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专题 25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照
长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接
连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥
（造桥）再也不是问题！
模型1.将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直
线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：
A E
A C
A B
A
B
m m m
P Q P Q P Q
m
B B P Q B'
图1 图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，
此时P、Q即为所求的点。
（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左
平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路 的一侧有 ， 两个工厂， ，
到公路的垂直距离分别为 和 ， ， 之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路
上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____ ．
问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，
，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接
， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
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说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是
和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．
【答案】（1） （2）存在，最小值为 （3）最短路线长为
【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径 ，再利用矩形的性质，求出 和 的距离，最
后利用勾股定理即可求出最短路径；
（2）根据平移的性质可知四边形 和 均为平行四边形，再利用最短路径作法得出 即为最短
距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案；
（3）根据题意画图可知四边形 为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路 上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到
厂， 作点 关于 的 对称点 ， 连接 ， ， 连接 交 于点 ，
则 ， ，
当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长．
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连接 ， 交 于点 ， 过点 作 于点 ， 过点 作 ， 垂足为点 ，
则 ， 四边形 是矩形，
， ，
又 ， ，
即最短路线的长是 ．故答案为： ．
（2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点 作直线 ， 作点 关于直线 的对称点 ， 连接
， ， 交直线 于点 ， 过点 作 交直线 于点 ， 连接 ， ， ， 则
．
由平移知 ， ．又 ， 四边形 是平行四边形，
， 由平移知 ，
又 ， 四边形 是平行四边形，
当点 与点 重合时， 最小， 最小值为 的长．
过点 作 交 的延长线于点 ， 则 为等腰直角三角形．
， ， ，
的最小值为 ．故答案为：存在，最小值为 ．
（3） 如图 （3），设码头乙为点 ， 码头甲为点 ， 连接 ， ，
过点 作 ， 且 ， 作点 关于 的对称点 ， 连接 交 于点 ．
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连接 ， 则 ． 是平行四边形， ，
点 ，N重合时，旅游路线最短．
过点 作直线 ， 过点 作 于点 ，
则 ， ， ， ，
．故答案为：最短路线长为 ．
【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、
等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．
例2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上
的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当
点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
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∵ ，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝ ＝ ＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三
点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键．
例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在
边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取
EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定
理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取
EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴ ，即 的最小值为 ．故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时
E，F位置是解题关键．
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例4．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形 内接于⊙O，线段 在对角线
上运动，若⊙O的周长为 ， ，则 周长的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】过点 作 ，令 ；可推出四边形 为平行四边形，有 ；根据
可知当 时， 周长有最小值.
【详解】解：过点 作 ，令
∵⊙O的周长为 ，∴⊙O的半径为 ∴
∵ 且 ∴四边形 为平行四边形
∴ 由正方形的对称性可得： ∴
∴ 故：当 时， 周长有最小值
此时： ∴ 周长的最小值是 故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当 时， 周长有最
小值是解题关键．
例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为 的正方形 中将 沿射线 平
移，得到 ，连接 、 ．求 的最小值为______．
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【答案】
【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均
为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当
点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．
【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D= ，
即EC+GC的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将
两条线段的和转化为同一条线段求解．
例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 的长分别为 ， ，将
沿射线 的方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为______．
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【答案】
【分析】连接 与 交于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，证明 ， ，
得 ，当点 、 、 三点共线时， 的值最小，由勾
股定理求得 便可．
【详解】解：如图所示，连接 与 交于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，
四边形 是菱形， ，
，由平移性质知， ， ， ，
， ，
当点 、 、 三点共线时， 的值最小，
的最小值为： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
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模型2.将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】
【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：
桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM
与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
将军 A 将军 A 将军 A
M M M
河 A' 河 A' 河
N N N
B军营 B军营 B军营
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建
造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
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考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移
使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023.浙江八年级期中）同学们已经学过一些平行线的性质，其实平行线的性质还有一些：
（1）如图1，如果 ，在a上任取一点P，作PQ⊥b于点Q，则线段PQ的长度叫a，b之间的距离.
如果在a上再取一点M，作MN⊥b于点N，则线段MN可以看成由线段PQ平移得到，即MN=PQ，这就得
到平行线的又一条性质：平行线间的距离处处相等．根据平移还有哪些线段相等 .
（2）刚在（1）中提到的平行线性质在河上建桥也有广泛的应用：如图2，直线a，b表示一条河的两岸，
且 . 现在要在这条河上建一座桥．使村庄A经桥过河到村庄B．现在由小明、小红两位同学设计：
小明：作AD⊥a，交a于点D，交b于点C． 在CD处建桥. 路径是A-C-D-B．
小红：作AD⊥a，交a，b于点D，点C；把CD平移至BE，连AE，交b于G，作GF⊥a于F. 在FG处建桥．
路径是A-G-F-B．
问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由.
（3）假设新桥就按小红的设计在FG处实施建造了，上游还有一座旧桥，凌晨3点某船从旧桥下到新桥下，
到达后立即返回，来回穿梭于两桥之间，船在静水每小时16千米，水流每小时4千米，在当晚23点时有
人看见船在离旧桥80千米处行驶求这两桥之间的距离.
【答案】（1）PM=QN；（2）小红设计的路径较短，理由见解析；（3）200千米或120千米或100千米
【分析】(1)易得PQ∥MN，所以可得PM=QN；
(2)根据小明的路径=AC+CD+DB，小红的路径=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在△ACE中由两边之和
大于第三边，可得出结论;
(3)需要分情况讨论：①船第一次到达新桥后返回距离旧桥80千米；
②船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米；
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③船第二次到达新桥后返回距离旧桥80千米；
④船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，这一次计算距离为60千米，不符合题意.
【详解】（1）∵PQ⊥b，MN⊥b，∴PQ∥MN，
则PM与QN都为线段PQ平移的距离,∴PM=QN
（2）小红设计的路径较短，理由如下：
小明的路径=AC+CD+DB，小红的路径=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在△ACE中AC+CE＞AE，所以小
红设计的路径短.
（3）设两桥之间的距离为x千米(x>80)，旧桥到新桥为顺水，速度为16+4=20千米/小时，新桥到旧桥为逆
水，速度为16-4=12千米/小时,行驶总时长为23-3=20小时.
①船第一次到达新桥后返回距离旧桥80千米，由题意得
解得
②船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，由题意得
解得
③船第二次到达新桥后返回距离旧桥80千米，由题意得，
解得
④船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，由题意得，
解得
因为船在两桥之间行驶，故此种情况不存在.
综上，两桥间的距离为200千米或120千米或100千米.
【点睛】本题考查最短路径设计问题，设计图可作为“造桥模型”记住，第（3）题考查船顺水于逆水航
行问题，需要掌握顺水和逆水的速度计算，分类讨论是解题的关键.
例2．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在 处角转弯，河宽相同，从 处到达 处，
须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使
到 的路程最短，请确定两座桥的位置．
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【答案】见解析
【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点 向下平移至点 ，点 向右平移至点 ，构造平行四边形
进行求解即可．
【详解】解：如图所示，将点 向下平移至点 ，使 的长等于河宽，将点 向右平移至点 ，使 的
长等于河宽；连接 ，与河岸相交于点 ， ；过点 作 于点D，过点 作 于点
，则 ， 即为两桥的位置．
，
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行
四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
例3．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB
＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M
点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条
河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′
最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．
【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂
直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
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∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT ABC中， ，
△
在RT AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝ 千米；故选A．
△
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，
需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，
往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 中， ， ， ， ，
；垂足分别为点F和E．点G和H分别是 和 上的动点， ，那么 的
最小值为______．
【答案】
【分析】过点E作 交 于点I，连接 ．易求出 ， ， ．易证
四边形 为平行四边形，得出 ，即说明当 最小时， 最小．由当点I，
H，C三点共线时， 最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出 ，即得出
，即可得出答案．
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【详解】解：如图，过点E作 交 于点I，连接 ．
∵ 中， ， ，∴ ，∴ ，
∴ ， ．∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ．同理可得出 ．
∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ ，∴当 最小时， 最小．
∵当点I，H，C三点共线时， 最小，∴此时 最小，如图，
∵ ，∴ ．∵ ∴四边形 为平行四边形，∴ ，
，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ． 故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之
间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时， 最小，即此时
最小是解题关键．
例5．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，
3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当
S =S 时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，
NBC ABC
△ △
动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的
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最小值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）；
(3)当m= 时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3 +3．
【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式
即可得点M坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解
析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S NBC=S ABC，即S CDB+S BDN=
△ △ △ △
AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连
接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点
M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长
线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3 ，即M′Q+QN=3 ，据此知m= 时，PM+PQ+QN的最小值为3
+3．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴ ，解得： ，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；
（2）解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3），
又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=kx+b，
1 1
则 ，解得： ，∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3，
设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x= ，∴D（ ，0），BD=3- ，
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∵S NBC=S ABC，∴S CDB+S BDN= AB•OC，即 BD•|y -y |= [3-（-1）]×3，
C N
△ △ △ △
即 ×（3- ）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t=4，t=-1（舍去），
1 2
当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）；
（3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y=kx+b（k≠0），
2 2 2
将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得： ，解得： ，
∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x= ，∴Q（ ，0），即m= ，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，在Rt M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3，
△
∴M′N= ， ∴M′Q+QN=3 ，∴当m= 时，PM+PQ+QN的最小值为3 +3．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边
形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置．
例6．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，M、N分别是 、
边上的动点，且 ，则 的最小值是________．
【答案】
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【分析】由 可知 为定长，在 、 间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点
间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．
【详解】作 交 于点E，在 取 ，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接
，作 于点 ，如下图：
， ， 为等边三角形， ，
， ， 四边形 为平行四边形，
同理得四边形 与四边形 为平行四边形， ， ， ，
，
中 ， ，
中 ，
， 的最小值是 ．
【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离
和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊
角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．
课后专项训练
1．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中， ， ，把边AB沿对角线BD平
移，点 ， 分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点 ， ，C，D的图形是平行四边形；②
点C到它关于直线 的对称点的距离为48；③ 的最大值为15；④ 的最小值为
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．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对
②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作 关于 的对称点 ， 交 于 连
接 ，过 作 于 分别交 于 证明 是最小值时的位置，再利用勾
股定理求解 ，对④做出判断．
【详解】解：由平移的性质可得AB// 且AB=
∵四边形ABCD为矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴ //CD且 =CD
∴四边形 CD为平行四边形，故①正确
在矩形ABCD中，BD= = =25,过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN
∴S = AB·CD= BD·AM∴AM=CN= =12∴点C到 的距离为24
ABD
△
∴点C到它关于直线 的对称点的距离为48∴故②正确
∵ ∴当 在一条直线时 最大，此时 与D重合
∴ 的最大值= =15∴故③正确，
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如图，作 关于 的对称点 ， 交 于 连接 ，过 作 于 分别交
于 则 为 的中位线， ，
由 可得 ，
此时最小，由②同理可得：
设 则
由勾股定理可得：
整理得： 解得： （负根舍去），
∴故④正确故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，
熟练掌握相关的知识是解题的关键．
2．（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，
且EF＝2，连接AE、AF，则 AEF周长的最小值是（ ）
△
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A．4 B．4+ C．2+2 D．6
【答案】D
【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最
小值即可．
【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长
最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2 ，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4，
∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键．
3．（2022·重庆九龙坡·统考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将 ABD沿射线BD
方向平移，得到 EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（ ） △
△
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A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【分析】连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性质
可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出 ，从而可得出 ，即CH的长
为 的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出
CH的长即可．
【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．
由平移的性质可知 ， ．∵四边形ABCD为菱形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，∴四边形CDEG为平行四边形，∴ ．
由轴对称的性质可知 ， ， ，∴ ，
∴ ，即CH的长为 的最小值．
∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 为等边三角形，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
即 为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，
结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求 ．故选B．
【点睛】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对
称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作
出辅助线是解题关键．
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4．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）在边长为2的正方形 中，点E、F是对角线 上的两
个动点，且始终保持 ，连接 、 ，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】过点 作 使 ，易得四边形 为平行四边形，得到 ，进而得到
，得到 三点共线时， 有最小值即为 的长，利用勾股定理进行
求解即可．
【详解】解：过点 作 使 ，则：四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ ，∴当 三点共线时， 有最小值即为 的长，
∵四边形 为正方形，∴ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，即： 的最小值为3．故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，
进行线段的转化．
5．（2023·广东·九年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B
（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
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【答案】
【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关
于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，
即可得解；
【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝ ，
作点A关于直线x＝1的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝ ，
∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝ +1+5＝ +6．故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
6．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，
如图l所示．然后固定纸片 ABC，把纸片 ADC沿AC的方向平移得到 A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平
移过程中：（1）四边形A′B△CD′的形状始终△是 __；（2）A′B+D′B的最小△值为 __．
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【答案】 平行四边形 2
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点
C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结
论．
【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形．
（2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC= AB=2 ，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ= AC= ，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH= ，在Rt△BHC″中，BH= ，HC″=3 ，
∴ ，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2 ，∴A′B+D′B的最小值为2 ，故答案为：2 ．
【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决
最短问题，属于中考常考题型．
7．（2022下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，
∠DBC=60°，将△DAB 沿射线 DB方向平移得到△D’A’B’，连接 CD’和 CB’， 则 CD’+CB’的最小值为
．
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【答案】
【分析】作C点关于BD的对称点C' ，连接 过点 作 过点C'作 ，两平行
线交于点G，则四边形 是平行四边形，当C，G， 三点共线时， 的值最小，求出CG
的值即可所求．
【详解】解：如图所示：作C点关于BD的对称点 ，连接
过点 作 过点C'作 ，两平行线交于点G，
∴四边形 是平行四边形，
∴当 三点共线时， 的值最小，最小值为CG的长度，
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在 中， 在 中， 故答案为：
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造平行四边形边进行转
化，再利用将军饮马问题进行求解是解题的关键．
8．（2023·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 是 轴上的一条
动线段，且 ，当 取最小值时，点 坐标为______.
【答案】
【分析】如图把点A向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，
BF与x轴的交点即为点Q，此时AP+PQ+QB的值最小，求出直线BF的解析式，即可解决问题．
【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接
BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.
设最小BF的解析式为y=kx+b，则有 解得
∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.
∴Q（2.0）故答案为（2，0）.
【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用
对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型
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9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形 的 边在 轴上，顶点 坐标为 ，顶点 坐标
为 ，点 在 轴上，线段 轴，且点 坐标为 ，若菱形 沿 轴左右运动，连接 、
，则运动过程中，四边形 周长的最小值是________．
【答案】13+
【分析】由题意可知AD、EF是定值，要使四边形 周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用
“将军饮马”模型，根据点E关于AD的对称点为O，过点A作AF∥DF，当O，A，F 三点共线时，
1 1
AE+DF=OA+AF=OF，为所求线段和的最小值，再求四边形 周长的最小值．
1 1
【详解】∵点 坐标为 ，点 坐标为 ，∴OC＝4，OD＝3，
∴在Rt COD中，CD＝ 5，∵四边形 是菱形，∴AD＝CD＝5，
△
∵ 坐标为 ，点 在 轴上，线段 轴，∴EF＝8，
连接OA，过点A作AF∥DF交EF于点F，
1 1
则四边形ADFF 是平行四边形，FF=AD=5，∴EF=EF-FF=3，
1 1 1 1
∵点E，O关于AD对称，∴OA=AE，
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当O，A，F 三点共线时，AE+DF=OA+AF=OF，为所求线段和的最小值，
1 1 1
在Rt△OEF 中，OF＝ ，∴四边形 周长的最小值：
1 1
AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF＝5＋8＋ ＝13+ ．
1
【点睛】本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解
直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．
10．（2023·重庆·校考三模）如图，在边长为1的菱形ABCD中， ，将 沿射线BD的方
向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点C作直线 ，以直线l为对称轴作点 的对称点E，连接CE， ，AC，证明
，求得 ，根据三角形三边关系可知当点 ，C，E共线时， 的最小值
是 ．
【详解】解：如图，过点C作直线 ，以直线l为对称轴作点 的对称点E，连接CE， ，AC，
设AC与BD交于点O， 与直线l交于点F，则 ， ， ，
由 ， ，易得 ， ，
，由平移的性质可知 ， ，
， ， ， ， ，
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在 中， ， ， ， ，
在 中，由三角形的三边关系可得 ，
当点 ，C，E共线时， ，即 的最小值是 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，正确
的理解题意是解答本题的关键．
11．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为
x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分
线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
【答案】（1）（﹣2，2 ），（4，2 ）；（2）（2， ）；
【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；
（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最
小时，BP+PM+ME′的长度最小；
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2 ，∴A（﹣2，2 ），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2 ）；
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（2）如图1中，连接OP．
∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=
．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，
BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y= x，∴P（2， ）．故答案为（2， ）．
【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解
题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题．
12．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有 ， 两点．将直线 ：
向上平移 个单位长度得到直线 ，点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，连接 ，
， ，则折线 的长 的最小值为 ．
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【答案】
【分析】先证四边形 是平行四边形，可得 ，则 ，即当点 ，
点 ，点 三点共线时， 有最小值为 的长，即 有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点 沿 轴向下平移 个单位得到 ，以 为斜边，作等腰直角三角形 ，
则点 ，连接 ，
是等腰直角三角形， ， ，
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将直线 ： 向上平移 个单位长度得到直线 ， ， ，
， ， ，
， ， ， 四边形 是平行四边形，
， ，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值为 的长，即 有最小值，
点 ，点 ， ，
折线 的长 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函
数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
13．（广西2021年中考数学真题）如图，已知点 ， ，两点 ， 在抛物线 上，
向左或向右平移抛物线后， ， 的对应点分别为 ， ，当四边形 的周长最小时，抛物线的解
析式为 ．
【答案】 ．
【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、 三点共线时， 的值最小，再通过设直线 的解
析式并将三点坐标代入，当 时，求出a的值，最后将四边形周长与 时的周长进行比较，确定a
的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，由平移的性质可知： ,
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∴四边形 的周长为 ；
要使其周长最小，则应使 的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴ ， ，将 向左平移2个单位得到 ，则由平移的性质可知： ，
将 关于x轴的对称点记为点E，则 ，由轴对称性质可知， ,
∴ ，当B、E、 三点共线时， 的值最小，
设直线 的解析式为： ，∴ ，
当 时，∴ ∴ ，
将E点坐标代入解析式可得： ，解得： ，
此时 ，
此时四边形 的周长为 ；
当 时， ， ， ， ，
此时四边形 的周长为： ；
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∵ ，∴当 时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了 个单位，所以其解析式为： ；故答案为： ．
【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题
的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计
算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
14．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在 中，
，点D，E分别是 的中点．若点M，N分别是 和 上的动点，则
的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，
才能使从A到B的路径 最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河
岸的垂线，使 ， 为河宽，连接 ， 与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A
到B的路径 最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在
矩形 中， ．E、F分别在 上，且满足 ， ．若边长为10的正
方形 在线段 上运动，连接 ，当 取值最小时，求 的长．
【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14
【分析】（1）连接 ，过点A作 于点F，根据两点之间线段最短，可得当 时，
最短，此时点N与点F重合，即 的最小值为 的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据题意可得四边形 为平行四边形，从而得到 ，再根据“两点之间线段最短”，当
点 ，N，B三点共线时， 最短，即可求解；
（3）过点N分别作 ，分别交 于点H，G，连接 交 于点T，过点G作
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于点X，则 ， ，证明四边形 ，四边形 都是平行四边形，
可得 ，从而得到当点H，T，G三点共线时， 的
值最小，此时点N与点T重合，然后证明 ，可得 ，可求得 的长；过点Q分别作
，分别交 于点K，L，连接 交 于点S，当点K，S，L三点共线时，
的值最小，此时点N与点S重合，同理可求出 的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接 ，过点A作 于点F，∴ ，
当 时， 最短，此时点N与点F重合，即 的最小值为 的长，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为3；故答案为：3
（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得： ， ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
根据“两点之间线段最短”，当点 ，N，B三点共线时， 最短，
∵ 为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径 最短．
（3）如图，过点N分别作 ，分别交 于点H，G，连接 交 于点T，过点
G作 于点X，则 ， ，
根据题意得： ， ，
∴四边形 ，四边形 都是平行四边形，
∴ ，∴ ，
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即当点H，T，G三点共线时， 的值最小，此时点N与点T重合，
∵ ，∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，解得： ，
∴ ；
如图，过点Q分别作 ，分别交 于点K，L，连接 交 于点S，当点K，S，
L三点共线时， 的值最小，此时点N与点S重合，同理 ；
综上所述，当 取值最小时， 的长为38或14．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，两点
之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利
用类比思想解答是解题的关键．
15．（2023.广安九年级月考）如图，抛物线 ，经过点 ， ， 三
点． 求抛物线的解析式及顶点M的坐标； 连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B
重合），过点P作x轴的垂线PQ，若OQ=a，四边形ACPQ的面积为s，求a为何值时，面积s最大；
点N是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为 ，过点C作直线 轴，动点 在直线l
上，动点 在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时， 的和最小，并求出
和的最小值．
【答案】（1） ；M（1,4）
（2）当 ， 面积最大，最大为 .
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（３）
【分析】（1）抛物线 过 ， ， 可求得解析式；
（2）将 用含 的代数式表示，并配方成顶点式求出最大值；
（3）根据选址造桥模型，将顶点 向下平移三个单位得 ，当 在同一条直线上时，
取得最小值.
【详解】(1)∵抛物线 经过点 ， ， ,
∴ 解得 ∴ = ,顶点M的坐标为（1,4）
（2）连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ.设P点的
坐标为 ，如图所示.
∵P在直线MB上， ， ，设直线MB为
解得 直线MB的解析式为 ，P点坐标为
∵ ， ， ， ∴ ， ，
∵
整理
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∴即当 ， 面积最大，最大为 .
（3）将顶点 向下平移三个单位得 ，连接 交 轴于点 ，连接 ．如图所示，则
.
∵ ， ∴ 轴，且
∴ ，四边形 为平行四边形
∴ ,有图知 三点共线时， 取最小值.
设直线 的解析式为 ，将点 ，N
求得直线 的解析式为 ，当 时， ，即 ，即 ，
此时过点 作 轴交 延长线与点 ，
在 中， ， ，
∴ ,∴ ,即 ,
∴当 时， 的最小值为 .
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，求最大值将函数用顶点式表示，其中第三问根据选址造桥模型确
定M对应点的位置，当 在同一条直线上时， 取得最小值.进而求解.
16．（2023·陕西咸阳·校考一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距
离 ，点B到直线l的距离 ，A、B两点的水平距离 ，点P是直线l上的一个动点，则
的最小值是________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形 中， ， ，G是 的中点，线段 在边 上左
右滑动，若 ，求 的最小值；
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【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形 的空地，管理人员规划修两条小路 和
（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在 和 上分别选取点M、N，沿 、 和
修建地下水管，为了节约成本，要使得线段 、 与 之和最小．
已测出 ， ， ， ， ，管理人员的想法能否实现，
若能，请求出 的最小值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）10；（2） ；（3）能实现，最小值为 ．
【分析】（1）作点A关于直线l的对称点 ，连接 交直线l于P，则 的值最小，且 的
最小值 ，根据矩形的性质得到 ， ，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作G关于 的对称点 ，在 上截取 ，连接 ， ， ，则 ，根据
平行四边形的性质得到 ，根据三角形的三边关系得到 ，根据勾股定理
即可得到结论；
（3）作点P关于 、 的对称点E、F，连接 ， 分别交 、 于点O、H，则 ，
，连接 ，与 、 的交点即为点M、N的位置，连接 ， ，此时 ，
， 的长就是 的最小值，过点E作 交 的延长线于点G，根据勾股定
理即可得到结论．
【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点 ，连接 交直线l于P，则 的值最小，且
的最小值 ，过 作 于E，则 ， ，
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∴ ，∴ 即 的最小值是10；
（2）如图，作G关于 的对称点 ，在 上截取 ，
连接 ， ， ，则 ，
， ， 四边形 是平行四边形， ，
， ， ，G为 的中点，
， ，由勾股定理得 ，
，即 的最小值为： ；
（3）管理人员的想法能实现，
作点P关于 、 的对称点E、F，连接 ， 分别交 、 于点O、H， ，
，连接 ，与 、 的交点即为点M、N的位置，连接 ， ，此时 ， ，
的长就是 的最小值，过点E作 交 的延长线于点G，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
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， ， ， .
在 中， ， 的最小值为 .
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造
出直角三角形是解答此题的关键．
17．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点
， 的垂直平分线 与 轴交于点 ，与 交于点 ，连接 ．(1)如图1，求 的长；(2)如图2，
若点 是射线 上的动点，点 和点 是 轴上的两个动点，且 ，当 的面积为 时，求
的最小值。
【答案】(1) (2) 的最小值为
(3)存在以 为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点 的坐标为 或 或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的方法，令 ， ，即可求解；（2）根据题意可求出
的面积，再根据 的面积为 时，可求出点 的坐标，根据“造桥求最短路径的方法”即可求
解；
【详解】（1）解：∵直线 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点 ，
∴令 ，则 ；令 ，则 ；∴ ， ，∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，∴ ，设 ，则 ，
∴在 中， ，∴ ，
解得， ，即 ，∴ ．
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（2）解：已知 ， ， 是 的垂直平分线，
∴ ，即 ，且 ，∴ ，
∵ ， ，设 所在直线的解析式为 ，
∴ ，解得， ，∴ 所在直线的解析式为 ，
∵点 在直线 的图象上，∴设 ，∴ ，
∴ ，∴ ，整理得， ，
解得， ， ，∴ ， ，
∵点 是射线 上的动点， ，∴ 舍去，∴点 的坐标为 ，
∴当 时，如图所示，作点 关于 轴对称的点 ，将线段 向上平移至点 与点 重合，即
，此时点 三点共线，即四边形 是平行四边形，则
，此时 的值最小，
∴ ，∵ ，∴ ，
如上所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，且 ，
∴ ，则 ， ，
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∴在 中， ，则 ，
∴ 的值最小为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算方法，对称最段路
径的计算方法，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
18．（2023·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个
军营 ．他总是先去 营，再到河边饮马，之后，再巡查 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天
走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点 关于直线
的对称点 ，连结 与直线 交于点 ，连接 ，则 的和最小．请你在下列的阅读、理解、应
用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线 上另取任一点 ，连结 ， ， ，∵直线 是点
， 的对称轴，点 ， 在 上，
（1）∴ __________， _________，∴ ____________．在 中，∵
，∴ ，即 最小．
【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点 在直线同侧的问题转化为在直线
的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决
（其中点 为 与 的交点，即 ， ， 三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧
两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】（2）如图④，正方形 的边长为4， 为 的中点， 是 上一动点．求
的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点 与 关于直线 对称，连结
交 于点 ，则 的最小值就是线段 的长度，则 的最小值是__________．
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（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____ ．
（4）如图⑥，在边长为2的菱形 中， ，将 沿射线 的方向平移，得到 ，
分别连接 ， ， ，则 的最小值为____________．
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）17；（4）
【分析】（1）根据对称性即可求解；
（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED，则ED是 的最小值；
（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；
（4）分析知：当 与 垂直时， 值最小，再根据特殊角计算长度即可；
【详解】解：（1）根据对称性知： ，
故答案为： ， ， ；
（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED ∴ED是 的最小值
又∵正方形的边长为4，E是AB中点∴ ∴ 的最小值是 ；
（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为 的长度：
∵ ∴
∴
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（4）∵在边长为2的菱形ABCD中， ，将 沿射线 的方向平移，得到
∴ 当 与 垂直时， 值最小
∵ ∴四边形 是矩形，
∴ ∴
【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．
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