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专题 25 二次函数压轴综合
考点 01 线段周长问题
1．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 过 ， ，与 轴交于点
，顶点为 ．
(1)求 ， 的值．
(2)设抛物线 过点 ， ，且与 轴交于点 ，顶点为 ．
①求 的值；
②当四边形 是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值．
2．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴
交于点 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接 ，过点C作 与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段 上两个动点（点E在点F的右侧），且 ，连接 ， ．求
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的最小值．
3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 关于直线 对称，
与x轴交于 、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接 ，将线段 绕点P逆时针旋转 ，使点B的对应点D恰好落在
抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段 上是否存在点Q，使 存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；
若不存在，请说明理由．
4．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点C．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段 的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且 ．在y轴上是否存在
点E，使得 为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
像经过原点和点 ．经过点 的直线与该二次函数图象交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式及点 的坐标；
(2)点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线 上方时，过点 作 轴于点 ，与直线
交于点 ，设点 的横坐标为 ．
① 为何值时线段 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 ，使得 与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，作直线 ．
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(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点 是线段 上方的抛物线上一动点，过点 作 ，垂足为 ，请问线段 是否存在
最大值？若存在，请求出最大值及此时点 的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点 是直线 上一动点，过点 作线段 （点 在直线 下方），已知 ，若
线段 与抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围．
7．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点
，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作 轴于点E，交 于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 的周长是线段 长度的2倍时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接 ，过点B作直线 ，连接 并延长
交直线 于点M．当 时，请直接写出点Q的坐标．
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考点 02 面积问题
1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴相交于 两点（点 在点
的左边），与 轴相交于点 ，且抛物线的顶点坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2) 是抛物线上位于第四象限的一点，点 ，连接 相交于点 ，连接 ．若 与
的面积相等，求点 的坐标；
(3) 是抛物线上的两个动点，分别过点 作直线 的垂线段，垂足分别为 ．是否存在点
，使得以 为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数 的图像与x轴交于 两点（点A在点B
的左侧），与y轴交于点C，作直线 为二次函数 图像上两点．
(1)求直线 对应函数的表达式；
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(2)试判断是否存在实数m使得 ．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数 图像上一点（不与点 重合），且点P的横坐标为 ，作
．若直线 与线段 分别交于点 ，且 与 的面积的比为 ，请直接写
出所有满足条件的m的值．
3．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 经过点
．点 在此抛物线上，其横坐标为 ，连接 并延长至点 ，使 ．当点 不在坐标轴上
时，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，这两条垂线交于点 ．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
(2) 被 轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，
说明理由．
(3)当 的边 经过此抛物线的最低点时，求点 的坐标．
(4)当此抛物线在 内部的点的纵坐标 随 的增大而减小时，直接写出 的取值范围．
4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线 交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点
B的左侧，顶点坐标为 ．
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(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使 的面积与 的面积相等．若存在，请直接写出点P
的横坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点 ，与y轴交于点B，顶点C的
坐标为 ．
(1)求二次函数的解析式．
(2)判断 的形状，并说明理由．
(3)在直线 上方的抛物线上是否存在一点P，使 ？若存在，求出所有符合条件的点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数 的图像与二次函数 的图像
的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数 的图像上的动点，且位于直线 的
下方，连接 、 ．
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(1)求b、c的值；
(2)求 的面积的最大值．
7．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于
， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点 在直线 下方的抛物线上时，过点 作 轴的平行线交 于点 ，设点 的横坐标为t，
的长为 ，请写出 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
(3)连接 ，交 于点 ，求 的最大值．
考点 03 角度问题
1．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A， 两点，
与 轴交于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．
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(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线 下方抛物线上的一动点，连接 与射线 交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动
点（点E在点D的下方），且 ，连接 ， ．当 取得最大值时，求点P的坐标及
的最小值；
(3)在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度得到抛
物线 ，点M为点P的对应点，点N为抛物线 上的一动点．若 ，请直接写出所有
符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
2．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 经过点 ．
点 、 是该抛物线上的两点，横坐标分别为 、 ，已知点 ，作点 关于点 的对称点 ，
作点 关于点 的对称点 ，构造四边形 ．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当 两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点 的坐标；
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(3)设抛物线在 、 两点之间的部分（含 、 两点）为图象 ．当 时，若图象 的最高点与最
低点的纵坐标之差为 ．求 的值；
(4)连结 、 ，当 时，直接写出 的取值范围（这里 、 、
均是大于 且小于 的角）．
3．（2025·四川南充·中考真题）抛物线 与x轴交于 ，B两点，N是抛物线
顶点．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图1，抛物线上两点 ， ，若 ，求m的值．
(3)如图2，点 ，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足 ．探究
直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （ 为常数）的图
像与 轴交于 、 两点，交 轴于点 ，对称轴为直线 ．
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(1)求二次函数关系式．
(2)连接 ，抛物线上是否存在点 ，使 ，若存在，求出点 的坐标，若不存在，
说明理由．
(3)在 轴上方的抛物线上找一点 ，作射线 ，使 ，点 是线段 上的一动点，过点
作 轴，垂足为点 ，连结 ，求 的最小值．
5．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴
交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接 ，过点P作 轴于点D，交 于点K．
记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最大值；
(3)如图2，连接 ，点E为线段 的中点，过点E作 交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，
使 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
6．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 坐标为 ，点 坐标为 ．
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(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点 是直线 上方抛物线上一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线，
垂足为点 ，请探究 是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时 点的坐标；若没有最大值，
请说明理由．
(3)点 为该抛物线上的点，当 时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
7．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交
于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，过点 作直线 轴，过点 作 ，交直线 于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点 为第三象限内抛物线上的点，连接 和 交于点 ，当 时．求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接 ，在直线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请
直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
考点 0 4 三角形问题
1．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点
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B的坐标为 ，点 在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当 时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接 交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使 是以 为直角边的直角三角形，若存在，请
直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线 交 轴于A、 两点，交 轴于点 ．直线 经过 、 两点，若点
， ．点 是抛物线上的一个动点（不与点A、 重合）．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点 作直线 轴于点 ，交直线 于点 ，当 时，求 点坐标．
(3)若点 是直线 上的一个动点．请判断在点 右侧的抛物线上是否存在点 ，使 是以 为斜边
的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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3．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
与y轴交于点C， ， ，D是直线 上方抛物线上一动点，作 交 于点E，垂足为
点F，连接 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为 ，
①用含有 的代数式表示线段 的长度；
②是否存在点D，使 是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明
理由；
(3)连接 ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，请直接写出线段 长度
的最小值．
4．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴
交于点 ．点 是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接 ， ，直线 交抛物线的对称轴于点 ，若点 是直线 上方抛物线上一点，且
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，求点 的坐标；
(3)若点 是抛物线对称轴上位于点 上方的一动点，是否存在以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三
角形，若存在，请直接写出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，
其中 ， ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理
由；
(3)点 是对称轴 上一点，且点 的纵坐标为 ，当 是锐角三角形时，求 的取值范围．
6．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线
经过A、B两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线 交于点C，求 的长的最大值；
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(3)点Q是线段 上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结 交y轴于点N．是否存在点P，
使 与 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
7．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ，
和 ，连接 ，点 为抛物线上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，
交 轴于点 ．
(1)直接写出抛物线和直线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的值；
(3)当 点在运动过程中，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与以 ， ， 为顶
点的三角形相似（其中点 与点 相对应），若存在，直接写出点 和点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
考点 0 5 四边形问题
1．（2025·天津·中考真题）已知抛物线 为常数， ．
(1)当 时，求该抛物线顶点 的坐标；
(2)点 和点 为抛物线与 轴的两个交点，点 为抛物线与 轴的交点．
①当 时，若点 在抛物线上， ，求点 的坐标；
②若点 ，以 为边的 的顶点 在抛物线的对称轴 上，当 取得
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最小值为 时，求顶点 的坐标．
2．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数 （b，c为常数）的图象交x轴于A，B两
点，交y轴于点C，已知点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接 ，当 时，求点P的坐标．
(3)将抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线
对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
3．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，与
轴交于点 和点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 在直线 上，点 在 轴上， 是抛物线上位于第一象限的点，若四边形 是正方
形，求点 的坐标；
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(3)设点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，当
时， 的最小值为3，求 的值．
4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点
，与y轴交于点B，且关于直线 对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 时，y的取值范围是 ，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线 于点D，在y轴上是否存在
点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
5．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是 ，过点D作直线 轴，垂足
为点E，交直线 于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段 的长；
(3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标
平面内，当四边形 是矩形邻边之比为 时，请直接写出点P的横坐标．
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6．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使 为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点分别为
和 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 是直线 上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点 作 轴平行线交 于点 ，过点 作 轴平行线交 轴于点 ，求 的最大值及
点 的坐标；
(3)如图2，设点 为抛物线对称轴上一动点，当点 ，点 运动时，在坐标轴上确定点 ，使四边形
为矩形，求出所有符合条件的点 的坐标．
考点 0 6 其他问题
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1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点O和点 ．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点 作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 于点N．
①若 ， ，求 的长；
②已知在点P从点O运动到点 的过程中， 的长随 的长的增大而增大，求a的取值范围．
2．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线 （a为常数）经过点 ．
(1)求a的值．
(2)过点 与x轴平行的直线交抛物线于 两点，且点B为线段 的中点，求t的值．
(3)设 ，抛物线的一段 夹在两条均与x轴平行的直线 之间．若直线
之间的距离为16，求 的最大值．
3．（2025·湖北·中考真题）抛物线 与 轴相交于点 和点 ，与 轴相交于点 ，
是抛物线的顶点， 是抛物线上一动点，设点 的横坐标为 ．
(1)求 的值；
(2)如图1，若点 在对称轴左侧，过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，求 的值；
(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧 （含端点 和 ）．过 ， 分别作 轴的
垂线 ，过抛物线弧 的最高点和最低点分别作 轴的垂线 ，直线 与 围成的矩形叫做抛物
线弧 的特征矩形．若点 在第四象限，记抛物线弧 的特征矩形的周长为 ．
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①求 关于 的函数解析式；
②过点 作 轴，交抛物线于点 ，点 与点 不重合．记抛物线弧 的特征矩形的周长为 ．若
，直接写出 的长．
4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图， 是坐标原点，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，
与 轴交于 点，其中 ．
(1)求b、c的值；
(2)点 为抛物线上第一象限内一点，连结 ，与直线 交于点 ，若 ，求点D的坐标；
(3)若 为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为 ，若 又在原抛物线上，新抛物线与直
线 交于点 ，连结 ．探新抛物线与 轴是否存在两个不同的交点．若存在，
求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．
5．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
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(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使 有最大值？若
存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接 ，过点M作 交直线l于点N．若
，求点M的坐标．
6．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线 ， 为实数．
(1)如果该抛物线经过点 ，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当 时， 的最大值为4，求 的值．
(3)点 ，点 ，如果该抛物线与线段 （不含端点）恰有一个交点，求 的取值范围．
7．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点B，与
y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点， ，求点M的横坐标；
(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，
的长为d．
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与 内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，
且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．
8．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线 与x轴交于两点 ，将抛
物线 向右平移两个单位长度，得到抛物线 ，点P是抛物线 在第四象限内一点，连接 并延长，交
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抛物线 于点Q．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)设点P的横坐标为 ，点Q的横坐标为 ，求 的值；
(3)如图②，若抛物线 与抛物线 交于点C，过点C作直线 ，分别交抛物线
和 于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
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