文档内容
北京市朝阳区 2023～2024 学年度第二学期期末检测
八年级数学试卷(选用)
(考试时间90分钟满分100分)
1．本试卷共6页，共三道大题，25道小题．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．
考 生 须 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
知
4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字
笔作答
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题(共24分，每题3分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开
方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次
根式，是本题的解题关键．
【详解】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
第1页/共25页
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 和 不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3. 在 中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那
么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即
可．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故A不符合题意；
B、∵ ，
第2页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，故B不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
∴ ，故C不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故D不符合题意；
故选：C。
4. 如图， ， 相交于点O，下列两个三角形 的面积不一定相等的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得 ，进而可
得 ，根据现有条件无法得到 和 的面积相等，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
第3页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据现有条件无法得到 和 的面积相等，
故选：D．
5. 在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成
绩．去掉这两个分数的前后， 一定不发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响.
【详解】解：中位数为大小排序后中间1位数或者中间2位数的平均数，故去掉一个最大的数和最小的数
后，排序中间的1位数或2位数仍在中间，没有变化，故中位数不变．平均数，众数，方差都可能变化．
故选：B．
6. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形 B. 有三个角是直角的四边形
C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判
定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意；
故选：D．
7. 下列函数的图象是由正比例函数 的图象向左平移1个单位长度得到的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：把正比例函数 的图象向左平移1个单位长度得到的函数解析式为
，
故选：B．
8. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形 的形状可以发生改变，在这个变化过程
中，设菱形 的面积为y， 的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了动点问题函数图象，分析菱形形状变化过程是解题的关键；过点A作 于E，
当E点与B点重合时， ，可判断出此时面积最大，且随着x的减小，面积减小，随着x的增大，面
积也增大，而前三个选项中图象均不满足；故可作出判断．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图，过点A作 于E；
当E点与B点重合时， ，则 ，
此时面积最大，且为 ，
当A往右方向移动时， 减小， 也减小，
而 跟着减小，
即随着x由 减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0；
同理，随着x的增大到 ，面积也增大到4，
前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足；
故选：D．
二、填空题(共24分，每题3分)
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴
∴
故答案为：
10. 写出一个图象经过第二、三、四象限的一次函数表达式______．
【答案】答案不唯一，如
【解析】
第6页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数图像的特点是解题关键．
由一次函数图像经过的象限可得 ， ，只需要写出一个符合条件的答案即可．
【详解】解：∵一次函数图像过第二、三、四象限，
∴ ， ，
∴此题答案不唯一，如 ．
为
故答案 ：答案不唯一，如 ．
11. 下表是某校排球队队员的年龄分布，该排球队队员的平均年龄是_________ 岁．
年
1 1 1 1
龄 /
2 3 4 5
岁
频
1 1 3 3
数
【答案】14
【解析】
【分析】本题考查了求平均数；根据平均数公式直接计算即可．
【详解】解：该排球队队员的平均年龄是 （岁）
故答案为：14．
12. 如图， 是 的中位线，若 的周长为10，则 的周长为_________ ．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，利用三角形中位线定理得 的周长为 的周长的一半
即可求解；掌握三角形中位线定理是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 是 的中位线，
，
的周长为 ；
故答案为：5．
13. 如图，在正方形 的外侧，作等边三角形 ，则 _______ ．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握这三种性质是关键；由
题 意 得 是 等 腰 三 角 形 ， 则 可 求 得 的 度 数 ； 同 理 可 求 得 的 度 数 ， 由
即可求解．
【详解】解：正方形 中， ；
为等边三角形，
，
， ，
；
同理， ；
；
故答案为：30．
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学科网（北京）股份有限公司14. 如图，在 中， ，P 为射线 上一点，若 是等腰三
角形，则 的长为_________ ．
【答案】 或6或2
【解析】
【分析】由题意可求得 ；分三种情况考虑： ； ； 即可．
【详解】解： ，
，
由勾股定理得： ；
当 时，如图，则 ；
当 时，过点C作 于E，如图；
则 ， ，
由勾股定理得： ，
；
第9页/共25页
学科网（北京）股份有限公司当 时，则 ，
；
而 ，
即 ，
，
是等边三角形，
，
；
综上， 的长为 或6或2．
【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，
注意分类讨论．
15. 直线 一定经过一个定点，这个定点的坐标是_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】、
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征； 变形为 ，既然过定点，则与k
值无关，此时只有 即可，由此可求得定点坐标．
【详解】解： 变形为 ，
直线 过定点，则与k值无关，
，
第10页/共25页
学科网（北京）股份有限公司即 ，
，
即定点坐标为 ；
故答案为： ．
16. 如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏， 一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完
全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放， 把其他棋子拿掉后，这5
个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为
_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；结合图形建立关系式是解题的关键；设小矩形的长为a，宽
为b，根据阴影部分面积为大矩形面积减去5个小矩形面积等于40，化简得 的值，由勾股定理即可
求得小矩形的对角线长．
【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，则大矩形长为 ，宽为 ，
由题意得： ，
化简得 ，
；
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学科网（北京）股份有限公司即小矩形对角线的长为 .
故答案为： ．
三、解答题(共52分，第17-22题，每题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据分别化简二次根式、按单项式乘多项式法则进行计算，再
合并同类二次根式即可．
【详解】解：
．
18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，
再代入计算求值即可．
【详解】解： ，
，
当 时，原式 ．
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学科网（北京）股份有限公司19. 如图，在矩形 中 ， 相交于点O ，E 为 的中点，连接 并延长至点F， 使
， 连接 ．
求证：四边形 是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证明四
边形 是平行四边形，再由矩形对角线相等且互相平分得到 ，由此即可证明四边形
是菱形．
【详解】证明：∵E 为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
20. 数学课上老师提出一个命题：如果四边形 和 都是平行四边形，则四边形 也是平
行四边形．
下面是某同学根据自己画出的图形给出的证明过程．
第13页/共25页
学科网（北京）股份有限公司证明：因为 是平行四边形，
所以 ．
又因为 也 是平行四边形，
所以 ．
所以 ．
即 ．
所以四边形 是平行四边形．
讨论后大家发现这个证明过程存在问题
（1）请说明该同学证明中出现的问题；
（2）给出正确的证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定：
（1）题中并没有指明 三点共线， 三点共线，则无法证明 ；
（2）由平行四边形对边相等且平行得到 ， ，进而得到
，由此即可证明四边形 是平行四边形．
【小问1详解】
解：∵题中并没有指明 三点共线， 三点共线，
∴由 并不能得到 ；
【小问2详解】
证明：因为 是平行四边形，
所以 ．
又因为 也是平行四边形，
所以 ．
所以 ．
第14页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以四边形 是平行四边形．
21. 如图；在平面直角坐标系 中，函数 与 的图象交于点A．
（1）若点A的横坐标为2，求k的值；
（2）若关于x 的不等式 有且只有2个正整数解，直接写出k 的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）把点A的横坐标为2代入 中，得A点坐标，把A点坐标代入 中，即可求得
k的值；
（2）由（1）知，当 时，求得k的值为2；当 时，可求得k的值；结合图形，当k的值位于这两
者之间时，保证关于x 的不等式 有且只有2个正整数解．
【小问1详解】
解：当 时， ，
则 ；
把A的坐标代入 中，得 ，即 ；
【小问2详解】
解：由（1）知，当 时， ；
当 时， ，即 ，如下图所示；
把点B坐标代入 中，得 ，即 ；
的
由图知，当 时，关于x 不等式 有且只有2个正整数解．
第15页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故k的取值范围为 ．
22. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)， 数据整理如下：
a．16名学生 的编号与身高：
编
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
号
身 16 16 16 16 16 16 16
161
高 2 2 4 5 5 5 6
编
⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯
号
身 16 16 16 17 17 17 17
166
高 7 8 8 0 2 2 5
b．16 名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平 均 中 位 众
数 数 数
166.7
m n
5
c．分组方案：
甲组队员编号 乙组队员编号
方 案 ①②③④⑤⑥⑦ ⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮
一 ⑧ ⑯
方 案 ①③⑤⑦⑨⑪⑬ ②④⑥⑧⑩⑫⑭
二 ⑮ ⑯
方 案 ①③⑤⑦⑩⑫⑭ ②④⑥⑧⑨⑪⑬
第16页/共25页
学科网（北京）股份有限公司三 ⑯ ⑮
方 案 ①④⑤⑧⑨⑫⑬ ②③⑥⑦⑩⑪⑭
四 ⑯ ⑮
（1）写出表中m，n 的值；
（2）按照方案一分成的两组中，学生身高更整齐的是 (填“甲组”或“乙组”)；
（3）如果分成的两组学生的平均身高接近，且身高的方差也接近，则认为这两组学生的身高整体接近，
在演出时舞台呈现效果更好．在这四个分组方案中，舞台呈现效果最好的是方案 (填“一”“二”
“三”或“四”)．
【答案】（1）166；165
（2）甲组 （3）四
【解析】
【分析】（1）由a知，第⑧、⑨号队员是处于中间位置的两个数，由中位数的意义则可求得中位数m的
值；找到出现次数最多的即可；
（2）根据两组中最大值与最小值的差即可作出判断；
（3）分别计算各个方案中每组的平均数，选择平均数最接近的两组，再计算出方案中两个组的最大值与
最小值的差，可判断出数据的稳定性，从而作出判断．
【小问1详解】
解：由a知，第⑧、⑨号队员是处于中间位置的两个数，
则 ；
从表中知，数据165出现的次数最多，故众数 ；
故答案为：166；165；
【小问2详解】
解：甲组中最大与最小数据的差为 ，
乙组中最大与最小数据的差为 ，而 ，
表明甲组的数据更接近平均数，即甲组的波动程度更小，学生身高更整齐；
故选：甲；
【小问3详解】
第17页/共25页
学科网（北京）股份有限公司解：方案一：甲组平均数为： ，
乙组的平均数为：
方案二：甲组平均数为： ，
乙组的平均数为：
方案三：甲组平均数为： ，
乙组的平均数为： ；
方案四：甲组平均数为： ，
乙组的平均数为： ；
方案三、四中两组的平均数更接近；
而方案三中，甲组最大与最小的差为14，乙组中最大与最小的差为10；方案四中甲组最大与最小的差为
11，乙组中最大与最小的差为10；表明方案四中两组的方差更接近，故方案四舞台呈现效果最好；
故答案为：四．
【点睛】本题考查了求中位数与众数，计算平均数，根据最大与最小值的差判断数据的波动程度，正确计
算这些统计量是解题的关键．
23. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，
问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽 丈，芦苇 生长在 的中点O处，高出水
面的部分 尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即 ， 求水池的深度
和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
第18页/共25页
学科网（北京）股份有限公司（1）求水池的深度 ；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法
用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽 ， 芦苇高出水面的部分 ，则水池的
深度 可以通过公式 计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【答案】（1）12尺 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为 尺，在 中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度 ，则得芦苇高度为 ，由题意有： ；由
勾股定理即可得证．
【小问1详解】
解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为 尺，
由题意有： 尺；
为 中点，且 丈 尺，
(尺)；
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
第19页/共25页
学科网（北京）股份有限公司解得： ；
即 尺；
答：水池的深度 为12尺；
【小问2详解】
证明：水池深度 ，则芦苇高度为 ，
由题意有： ；
为 中点，且 ，
；
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
整理得： ；
表明刘徽解法是正确的．
24. 如图，E为正方形 内部一点，且 ， 的延长线交 于点F．
（1）求证： ；
（2）作 于点G，交 于点H， 用等式表示线段 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） ，见解析
第20页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）如图1，作 于 ，由 ，可得 ，由
，可得 ，进而结论得证；
（2）证明四边形 是矩形，则 ，如图2，将 绕着点 逆时针旋转 到 ，
连接 交 于 ，由旋转可知， ， ， ， ，
，可求 ， ，即 三点共线，设
，则 ， ， ， ，
，则 ，由 ，可得
，则 ， ．
【小问1详解】
证明：∵正方形 ，
∴ ，
如图1，作 于 ，
图1
∵ ，
∴ ，
第21页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ，证明如下；
∵正方形 ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
如图2，将 绕着点 逆时针旋转 到 ，连接 交 于 ，
图2
由旋转可知， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 三点共线，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
第22页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形
外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定
与性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
25. 如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动
排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保
向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀
速注入清水， 一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部
分数值如下：
时间(t/s) 1 2 3 4 5 6 7 8
水位高度(h/
2 4 6 3
cm)
根据以上信息，解决下列问题：
（1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点；
（2）当t= s时，杯中水位最高，是 cm；
第23页/共25页
学科网（北京）股份有限公司（3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为 ；
（4）求停止注水时t的值；
（5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s．
【答案】（1）见解析 （2）3；6
（3）2 （4）3
（5）11
【解析】
【分析】本题考查表格表示了变量间的关系，在平面直角坐标系中描点，观察表格并从中获取信息是关键．
（1）描点即可；
（2）由表格即可求解；
（3）由表格即可求解；
（4）由表格即知；
（5）由表知，经过4秒排了一半，则经过8秒排完，再加上注满水的时间，即可求得总时间．
【小问1详解】
解：描点如下
【小问2详解】
解：由表格知，当 时，杯中水位最高，最高水位为 ；
故答案为：3；6；
【小问3详解】
解：由表知，自动排水前，每经过1秒钟，水位上升 ，
即杯中水位上升的速度为 ；
故答案为：2；
【小问4详解】
解：由表知，停止注水时t的值为3；
第24页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：3；
【小问5详解】
解：由表知，从第3秒到第7秒，经过4秒水排了一半，则经过8秒排完，
所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 ；
故答案为：11．
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
