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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市朝阳外国语学校 2024~2025 学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题（共10题，共20分，每小题2分．）
1. 抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ）
A. 直线x＝﹣1 B. 直线x＝1 C. 直线x＝0 D. 直线y＝1
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线解析式可直接求得答案．
【详解】解：∵抛物线y=x2+1，
∴抛物线对称轴为直线x=0，即y轴，
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，
对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
2. 点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣1，2） D. （1，﹣2）
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答
案．
【详解】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），
故选：A．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3. 下列图案中，点 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点
对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点
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判断即可．
【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点 对称的是C，
故选：C．
4. 用配方法解方程 ，配方正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把常数项-4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．
【详解】解：把方程x2-2x-4=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=4+1，
配方得（x-1）2=5．
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆
半径为1，则AB的长为（ ）
A. 2 B. 2 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，易证 OAP≌△OBP，通过构建直角三角形，可解答．
【详解】解：连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，△
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∵OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OPA=∠OPB=90°，
∴△OAP≌△OBP，
∴在直角 OPA中，OA=2，OP=1，
△
∴AP= ,
∴AB=2 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查了切线、勾股定理的应用，本题综合性较强；掌握其定理、性质，才能熟练解答．
6. 将抛物线 向上平移 个单位后得到的抛物线恰好与 轴有一个交点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
【详解】解： 向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与 轴有一个交点，
∴解析式为 ，
∴a=2.
故选D．
【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
7. 已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论：①图象必经过点（﹣3，1）；②图象在第二，四象限内；③y随
x的增大而增大；④当x＞﹣1时，y＞3．其中错误的结论有（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质逐个判断即可．
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【详解】A. 把点(-3，1)代入 ，得：左边=右边,即反比例函数 图象必经过点（-3，1），故
本选项不符合题意；
B. 中的k=−3<0，即函数图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
C. 中的k=−3<0，在每个象限内，y随x的增大而增大，必须有条件“在每个象限内”故本选项符
合题意；
D. 在 中，
k=−2<0，每一象限内，y随x的增大而增大，若-13故本选项符合题意；
故选D.
【点睛】本题考查反比例函数的图像、性质，解题关键是它的增减性，当k>0时，图像的两个分支在一、
三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像的两个分支在二、四象限，在每一个象
限内，y随x的增大而增大.
8. 已知二次函数 的图象经过 ， 两点，则下列判断正确的是
（ ）
A. 可以找到一个实数 ，使得 B. 无论实数 取什么值，都有
C. 可以找到一个实数 ，使得 D. 无论实数 取什么值，都有
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为 ，
顶点坐标为 ，再分情况讨论，当 时，当 时， ， 的大小情况，即可解题．
【详解】解： 二次函数解析式为 ，
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二次函数开口向上，且对称轴为 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
故A、B错误，不符合题意；
当 时， ，
由二次函数对称性可知， ，
当 时， ，由二次函数对称性可知， ，不一定大于 ，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
9. 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，
经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度x/℃ … ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 …
植物每天高度的增长量y/
… 41 49 49 41 25 1 …
mm
由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量y是温度x的二次函数，那么下列三个结论：
的
①该植物在0℃时，每天高度 增长量最大；
②该植物在﹣6℃时，每天高度的增长量能保持在25mm左右；
③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长.
上述结论中，所有正确结论的序号是
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A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】（1）因为是二次函数，所以设y=ax2+bx+c（a≠0），然后选择x=-2、0、2三组数据，利用待定系
数法求二次函数解析式，把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；
【详解】(1)因为是二次函数,所以设y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵x=−2时，y=49，
x=0时，y=49，
x=2时，y=41，
分别代入解析式， ，解得 ,
∴,y关于x的函数关系式为；
∵y=−x2−2x+49=−(x+1)2+50，
A=-1<0,抛物线开口向上，
∴当x=−1时，y有最大值为50，
即当温度为−1℃时，这种作物每天高度增长量最大；
故①错误.
（2）把x= -6代入解析式y=−x2−2x+49得：y=25，
故②正确.
（3）把x= 6代入解析式y=−x2−2x+49得：y=1
把x= 7代入解析式y=−x2−2x+49得：y= -14<0,
故③正确.
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是化顶点式和代入求值.
10. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 与 之间的距离为
，双翼的弧 与弧 的长都为 ，且与闸机侧立面夹角 ．当双翼收起
时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作 ，过点B作 ，在 中，可
求得 ，同理可求得 ，再由弧长公式可求得 ，即可求解．
【详解】解：过点A作 ，过点B作 ，如图，
则 中， ，
∴ ，
中， ，
∴ ，
∵双翼的弧 与弧 的长都为 ， ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为 ，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ，
故选：D．
二、填空题（共10大题，共计30分，每小题3分．）
11. 写出一个以0和 为根的一元二次方程:_________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数的关系，两根和为 ，两根积为 ，根据此关系即可写出
方程．此题的答案不唯一，解题的关键是掌握一元二次方程中根与系数的关系．
【详解】解：依题意，两根和为 ，两根积为 ．
设 ，据题意得
，
，
一个以0， 为根的一元二次方程为 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
12. 若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac_____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．
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【答案】＜
【解析】
【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断
ac与0的关系．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＜0．
故答案为＜．
【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．常数项
c决定抛物线与y轴交点．
13. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据判别式的意义得出 ，解一元一次不等式即可得到答案．
【详解】解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与
有如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，
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③ ，方程没有实数根．
的
14. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态 轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮
船的轮子被水面截得的弦 长为8米，轮子的半径 为5米，则轮子的吃水深度 为______米．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，发现隐含条件 是解题的关键．由题意可
得 ，由垂径定理可得 ，再根据勾股定理求得 ，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：由题意可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为2．
15. 在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世
界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平
均增长率为x，依题意，可列方程为__________．
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【答案】
【解析】
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）²，2015年的新能源汽车保有量为45.1万辆， 2017
年的新能源汽车保有量为172.9万辆，即可列出方程．
【详解】解：根据题意2015年的新能源汽车保有量为45.1万辆， 2017年的新能源汽车保有量为172.9万
辆，
则 ；
故答案为 .
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平
均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，
可归结为a（1-x）2=b（a＞b）．
16. 如图，A，B两点在反比例函数 的图像上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形
面积为1，则阴影部分的面积之和为______．
【答案】6
【解析】
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【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数 图像中任取一点，过这一个点向x轴
和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂
线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．根据反比例函数解析式中k
的几何意义可知 ，因为 ，则 ，然后求和即
可解答．
【详解】解：∵A，B两点在反比例函数 的图像上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积之和为 ．
故答案为6．
17. 在同一直角坐标系xOy中，二次函数 与反比例函数 的图象如图所示，如果两个函
数图象上有三个不同的点A（ ，m），B（ ，m），C（ ，m），其中m为常数，令
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，那么 的值为___________（用含m的代数式表示）.
【答案】
【解析】
【分析】方法一：令二次函数中y=m，即x2=m，解得x= 或x= - ；
令反比例函数中y=m，即 =m，解得x= ，将x的三个值相加，得 = +(- )+ ．
方法二：
∵点A、B在二次函数 图像上，点C在反比例函数 的图像上，因为A、B两点纵坐标
相同，则A、B关于y轴对称，则x+x=0,因为点C（ ，m）在反比例函数图像上，则x=
1 2 3
=
故答案为 .
【详解】∵点A、B在二次函数 图像上，点C在反比例函数 的图像上，因为A、B两
点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x+x=0,因为点C（ ，m）在反比例函数图像上，则x=
1 2 3
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=
综上所述,答案: .
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质．正确代入是解答关键.
18. 如图，⊙O的动弦 ， 相交于点 ，且 ， ．在①
，② ，③ 中，一定成立的是____________（填序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】根据AB=CD证明 ,得∠ABC=∠BCD,再根据圆周角定理及推论即可得出结论.
【详解】解: ∵AB=CD,
∴ ,
∴ ,
即 ,
∴∠ABC=∠BCD= ∠BOD,
∴∠BED=∠ABC+∠BCD=2× ∠BOD=∠BOD,
∵ ,
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∴ ,
故①正确;
②无法证明;
∵∠ABC= ∠BOD,
∴∠ABC= ,
故③成立,
综上,答案为①③.
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．
19. 在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 是第一象限内任意一点，连接 ， ．若
， ，则我们把 叫做点 的“角坐标”．
（1）点 的“角坐标”为______;
（2）若点 到 轴的距离为3，则 的最小值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的相关性质，明确圆的相关性质、三角形的内角和及外角性质等知识点是
解题的关键．
（1）过 作 轴于 ，由 ， 可得 ，进一步得到
，再根据“角坐标”定义求解即可；
（2）由（1）可得 ，则 过 ， ， 三点，且 ，再由三角形内
角和可得 ，要使得 取得最小值，则需 取得最大值．根据圆周角和
三角形外角确定相切时角度最大即可得答案．
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【详解】解：（1）过 作 轴于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴点 的“角坐标”为 ；
故答案为： ；
（2）由（1）可得 ，
∴ 过 ， ， 三点，且 ，
∵ ，
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∴ ，
∵直线 与 轴平行，
∴ ，
∵ ，
∴直线 与 相切于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴要使得 取得最小值，则需 取得最大值．
在直线 上任取一点不同于点P的一点 ，连接 交 于点Q，连接 ， ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
20. 抛物线 （a，b，c是常数， ）经过 ， 两点，且 ．下列四个
结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点 ， 在抛物线上，若 ， ，总有 ，则 ．
其中正确的是__________（填写序号）．
【答案】②③④
【解析】
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【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴 ，即可判断①，根据
(−1,1)， 两点之间的距离大于 ，即可判断②，根据抛物线经过(−1,1)得出 ，代入顶点纵
坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴 ，解不等式，即
可求解．
【详解】解：∵ （a，b，c是常数， ）经过(−1,1)， 两点，且 ．
∴对称轴为直线 ， ，
∵ ，
∴ ，故①错误，
∵
∴ ，即(−1,1)， 两点之间的距离大于
又∵
∴ 时，
∴若 ，则 ，故②正确；
③由①可得 ，
∴ ，即 ，
当 时，抛物线解析式为
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设顶点纵坐标为
∵抛物线 （a，b，c是常数， ）经过(−1,1)，
∴
∴
∴
∵ ， ，对称轴为直线 ，
∴当 时， 取得最大值为 ，而 ，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
④∵ ，抛物线开口向下，点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线上， ， ，总有
1 1 2 2
，
又 ，
∴点A(x ,y )离 较远，
1 1
∴对称轴
解得： ，故④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题（共8大题，本题共50分，第21～22题，每小5分；第23～25小题，每小题6
分；第26～27小题，每小题7分；第28小题，8分．）
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21. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】先移项，然后提公因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
【详解】解： ，
，
，
或 ，
， ．
【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程 的知识，熟练掌握因式分解法把一元二次方程转化为两个
一元一次方程的步骤，此题难度不大．
22. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图， ．
求作：直线BD，使得 ．
作法：如图，
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①分别作线段AC，BC的垂直平分线 ， ，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交 于点D；
④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ______．
∴ （______）（填推理的依据）．
∴ ．
【答案】（1）作图见解析；（2） 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；
（2）由作图可得 ，证明 ，利用圆周角定理可得 ，从而可得答案.
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【详解】解：（1）如图，直线BD就是所求作的直线
（2）证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ．
∴ （在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∴ ．
故答案为： 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握
“圆周角定理”是理解作图的关键.
23. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 的一个交点是 ．
（1）求 和 的值；
（2）设点 是双曲线 上一点，直线 与 轴交于点 ．若 ，结合图象，直接写出点
的坐标．
【答案】（1） ， ．（2）满足条件的点 坐标为 或 ．
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【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形①当点B在第四象限时，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，由AE∥PF，得到
，推出BF=1，②当点B在第一象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，由AE∥BF，得
，推出BF=1，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）把点 的再把代入 得到 ，
再把 的再把代入 ， ，解得 ，
所以 ， ．
（2）①当点 在第三象限时，如图1，作 轴于 ， 轴于 ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当点 在第一象限时，如图2，作 轴于 ， 轴于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，满足条件的点 坐标为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型．
24. 如图，在 中， ，以 为直径作 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于
点 ，交 的延长线于点 ．
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（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到 ，进而得到 ，则 ，然后根
据切线的判定定理可得结论；
（2）先根据圆周角定理得到 ，再根据等腰三角形的性质得到 ，进而利用三角形的
外角性质求得 ，进而证得 ，则 ，然后解直角三角形求得 即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又 为 的半径，
∴ 与 相切；
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【小问2详解】
解：∵ 为 直径，
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、三角形的
外角性质、解直角三角形等知识，能够熟练运用相关知识求解是解答的关键．
25. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形
如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用
信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平
面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ．其中，当火箭运行的水平距离为
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时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为 ．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，
一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）①将 代入即可求解；②将 变为 ，即可确定顶点坐标
得出 ，进而求得当 时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为 ，求得 ，即可求解．
【小问1详解】
解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
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∴抛物线 和直线 均经过点
∴ ，
解得 ， ．
②由①知， ，
∴
∴最大值
当 时，
则
解得 ，
又∵ 时，
∴当 时，
则
解得
∴这两个位置之间的距离 ．
【小问2详解】
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解：当水平距离超过 时，
火箭第二级的引发点为 ，
将 ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴ ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，设该抛物线的对称轴为直线
．
（1）求t的值；
（2）已知 ， 是该抛物线上的任意两点，对于 ， ，
都有 ，求m的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数 的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，
（2）根据题意判断出当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；从而分为①当
时，②当 时，③当 时，④当 时，⑤当 时，⑥当
时，六种情况解答即可；
【小问1详解】
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解： 点 在抛物线 上，
∴对称轴为 ．
【小问2详解】
∵ ，
当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；
①当 时，
∵ ．
∴ ．
∴ ，符合题意；
②当 时， ．
当 时，
∵ ．
∴ ．
∴ ．
当 时，设 关于抛物线对称轴 的对称点为 ，
则 ．
∴ ．
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∵ ，
∴ ．
∵ ，
当 时，符合题意；
③当 时， ，
令 ，则 ，不符合题意；
④当 时， ，
令 ，则 ，
，不符合题意；
⑤当 时， ．
令 ，则 ．
，不符合题意；
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⑥当 时， ，
∴ ，不符合题意；
综上所述，m的取值范围是
27. 如图，在三角形 中， ， ，点 为 内一点，连接 ， ， ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
（1）用等式表示 与 的数量关系，并证明；
（2）当 时，
①直接写出 的度数为________；
②若 为 的中点，连接 ，请用等式表示 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1） ，证明见解析
（2）① ，② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过证明 ，即可得出结论；
（2）①根据三角形的内角和得出 ， ，即可得出
，再根据 ，即可得出结论；②延长 至点Q，使 ，
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连接 ，先证明 ，得出 ， ，再证明 ，
得出 ，再根据等腰直角三角形边之间的关系，即可进行解答．
【小问1详解】
解： ，证明过程如下：
∵ 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
①在 中∵ ，
∴ ，
在 中∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
②连接 ，延长 至点Q，使 ，连接 ，
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∵点M为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
由（1）可得 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，整理得： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的综合应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质，三角形
的内角和，等腰直角三角形的性质．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点A和线段 ，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形
，且 ，则称线段 是点A的“ 相关线段”．例如，图1中线段 是点A的
“ -相关线段”．
（1）已知点A的坐标是 ．
①在图2中画出点A的“ -相关线段” ，并直接写出点M和点N的坐标；
②若点A的“ -相关线段”经过点 ，求 的值；
（2）若存在 使得点P的“ -相关线段”和“ -相关线段”都经过点 ，记 ，
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直接写出t的取值范围．
【答案】（1）① 作图见解析；点M的坐标是 ，点N的坐标是 ；② 的值为 或
；（2） ．
【解析】
【分析】（1）①根据“ α− 相关线段”的定义求解；
②由题意点M必在直线x=√3上，记MH⊥x轴于H，则可得MH=1，∠MOH=30°，然后分点M在x轴上方
和点M在x轴下方两种情况分别求出α的值即可；
（2）根据题意分04三种情况讨论．
【详解】（1）①如图， 即为所求．
过点M作BM⊥x轴于点B，
∵四边形AOMN为菱形，
∴AO∥MN，AO=MO=MN，
∵点A在y轴上，
∴AO⊥x轴，
∴MN⊥x轴，即N、M、B三点共线，
∵∠AOM=30°，
∴∠MOB=90°-30°=60°，
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在RT△MOB中，BO= MO=1，MB= ，
∴点M的坐标是 ，点N的坐标是 ．
②解：∵点A的“ -相关线段” 经过点 ，
∴点M必在直线 上．
记直线 与x轴交于点 ，
∵ ，
∴ ， ．
分两种情况：
a）如图，当点M在x轴上方时，点M恰为 ，符合题意，此时 ；
b）如图，当点M在x轴下方时，点M为 ，由 知点N为 ，也符合题意，此时
．
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综上， 的值为 或 ．
（2）当04时,只有一种情况使P的“α-相关线段”或“β-相关线段”过(0，4)，此时(0，4)在线段OM上，
∴不符合题意
综上所述，
【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、菱形的性质是解题关键．
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