文档内容
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.
1．若集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i是虚数单位 )，则 =
A．3-2i B．3+2i C．2+3i D．2-3i
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B． C． D．
4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2
个球，所
取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为
A．1 B. C. D.
5．平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是
A． 或 B. 或
C. 或 D. 或
6．若变量x，y满足约束条件 则 的最小值为
A． B. 6 C. D. 4
7．已知双曲线C： 的离心率e= ，且其右焦点F ( 5 , 0 )，则双曲线C的方
2
程为 （ ）
A． B. C. D.
8．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值
A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3
二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9-13题）
9．在 的展开式中，x的系数为 。
第1页 | 共15页10．在等差数列{ }中，若 ，则 = 。
11．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.若 a = ，sinB= ，C= ，则 b =
。
12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了
条毕业留言。（用数字作答）
13．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写
了 条毕业留言。（用数字做答）
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为 ，点A的
极坐标为 A( , )，则点A到直线l的距离为 。
15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切
点为C，
BC=1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD= 。
C B
D
O
P
E
三、解答题：本大题共 6小题，满分80分．解答须写出
A
文字说明、证明过程和演算步骤．
图1
16．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 xOy中，已知向量m=（ ， ），n=（sin x，cos x），x∈
（0， ）。
（1）若m⊥n，求tan x的值 （2）若m与n的夹角为 ，求x的值。
17．（本小题满分12分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表。
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
1 40 1036 1927 2834
2 44 1131 2043 2939
3 40 1238 2141 3043
4 41 1339 2237 3138
第2页 | 共15页5 33 1443 2334 3242
6 40 1545 2442 3353
7 45 1639 2537 3437
8 42 1738 2644 3549
9 43 1836 2742 3639
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽
到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值 和方差 ；
（3）36 名工人中年龄在 与 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到
0.01％）？
18．（本小题满分14分）
如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直， ，
， .点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且 ，
.
（1）证明： ；
（2）求二面角 的正切值；
H
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
D E
C
G
A F B
图2
19．（本小题满分14分）
设a>1，函数 。
(1) 求 的单调区间 ；
(2) 证明： 在（ ，+∞）上仅有一个零点；
(3) 若曲线 在点P处的切线与 轴平行，且在点 处的切线与直线OP平
行（O是坐标原点）,证明：
第3页 | 共15页20．（本小题满分14分）
已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点A，B.
（1）求圆 的圆心坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线C只有一个交点：若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
数列 满足 , .
(1) 求 的值；
(2) 求数列 前n项和Tn；
(3) 令 ， （ ），证明：数列{ }的前n项
和
满足
2015 广东高考数学（理）试题（参考答
案）
1、A 2、D 3、A 4、C 5、D 6、C 7、B 8、C
9、6 10、10 11、1 12、1560 13、 15、8
16、
第4页 | 共15页第5页 | 共15页第6页 | 共15页第7页 | 共15页第8页 | 共15页第9页 | 共15页第10页 | 共15页第11页 | 共15页以下为选择填空解析！
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的。
1.若集合 ，则
【答案】D
【解析】 ，
第12页 | 共15页2.若复数 （ 是虚数单位），则
【答案】A
【解析】 ，
3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
【答案】D
【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数， D选项为非奇非偶函数
4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2
个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为
【答案】B
【解析】
5. 平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是
【答案】A
【解析】设所求直线为 ，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得
，解得 ，所求直线方程为
6. 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为
【答案】B
【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标
函数 ，则当目标函数过点（1， ），
取最小值为
第13页 | 共15页7. 已知双曲线 的离心率 ，且其右焦点为 ，则双曲线 的方程为
【答案】C
【解析】由双曲线右焦点为 ，则c=5，
，所以双曲线方程为
8. 若空间中 个不同的点两两距离都相等，则正整数 的取值
【答案】B
【解析】当 时，正三角形的三个顶点符合条件；当 时，正四面体的四个顶点符
合条件
故可排除A，C，D四个选项，故答案选B
二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9-13题）
9. 在 的展开式中， 的系数为 .
【答案】6
【解析】 ，则当 时， 的系数为
10. 在等差数列 中，若 ，则 .
【答案】10
【解析】由等差数列性质得， ，解得
，所以
11. 设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则b=
.
【答案】1
【解析】 ，又 ，故 ，所以
由正弦定理得， ，所以
12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了
条毕业留言。（用数字作答）
【答案】1560
13. 已知随机变量X服从二项分布 ， ， ，则 .
【答案】
【解析】 ， ，解得
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），
第14页 | 共15页14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 的极坐标方程为 ，点 的极坐
标为 ，则点 到直线 的距离为 .
【答案】
【解析】
即直线 的直角坐标方程为 ，点A的直角坐标为（2，-2）
A到直线的距离为
15. (几何证明选讲选做题)如图1，已知 是圆 的直径， , 是圆 的切线，切
点为 ， ，过圆心 作 的平行线，分别交 和 于点 和点 ，则 =
.
【答案】8
【解析】
图1
如图所示，连结O，C两点，则 ,
,
则，所以 ,所以
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