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专题 27 最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之
间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老
人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不
归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V
2
C
∠A的对边
sinA=
斜边
知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按
下列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一
个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点P作 于点Q，过点C作 于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求
出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则 ，当C、
P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，利用含 的直角三角的性
质和勾股定理求出 ， ，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作 于点Q，过点C作 于点H，
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由题意知： 平分 ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用
等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
例2．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形 中，对角线 交于点O， ，点
M在线段 上，且 ．点P为线段 上的一个动点．
（1） °；（2） 的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】（1）由矩形的性质得到 ，又由 得到 是等边三角
形，则 ，即可得到答案；（2）过点P作 于点E，过点M作 于点F，证明
，进一求解 即可得到答案．
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【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
（2）过点P作 于点E，过点M作 于点F，
在 中，由（1）知： ，∴ ，∴ ，
在矩形 中， ，∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ 的最小值为2，故答案为：2．
【点睛】此题考查了矩形的性质、含 的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌
握矩形的性质、含 的直角三角形的性质是解题的关键．
例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形 中， ， ，对角线 、 相交
于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】过 作 ，由菱形 ， ，得到 为 平分线，求出 ，
在 中，利用 角所对的直角边等于斜边的一半，得到 ，故 ，求
出 的最小值即为所求最小值，当 、 、 三点共线时最小，求出即可．
【详解】解：过 作 ， 菱形 ， ，
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， ，即 为等边三角形， ，
在 中， ， ， 当 、 、 三点共线时，取得最小值，
， ， ，
在 中， ，则 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是
解本题的关键．
例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形 中， 是边 的中点， 是对角线 上
的动点，则 的最小值为 ___________．
【答案】0
【分析】作 于 ，可得出 ，从而得 的最小值，将 变形为
，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作 于 ，
∵四边形 是正方形， ， ， 的最小值为0，
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∵ ，∴ 的最小值为0，故答案为：0．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．
例5．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B作
于点E，点P为线段 上一动点（点P不与B，E重合），则 的最小值为 ．
【答案】6
【分析】过点P作 ，连接 并延长交 于点F，连接 ，根据等边三角形的性质和圆内接三
角形的性质得到 ， ，然后利用含 角直角三角形的性质得到 ，进而求
出 ，然后利用 代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作 ，连接 并延长交 于点F，连接
∵ 是等边三角形， ∴
∵ 是等边三角形 的外接圆，其半径为4∴ ， ，
∴ ∴
∵ ∴ ∴
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∵ ， ∴ ∴
∴ 的最小值为 的长度∵ 是等边三角形， ，
∴ ∴ 的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含 角直角三角形的性质等知识，解题
的关键是熟练掌握以上知识点．
例6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴
交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点 在y轴上，连接 ，则 的
最小值是 ．
【答案】
【分析】过 作 ，过 作 ．再由 得 ，根据垂线段最短
可知， 的最小值为 ，求出 即可．
【详解】解：连接 ，过 作 ，过 作 ，
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令 ，即 ，解得 或1， ， ，
， ， ， ．
，根据垂线段最短可知， 的最小值为 ，
， ， ，
的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解
题的关键是将求 的最小值转化为求 的最小值．属于中考选择题中的压轴题．
例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知 中， ，则 的最大值为
．
【答案】
【分析】过点C作 ，垂足为D，取 ，即可说明 是等腰直角三角形，求出
，进一步求出 ，继而将 转化为 ，推出点D在以 为直
径的圆上，从而可知当 为等腰直角三角形时， 最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作 ，垂足为D，取 ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
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∴ ，
∵ ，而 一定，
∴当 的面积最大时， 最大，∵ ，∴点D在以 为直径的圆上，
∴当D平分 时，点D到 的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时 ，则 为等腰直角三角形，∴ ，故答案为： ．
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，
解题的关键是添加辅助线，将最值转化为 的长．
例8．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是
线段AB上一动点，点H是直线 上的一动点，动点 ，连接 ．
当 取最小值时， 的最小值是 ．
【答案】
【分析】作出点 ，作 于点D，交x轴于点F，此时 的最小值为 的长，利用解
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直角三角形求得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作
轴于点G，此时 的最小值是 的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴ ， ，
作点B关于x轴的对称点 ，把点 向右平移3个单位得到 ，
作 于点D，交x轴于点F，过点 作 交x轴于点E，则四边形 是平行四边形，
此时， ，∴ 有最小值，作 轴于点P，
则 ， ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，则 ，设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ，
联立， ，解得 ，即 ；过点D作 轴于点G，
直线 与x轴的交点为 ，则 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 的最小值是 ，故答案为： ．
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【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣ x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．
（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当 PDF
△
的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣ GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣ GE的最
小值；
【答案】（1）y＝ x+1；（2）点G（ ， ），最小值为 ；
【分析】（1）令- x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC
的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为
求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG- GE的最小值，可将不共线的线
段转换为共线的线段长度．
【详解】解：（1）令﹣ x2+x+4＝0，解得 x＝﹣2，x＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），
1 2
令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D为AC的中点，∴D（2，2），
设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D ，
，解得 ，∴直线BD的解析式为y＝ x+1．
（2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H，
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设点P的坐标为（t，﹣ t2+t+4），则点H为（t， t+1），
∴PH＝﹣ t2+t+4﹣（ t+1）＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
当t＝ 时，PH最大，此时点P为（ ， ），当PH最大时， PDF的面积也最大．
△
∵直线BD的解析式为y＝ x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1），
在Rt BFO中，根据勾股定理，BF＝ ，∴sin∠FBO＝
△
过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M，
∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG•sin∠MEG＝ EG，∴PG﹣ GE＝PG﹣MG，
当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM，
∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合，
令﹣ x2+x+4＝ x+1，解得x＝3，x＝﹣2，∴点E（3， ），∴PM＝ ﹣ ＝ ，∴点G（ ，
1 2
），
∴点G（ ， ），PG﹣ GE的最小值为 ．
【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强．
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课后专项训练
1．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ， 为 上一动
点，则 的最小值为
A．4 B．5 C． D．
解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 ．
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四边形 是菱形， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， 的最小值为4，故选： ．
2．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，点
是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点P不在第二象限），连
接 ，求得 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的
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坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当
点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所
示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先
求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到 ，则当G、P、F三点共线时，
有最小值，即 有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．
【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，
∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴ ，∴点D的坐标为 ；
∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，
当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，
∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，
∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为 ，
∴ ，∴ ，∴直线PD的解析式为 ；
如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与
x轴的交点为H，
∴点H的坐标为 ，∴ ，∴∠OCH=30°，∴ ，由轴对称的性质可
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知AP=GP，∴ ，
∴当G、P、F三点共线时， 有最小值，即 有最小值，
∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，
∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为 ，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60 ，∴△ACG是等边三角形，
°
∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，∴由勾股定理得 ，
∴当点P运动到H点时， 有最小值，即 有最小值，最小值即为OG的长，
∴ 的最小值为 ，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴
对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．
3．（2023.重庆九年级期中）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上一动点，
则 的最小值为
A． B．6 C． D．3
解：过点 作射线 ，使 ，再过动点 作 ，垂足为点 ，连接 ，如图所示：
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在 中， ， ， ，
当 ， ， 在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，
此时， ， 是等边三角形， ，
在 中， ， ， ， ， ，
， ， 的最小值为3，故选： ．
4．（2022·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、
C重合），连接BP，则 AP+PB的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：如图，
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在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，
∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝ AP
当BP⊥AE时，则 AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长，
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cos30°＝ ．
∴ AP+PB的最小值是 ．故选：B．
5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分
别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt ABC补成等边 ABP，过F作BP的垂
△ △
线FH，故GF+ FB＝GF+FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+ FB最短．又由于点G为动点，易证
点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度．
【详解】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过
点O作OQ⊥BP于点Q，
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∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形∴∠FBH＝30°∴Rt FHB中，FH＝ FB
△
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+ FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G∴∠AGC＝90°∵O为AC中点∴OA＝OC＝OG＝ AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
△
∴OQ＝ ∴GH最小值为 故选C．
【点睛】本题考查了含30°直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短
路径．解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再计算．
6．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， . ，
分别是边 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
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【分析】作 ，连接 ，过B点作 的延长线与G点．根据相似三角形的性质可
得 ，因此 ，根据两点之间线段最短可知当B、E、F三点共线
时， ，此时 的值最小，为BF．再证四边形 是矩形，由矩形的性质可知
， ，在 中根据勾股定理可求出 的长，即可知 的最小值．
【详解】如图，作 ，连接 ，过B点作 的延长线与G点，
，且 ， ，
， ．
，∴当B、E、F三点共线时， ，此时 的值最小，为 ．
， ．又 ， ，∴四边形 是矩形，
， ， ，
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相
似三角形是解题的关键．
7．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰 中， ， ． ，连接
，在 的右侧做等腰 ，其中 ， ，连接 E，则 的最小值为
(用含 的代数式表示)．
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【答案】
【分析】过点 作 交 延长线于 ，过点 作 于 ，作 的垂直平分线交 于 ，
连接 ，利用 证明 ，可得 ，进而可得 ，则由含 度角的直角
三角形的性质得到 ， ，故当 、 、 三点共线时， 为
最小值，当 、 、 三点共线时， ，即 ，可得 ，再运用解直角三角
形即可求得答案．
【详解】解：如图，过点 作 交 延长线于 ，过点 作 于 ，作 的垂直平分线
交 于 ，连接 ，
， ， ， ， ，
，
， ，
， ， ，
在 中， ， ， ， ，
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， 当 、 、 三点共线时， 为最小值，
当 、 、 三点共线时， ， ，
， 与 重合， ， ，
， ， ，
是等腰三角形， ，
的垂直平分线交 于 ， ， ，
，在 中， ，
即 的最小值 故答案为： ．
【点睛】本题字要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角用的推质，勾服定
理，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形 中， ，对角线 、 相交
于点O， ．点E是 的中点，若点F是对角线 上一点，则 的最小值是
．
【答案】
【分析】过点F作 于点G，证明 为等边三角形，推出 ，则
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， ，进而得出 ，当点E、F、G
在同一条直线上时， 取最小值，证明 ，根据相似三角形对应边成比例，即可求
解．
【详解】解：过点F作 于点G，如图，
∵四边形 为矩形，∴ ， ，∵ ，∴ 为等边三角形，
∴ ， ，∴ ， ．
∵ ，∴ ， ，∴ ，
当点E、F、G在同一条直线上时， 取最小值，
∵点E是 的中点，∴ ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，解得： ，
综上： 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性
质，解题的关键是正确作出辅助线，找出 ．
9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点E，F分别在边
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上，且 ，沿直线 翻折，点A的对应点 恰好落在对角线 上，点B的对应点为 ，
点M为线段 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】作 于H，作 于L，首先利用勾股定理得 的长，再根据 ，求
出 的长，再利用 ，得 ，则当E、M、L三点共线时， 最小，最
小值为 的长，进而解决问题．
【详解】解：如图，作 于H，作 于L，
在矩形 中， ， ， ， ， ，
∵沿直线 翻折，点A的对应点 恰好落在对角线 上，∴ ， ，∴
，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴
，
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∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴当E、M、L三点共线时， 最小，最小值为 的长，
∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段
最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键．
10．（2023·新疆·九年级期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE
是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则OD CD
的最小值为 _____．
【答案】
【分析】作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可
得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH= DC，从而有 CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短
可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即 CD+OD）最小，后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问
题．
【详解】解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，
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∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，则∠AOF=∠COF= ∠AOC= （180°-60°）=60°．
∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，则DH = DC，∴ CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得，
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即 CD+OD）最小，
∵OF=OA=5，∴ ，∴ 即 CD+OD的最小值为 ．故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线
段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把 CD+OD转化为
DH+FD是解题的关键．
11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y
轴上，点P在x轴上运动，则 PC＋PB的最小值为___．
【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝
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∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD PB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，
PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，∴PD PB，∴ PC+PB （PC PB） （PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，
∴CD AC＝2 ，即PC+PD的最小值为 ，∴ PC+PB的最小值为 4，故答案为：4．
12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形 中， ， ，点 是对角线 上的动
点，连接 ，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】直接利用已知得出 ，再将原式变形，进而得出 最小值，进而得出答案．
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【详解】过点A作 ，过点D作 于点H，交 于点 ，
∵在矩形 中， ，∴ ，∴ ，则 ，
∵ ，
此时 最小，∴ 的最小值是 ．故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．
13．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点 是对角线AC上的一
动点，且∠ABC=120°，则( )的最小值是____________．
【答案】
【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小，根据菱形性
质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论．
【详解】解：如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°
∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE
∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小
∵菱形的边长为4∴AB=4，AE=2∴DE=
∴2DE= ∴PA+PB+PD最小值为 故答案为：
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【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键．
14．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD
上的一动点，则 的最小值等于________．
【答案】
【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此 ，由此可知当B、P、Q三点共线
时 有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.
【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD•sin∠QDP= PD，∴ =BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时 有最小值，
∴ 的最小值为 ，故答案为：3 .
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用
相关知识是解题的关键.
15．（2023·成都市·九年级课时练习）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方
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形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
思考探索(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折
痕为EC．①点B'在以点E为圆心， 的长为半径的圆上；②B'M=______；
拓展延伸(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方
形ABCD内部或边上，连接AB'．①△ABB'面积的最大值为______；
②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．
【答案】(1)①BE；② (2)①3；②B'C+2PQ的最小值为 ．
【分析】（1）①由折叠的性质知，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，②由折叠的性质得出
BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND= AB= ，∠B=∠EB′C，进而求解；
（2）①△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，故当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，进而求
解；②证明PQ是△AEB′的中位线，故E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，即可求解．
（1）解：由折叠的性质知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND= AB= ，∠B=∠EB′C，
①由题意得，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②MB′=MN-NB′=MN- ；故答案为：①BE；② ；
（2）解：①∵AB=3AE=3，∴AE=1，BE=2，
∵点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，如图1，
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∴△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，∴当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，
∴△ABB'面积= ×AB×B′E= ×3×2=3，故答案为：3；
②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B′E，∵P是AE的中点，∴PQ是△AEB′的中位线，如图2，
∴PQ= B′E，即B'C+2PQ=B′C+B′E，∴E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，
则CE= ，即B'C+2PQ的最小值为 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形的中位
线定理，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线 经过点
，与x轴交于点 ，点C为 中点，反比例函数 刚好经过点C．将直线 绕点A
沿顺时针方向旋转 得直线 ，直线 与x轴交于点D．
(1)求反比例函数解析式；
(2)如图2，点Q为射线以上一动点，当 取最小值时，求 的面积；
(3)将 沿射线 方向进行平移，得到 且 刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数
上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件
的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
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【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) 的面积为
(3)N点坐标为 ， 或 ，过程见解析
【分析】（1）过点A作 于点E，过点C作 于点F，根据平行线分线段定理可得
，从而求得 ，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）由锐角三角函数求得 ，再由三角形内角和求得 ，从而求得 ，根
据等腰三角形的性质可得 ，从而求得 ，作直线 ，可得 ，
过点Q作 于点H，则 ，可得当D，Q，H三点共线时， 取最小值，
此时Q与A重合，再利用 求解即可；
（3）由平移的性质可知 ，设 ， ，分类讨论：当 为对角线、 为对角
线或 为对角线时，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：过点A作 于点E，过点C作 于点F，
∵ ，∴ ，点C为 中点，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴反比例函数解析式为 ；
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（2）解：∵ ， ，∴ ，
∵将直线 顺时针旋转 得到直线 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
作直线 ，∴ ，过点Q作 于点H，∴ ，
∴当D，Q，H三点共线时， 取最小值，此时Q与A重合，
∴ ，∴ 的面积为 ；
（3）解：N点坐标为 ， 或 ，理由如下：由题可知 ， ，
设 ， ，当 为对角线时， ，解得： ，∴ ，
当 为对角线时，如图，∵ ，解得 ，∴ ，
当 为对角线时，如图， ，解得 ，∴ ，
综上，N点坐标为 ， 或 ．
【点睛】本题考查平行线分线段定理、用待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、平
行四边形的性质、旋转的性质及平移的性质、中点坐标公式，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
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1 1
y x2 mxn y x3
17．（2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线 2 与直线 2 交于A，B两点，交x轴于
D，C两点，连接AC ，BC，已知 A(0,3) ， C(3,0) ．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（Ⅱ）
在（Ⅰ）条件下：（1）P为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作 PQPA 交 y 轴于点 Q ，问：
是否存在点P使得以A，P， Q 为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐
标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC 上一点（不含端点），连接DE，一动点M 从点D出
发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒 2个单位的速度运动到A后停止，
当点E的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？
1
y x2 mxn
解：（Ⅰ）把 A(0,3) ， C(3,0) 代入 2 ，得
n3 5
m
1 2 1 5
2 9mxn0 ，解得： n3 ．抛物线的解析式为 y 2 x2 2 x3
1
y x3
2
1 5
x0 x4
y x2 x3
联立 2 2 ，解得：y3 或y1 ，点B的坐标为 (4,1) ．
如图1． ∵C(3,0) ， B(4,1) ， A(0,3) ，AB2 20，BC2 2，AC2 18，
BC 2 1
tanBAC
BC2 AC2 AB2 ，ABC是直角三角形，ACB90， AC 3 2 3；
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（Ⅱ）方法一：（1）存在点P，使得以A，P， Q 为顶点的三角形与ACB相似．
过点P作 PG y 轴于G，则PGA90．
设点P的横坐标为x，由P在 y 轴右侧可得x0，则PGx．
∵ PQPA ，ACB90， APQACB90 ．
若点G在点A的下方，①如图2①，当 PAQCAB 时，则 PAQ∽CAB ．
∵PGAACB90， PAQCAB ，
PG BC 1
PGA∽BCA， AG AC 3．AG3PG3x．
1 5
y x2 x3
则 P(x,33x) ．把 P(x,33x) 代入 2 2 ，得
1 5
x2 x333x
2 2 ，整理得：x2 x0解得： x 1 0 （舍去）， x 2 1 （舍去）．
PAQCBA PAQ∽CBA
②如图2②，当 时，则 ．
1 1 1
AG PG x P(x,3 x)
同理可得： 3 3 ，则 3 ，
1 1 5 1 5 1
P(x,3 x) y x2 x3 x2 x33 x
把 3 代入 2 2 ，得2 2 3 ，
13 13 13 14
x2 x0 x P( )
整理得： 3 解得： x 1 0 （舍去）， 2 3 ， 3 ， 9 ；
若点G在点A的上方，①当 PAQCAB 时，则 PAQ∽CAB ，同理可得：点P的坐标为 (11,36) ．
17 44
P( )
②当 PAQCBA 时，则 PAQ∽CBA ．同理可得：点P的坐标为 3 ， 9 ．
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13 14 17 44
( ) ( )
综上所述：满足条件的点P的坐标为 (11,36) 、 3 ， 9 、 3 ， 9 ；
AP HP
APQ AQGH AHP∽QGP PQ QG
方法二：作 的“外接矩形” ，易证 ， ，
AP HP BC 1 AP HP AC
3
∵以A，P， Q 为顶点的三角形与ACB相似， PQ QG AC 3 或 PQ QG BC ，
P(2t,2t2 5t3) A(0,3) H(2t,3)
设 ， ， ，
HP 1 32t2 5t3 1 13 17
| | 2t 2t
① QG 3 ， 2t 3， 1 3 ， 2 3 ，
HP 32t2 5t3
3 | |3
② QG ， 2t 2t 1 11 ， 2t 2 1 ，（舍 ) ，
13 14 17 44
( ) ( )
满足题意的点P的坐标为 (11,36) 、 3 ， 9 、 3 ， 9 ；
（2）方法一：过点E作 EN y 轴于N，如图3．
2
EN AEsin45 AE
在RtANE中， 2 ，即AE 2EN ，
DE EA
DEEN
点M 在整个运动中所用的时间为 1 2 ．
作点D关于AC 的对称点D，连接DE ，
则有DE DE，DC DC，DCADCA45，
DCD90，DEEN DEEN ．根据两点之间线段最短可得：
当D、E、N三点共线时，DEEN DEEN 最小．
此时，∵DCDDNONOC 90，四边形OCDN 是矩形，
1 5
y x2 x3
NDOC 3，ON DC DC．对于 2 2 ，
1 5
x2 x30
当 y0 时，有2 2 ，解得： x 1 2 ， x 2 3 ． D(2,0) ，OD2，
ON DC OCOD321，NE AN AOON 312，点E的坐标为 (2,1) ．
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方法二：作点D关于AC 的对称点D，DD交AC 于点M ，显然DE DE，
作 DN y 轴，垂足为N，交直线AC 于点E，如图4，
2
EN AEsin45 AE
在RtANE中， 2 ，即AE 2EN ，
当D、E、N三点共线时，DEEN DEEN 最小，
∵ A(0,3) C(3,0) l :yx3 M(m,m3) D(2,0)
， ， AC ， ， ，
m3 5 5 1
1 1 m M( )
∵ DM AC， K DM K AC 1 ， m2 ， 2， 2 ，2 ，
∵ M 为DD的中点， D(3,1) ， ∵ E Y D Y 1 ， E(2,1) ．
方法三：如图，5，过A作射线AF //x轴，过D作射线 DF //y 轴，DF与AC 交于点E．
∵ A(0,3) ， C(3,0) ， l AC :yx3 ．∵OAOC，AOC 90，ACO45，
AE
EF AEsin45
∵ AF //OC，FAE 45． 2 ．
当且仅当AF DF 时，DEEF 取得最小值，点M 在整个运动中用时最少为：
DE AE
t DEEF
1 2 ，
1 5
y x2 x3
∵抛物线的解析式为 2 2 ，且 C(3,0) ，可求得D点坐标为 (2,0)
则E点横坐标为2，将x2代入 l AC :yx3 ，得 y1 ．所以 E(2,1) ．
18．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
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(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否
也最小？如果是，求CE+ CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)①四边形ABEF的面积为 ；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN= ，设BE= ，
则EN= ，从而得到EM=MN-EN= ，再由BE= DF，可得DF= ，从而得到四边形ABEF的
面积s= S ABD - S DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到
△ △
BE=CE= BO= ，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，
CF和CE分别达到最小值；再由 ，可得当 ，即BE= 时， s达到最小值，
从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
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∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°= = ，∴BD=2BO= ；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD= ；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN= BE
∵ ，∴MN= ，设BE= ，则EN= ，∴EM=MN-EN= ，
∵S ABCD= AD▪MN= ，∴S ABD= S ABCD= ，
菱形 菱形
△
∵BE= DF，∴DF= ，∴S DEF= DF ▪EM= = ，
△
记四边形ABEF的面积为s，∴s= S ABD - S DEF = -（ ） ，
△ △
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∵点E在BD上，且不在端点，∴0
