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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市朝阳外国语学校 2024~2025 学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题（共10题，共20分，每小题2分．）
1. 抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ）
A. 直线x＝﹣1 B. 直线x＝1 C. 直线x＝0 D. 直线y＝1
2. 点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣1，2） D. （1，﹣2）
3. 下列图案中，点 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点
对称的是（ ）
A. B. C. D.
4. 用配方法解方程 ，配方正确的是（）
A. B. C. D.
5. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆
半径为1，则AB的长为（ ）
A. 2 B. 2 C. D. 2
6. 将抛物线 向上平移 个单位后得到的抛物线恰好与 轴有一个交点，则 的值为（ ）
.
A B. C. D.
7. 已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论：①图象必经过点（﹣3，1）；②图象在第二，四象限内；③y随
x的增大而增大；④当x＞﹣1时，y＞3．其中错误的结论有（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④
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8. 已知二次函数 的图象经过 ， 两点，则下列判断正确的是
（ ）
.
A 可以找到一个实数 ，使得 B. 无论实数 取什么值，都有
C. 可以找到一个实数 ，使得 D. 无论实数 取什么值，都有
9. 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，
经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度x/℃ … ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 …
植物每天高度的增长量y/
… 41 49 49 41 25 1 …
mm
由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量y是温度x的二次函数，那么下列三个结论：
①该植物在0℃时，每天高度的增长量最大；
的
②该植物在﹣6℃时，每天高度 增长量能保持在25mm左右；
③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长.
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③
10. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 与 之间的距离为
，双翼的弧 与弧 的长都为 ，且与闸机侧立面夹角 ．当双翼收起
时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共10大题，共计30分，每小题3分．）
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11. 写出一个以0和 为根的一元二次方程:_________．
12. 若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac_____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．
13. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_____．
14. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮
船的轮子被水面截得的弦 长为8米，轮子的半径 为5米，则轮子的吃水深度 为______米．
15. 在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世
界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平
均增长率为x，依题意，可列方程为__________．
16. 如图，A，B两点在反比例函数 的图像上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形
面积为1，则阴影部分的面积之和为______．
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17. 在同一直角坐标系xOy中，二次函数 与反比例函数 的图象如图所示，如果两个函
数图象上有三个不同的点A（ ，m），B（ ，m），C（ ，m），其中m为常数，令
，那么 的值为___________（用含m的代数式表示）.
18. 如图，⊙O的动弦 ， 相交于点 ，且 ， ．在①
，② ，③ 中，一定成立的是____________（填序号）．
19. 在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 是第一象限内任意一点，连接 ， ．若
， ，则我们把 叫做点 的“角坐标”．
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（1）点 的“角坐标”为______;
（2）若点 到 轴的距离为3，则 的最小值为_____．
20. 抛物线 （a，b，c是常数， ）经过 ， 两点，且 ．下列四个
结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点 ， 在抛物线上，若 ， ，总有 ，则 ．
的
其中正确 是__________（填写序号）．
三、解答题（共8大题，本题共50分，第21～22题，每小5分；第23～25小题，每小题6
分；第26～27小题，每小题7分；第28小题，8分．）
21. 解方程： ．
22. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图， ．
求作：直线BD，使得 ．
作法：如图，
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①分别作线段AC，BC的垂直平分线 ， ，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交 于点D；
的
④作直线BD．所以直线BD就是所求作 直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ______．
∴ （______）（填推理的依据）．
∴ ．
23. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 的一个交点是 ．
（1）求 和 的值；
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（2）设点 是双曲线 上一点，直线 与 轴交于点 ．若 ，结合图象，直接写出点
的坐标．
24. 如图，在 中， ，以 为直径作 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于
点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．
25. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形
如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用
信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平
面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ．其中，当火箭运行的水平距离为
时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为 ．
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①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，设该抛物线的对称轴为直线
．
（1）求t的值；
（2）已知 ， 是该抛物线上的任意两点，对于 ， ，
都有 ，求m的取值范围．
27. 如图，在三角形 中， ， ，点 为 内一点，连接 ， ， ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
（1）用等式表示 与 的数量关系，并证明；
（2）当 时，
①直接写出 的度数为________；
②若 为 的中点，连接 ，请用等式表示 与 的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点A和线段 ，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形
，且 ，则称线段 是点A的“ 相关线段”．例如，图1中线段 是点A的
“ -相关线段”．
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（1）已知点A的坐标是 ．
①在图2中画出点A的“ -相关线段” ，并直接写出点M和点N的坐标；
②若点A的“ -相关线段”经过点 ，求 的值；
（2）若存在 使得点P的“ -相关线段”和“ -相关线段”都经过点 ，记 ，
直接写出t的取值范围．
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