
20．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC
的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方
向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ,PQ交AC于F．
(1)证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ=120°．
AP
(2)当 为何值时，△AQF是直角三角形？
DP
21．（8分）（2023·辽宁·统考中考真题）在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，
点D在直线AB上（不与点A,B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点
B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；
(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=√2BC；
(3)连接 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ，当 时，请直接写出S 的值．
DE △CDE S △ABC S EF:BC=1:3 1
1 2 S
2
22．（8分）（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如
下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进
一步拓展．
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC
的长．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
23．（8分）（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给
定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家
和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为
“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P' A'=PA，故
PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为
△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°．
现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分
别为a元/km，a元/km，√2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．
（结果用含a的式子表示）
8
