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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
九年级数学
2025.01
学校____________ 姓名____________ 准考证号____________
注意事项
1．本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富
多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图
形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这
个点叫做对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移左加右减，上加下减是解题的关
键．
根据上加下减求解作答即可．
【详解】将抛物线 向下平移1个单位，
得到的抛物线的表达式为 ．
故选：A．
3. 若 是关于 的一元二次方程 的一个解，则 的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
把 代入一元二次方程 中即可解得 的值．
【详解】解：把 代入一元二次方程 中得： ，
解得： ．
故选：D．
4. 在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象如图所示，则下列选项正确的是（
）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关
系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定 的符号，由抛物线与x轴的交点个数
确定 的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．
【详解】A． 抛物线开口向下，
，故本选项错误；
B． 抛物线的对称轴在 轴左侧，
，
，故本选项错误；
C． 抛物线与y轴的交点在正半轴上，
，故本选项错误；
D． 抛物线与x轴的两个交点，
，故本选项正确．
故选：D．
5. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新
能源汽车出口量的年平均增长率为 ，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用 增长率问题，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解
题关键．
设新能源汽车出口量的年平均增长率为 ，则2022年的出口量是 万辆，2023年的出口量是
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万辆，然后根据2023年的出口量列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为 ，
由题意得： ．
故选：C．
6. 风能是一种清洁无公害的可再生能源．图1是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储
能装置等构件组成．图2为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片 绕点 顺时针旋转 后到
达 处，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质解答即可得出结论．
【详解】解：由旋转的性质可得： ， ， ，
而得不到 ，
故选：D．
7. 如图，以点 为圆心的两个同心圆中，点 ， 在大圆上，点 ， 在小圆上， 和 的长度分别
是 ， ．若扇形 与扇形 的面积相等，则 与 的大小关系为（ ）
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A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了扇形面积公式，即等于弧长与半径乘积的一半．设大圆半径为 ，小圆半径为 ，得
到 ，则 ，即可得答案．
【详解】解：设大圆半径为 ，小圆半径为 ，
则扇形 的面积 ，扇形 的面积 ，
∵扇形 与扇形 的面积相等，
∴ ，
∵
∴ ，
即 ，
故选：B
8. 如图，点A是 上一点，点 ， 为 上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作
为题设，以 作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（ ）
① 垂直平分 ；
②四边形 是平行四边形；
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③ ．
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】①根据线段垂直平分线的性质可证 和 都为等边三角形，得出
，即 ，即说明原命题为真命题；②根据题意易证平行四边形
是菱形，即可证 和 都为等边三角形，得出 ，即
，即说明原命题为真命题；③分类讨论：当点A在优弧 上时，由圆周角定理可直接得
出 ；当点A在劣弧 上时，在优弧 取点D，连接 ， ，由圆周角定
理得出 ，再根据圆内接四边形的性质得出 ，即说明原命题为假命
题．
【详解】解：①题设： 垂直平分 ；结论： ．
如图，连接 ， ，
∵ 垂直平分 ， ，
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∴ ，
为
∴ 和 都 等边三角形，
∴ ，
∴ ，即此时为真命题；
②题设：四边形 是平行四边形；结论： ．
如图，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴平行四边形 是菱形，
∴ ．
∵ ，
∴ 和 都为等边三角形，
∴ ，
∴ ，即此时为真命题；
③题设： ；结论： ．
分类讨论：当点A在优弧 上时，如图，
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∴ ；
当点A在劣弧 上时，如图，在优弧 取点D，连接 ， ，
∴ ，
∴ ．
综上可知当 时， 或 ，故原命题为假命题．
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，
圆内接四边形的性质，判断真假命题等知识．熟练掌握上述知识是解题关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点A（-4，1）关于原点对称的点的坐标是_______．
【答案】（4，-1）
【解析】
【分析】由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：
点A（-4，1）关于坐标原点O对称点A′的坐标是（4，-1）．
故答案为：（4，-1）．
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【点睛】本题考查解关于原点对称的点坐标问题，关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，
横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的
点，横坐标与纵坐标都互为相反数，会利用对称性求点的坐标．
10. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a的值是______．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，
解得：a=4．
故答案为4．
11. 如图， 为 的直径， 内接于 ．若 ，则 ______ ．
【答案】50
【解析】
【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键
是掌握以上知识点．
连接 ，首先根据同弧所对的圆周角相等得到 ，然后由直径得到 ，然后
根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，连接
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∵
∴
∵ 为 的直径
∴
∴ ．
故答案为：50．
12. 在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两
点，则一元二次方程 的解为______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图象与 x轴的交点横坐标即为所对应的一
元二次方程的解．据此进行解答即可．
【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
∴当 或 时， ，
即一元二次方程 的解为 ， ，
故答案为： ，
13. 图1和图2分别为可移动休息舱及其截面示意图．已知截面底部宽 为2.4米，该截面所在圆的半径
为2米，则最高点 到 的距离 为______米．
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【答案】3.6
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，连接 ，根据垂径定理得 米，由勾股定
理得 米，根据 可得结论．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，且 米，
∴ 米，
又 米，
∴在 中， ，
∴ 米，
∴ 米，
故答案为：3.6．
14. 小明看到公园地面上有一个心形封闭图形 ，为了研究图形 的面积，设计了一项试验：在图形 外
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部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可
能的（不考虑边界），记录的试验数据如下：
20
掷石子的总次数 50 100 500 …
0
石子落在图形 内的次数
15 43 80 201 …
石子落在阴影部分的次数 12
35 57 299 …
0
随着投掷次数的不断增多，石子落在图形 内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形 内的
概率为______；由此估计图形 的面积为______平方米．
【答案】 ①. 0.4 ②.
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所
求情况数与总情况数之比．
（1）大量试验时，频率可估计概率；
（2）利用概率，根据图形A的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
【详解】解：（1）因为石子落在图形 内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形 内的概率
为0.4；
故答案为：0.4；
（2）∵圆的半径为1米，
∴它的面积为 ，
∵石子落在图形 内的概率为 ，
∴估计图形 的面积为 平方米，
故答案为： ．
15. 二次函数 中的自变量 与函数值 的部分对应值如下：
0 2
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0 2
若 ，写出一个符合题意的 的值为______．
【答案】1（答案不唯一，可取大于0的任何数）
【解析】
【分析】抛物线的对称轴是 ，根据 和抛物线的对称性，点 关于对称轴的对称点为
，且 ，根据抛物线过x轴上的两点及点(0,2)可知抛物线开口向下，结合二次函数的
图像可以判断n符号，即可解答此题．
【详解】解： 抛物线 的对称轴是 ，
关于直线 的对称点为 ，
，
，
抛物线开口向下，
在抛物线上，
当 时，
可取大于0的任意一个数，
故答案为： 1（答案不唯一，可取大于0的任何数）．
如图所示，
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，抛物线的对
称性，根据抛物线轴对称的性质是解本题的关键．
16. 学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动
将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参
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与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实
验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分．
科学奇遇记
积
序号 主题活动 开始时间 结束时间
分
A 科普实验 8:00 10:00 7
B 设计工坊 9:00 11:00 8
C 微观世界 10:30 11:50 5
D 机器人体验 11:30 13:30 9
E 温室生态展 13:00 14:40 7
F 人工智能展 14:00 16:45 8
G 梦幻剧场 15:00 17:30 5
H 创意荟 16:00 19:00 10
回答下列问题：
（1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为
______（填活动序号，写出一种即可）；
（2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有______种．
【答案】 ①. （或 或 ） ②. 1
【解析】
【分析】本题考查事件的可能性，列举法的应用：
（1）三项活动的时间不能有冲突，由此可解；
（2）根据各项活动的积分可得，要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，再判断时
间是否冲突，即可求解．
【详解】解：（1）由表格可知，活动G，H的开始时间比F（人工智能展）的结束时间早，不能参加，
活动E的结束时间比F（人工智能展）的开始时间晚，不能参加，
所以需要从活动A，B，C，D中选两项，其中A与B时间冲突，B与C时间冲突，C与D时间冲突，
可选A和C，或A 和D，B和D，
故他参加活动的方案可以为： （或 或 ）；
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（2）参加活动最高可得积分： ，第二可得 ，
所以要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，即 或 ，
又因为H与F时间冲突，
所以他参加活动的方案只能是 ，共1种；
故答案为： （或 或 ）；1．
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解
答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程．把原方程变形为 ，两边都加上一次项系数一半的平方得
到 ，再开平方即可得到方程的解．
【详解】解：
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
18. 已知 ，求 的值．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了代数式求值、平方差公式、单项式乘以多项式，熟练掌握乘法公式和整式的运算法则
是解题关键．先根据已知等式可得 ，再利用平方差公式、单项式乘以多项式计算，代入求值
即可得．
【详解】解：由 得： ，
则
．
19. 已知：如图， 是 的弦．
求作： 上的点 ，使得 ．
作法：①连接 并延长交 于 ；
②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ；
③作直线 交 于点 ， ，连接 ， ．
所以，点 ， 就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
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（2）完成下面的证明：
证明：连接 ， ．
， ，
（______）（填推理的依据）．
．
， ， ， 都在 上，
， （______）（填推理的依据）．
．
【答案】（1）见解析 （2）三线合一，圆周角定理
【解析】
【分析】此题考查了尺规作图，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握以上知
识点．
（1）根据题干中的作图方法作图即可；
（2）首先由三线合一得到 ，然后利用圆周角定理求解即可．
【小问1详解】
如图所示，点 ， 即为所求．
【小问2详解】
证明：连接 ， ．
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， ，
（三线合一）（填推理的依据）．
．
， ， ， 都在 上，
， （圆周角定理）（填推理的依据）．
．
20. 关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的实数根均为非负数，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在
于正确的解方程．
（1）根据 ，进行作答即可；
（2）由 ，解得 ， ，由方程的实数根均为非负数，可得
，计算求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
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∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得， ， ，
∵该方程的实数根均为非负数，
∴ ，
解得， ，
∴m的取值范围为 ．
21. 如图，在 的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交
点，将“L”形绕点 顺时针旋转 ，顶点 ， 的对应点分别为 ， ，线段 的对应
线段为 ．
（1）在图中标出点 ，并画出“L”形旋转后所得到的图形；
（2） ______ ；
（3）在旋转过程中，点 所经过的路径长为______．
【答案】（1）见解析 （2）90
（3）
【解析】
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【分析】本题考查了作图 旋转变换，求弧长．
（1）线段 和 的中垂线的交点即为点O，再确定点 的位置，最后连线即可得“L”形旋转后所
得到的图形；
（2）由（1）中的图示可得 ；
（3）点 所经过的路径长是以 为半径，圆心角为90度的弧长，根据弧长公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图，线段 和 的中垂线的交点即为点O，
“L”形旋转后所得到的图形如图所示；
【小问2详解】
解：由（1）中的图示可得 ，
为
故答案 ：90；
【小问3详解】
解：点 所经过的路径长是以 为半径，圆心角为90度的弧长，
由题意得 ，
∴点 所经过的路径长 ，
故答案为： ．
22. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过 和 两点．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）点 在抛物线上，且与点 不重合．过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．若点 位于点 的上方，
则点 的横坐标 的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，利用二函数的图象解不
等式组等知识，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．
（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．
（2）设点 C 的坐标为 ，得到直线 解析式为 ，当 时，
，即点P的坐标为 ，由点 位于点 的上方得到 ，
解不等式组即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过 和 两点．
∴ ，
解得
抛物线的表达式为 ；．
【小问2详解】
设点C的坐标为 ，设直线 解析式为 ，
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∴
解得
∴直线 解析式为 ，
当 时， ，即点P的坐标为
∵点 位于点 的上方，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．
故答案为：
23. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某
中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下：
跑步量达标率
班数 7
（1）从这12个班级中任意选取1个班级．
①事件“该班跑步量达标率为 ”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；
②若事件“该班跑步量达标率 满足 ”的概率为 ，则 ______， ______；
（2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．
请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率．
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【答案】（1）①随机；②4，1
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．
（1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可；
②概率公式逆运用可得m的值，再由 可得n的值；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计
算．
【小问1详解】
解：①事件“该班跑步量达标率为 ”是随机事件；
②∵事件“该班跑步量达标率 满足 ”的概率为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：①随机；②4，1；
【小问2详解】
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率 ．
24. 如图， ， 分别与 相切于 ， 两点， 的延长线交弦 于点 ， ，连接
．
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（1）求证： ；
（2）若 ， 的半径为2，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质．
（1）连接 ，由切线的性质得 ，再由四边形内角和得 ，
由平角的性质得 ，进而得 ，再由垂径定理得 ，继
而可得结论；
（2）过点C作 于点M，先由已知得四边形 是矩形，进而得 ， ，
，结合（1）易得 是等腰直角三角形，进而可得 ，
，再由 即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
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∵ ， 分别与 相切于 ， 两点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，过点C作 于点M，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的半径为2，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
25. 某兴趣小组通过实验研究发现：当音量 （单位：dB）满足 时，听觉舒适度 与音量 之
间满足二次函数关系．当音量为 时，听觉舒适度为6；当音量为 时，听觉舒适度达到最大值
．
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（1）求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）在家听音乐时，小明听到的音量 与所坐位置到音箱的距离 （单位： ）的关系如图2所示．若
她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离 的取值范围
______（结果保留小数点后一位）．
【答案】（1） ，图象见解析；
（2）
【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象获取信息等知识．
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再画出二次函数的图象即可；
（2）当 时， ，解得 或 ，由图2可得，当 时， ，
当 时， ，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意可设， ，
当音量为 时，听觉舒适度为6；
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∴ ，
解得 ，
∴该二次函数的解析式为 ；
图象如下：
【小问2详解】
当 时， ，
解得 或 ，
由图2可得，当 时， ，当 时， ，
∴小明所坐位置到音箱的距离 的取值范围 ，
故答案为：
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 是抛物线 上不重合的两点．
（1）当 ， 时，求 的值；
（2）若对于 ，都有 ，求 的取值范围．
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【答案】（1）0 （2） 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质；
（1）由 求出 ， ，再根据 得到 ，代入 计算即可；
（2） 的对称轴为 ，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口
方向分类讨论．
【小问1详解】
解：当 时， ， ，
将 代入 得， ，即
∵ ，
∴ ，
将 代入 得， ，
解得： 或 ，
∵点A、B不重合，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ 的对称轴为 ，
∴ 关于对称轴对称的点坐标为 ，
当 时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当 时， 随 增大而增大，
∴ ，
∵ ，
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∴ ， 都在对称轴右侧，
∵对于 ，都有 ，
∴ ，解得 ，此时 ；
当 时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当 时， 随 增大而增大，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ， 都在对称轴的左侧，
∵对于 ，都有 ，
∴ ，解得 ，此时 ；
综上所述， 的取值范围为 或 ．
27. 在 中， 于点 ， ．将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段
，连接 ．
（1）如图1，当 时，补全图形，并求 的长；
（2）如图2，取 的中点 ，连接 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）
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（2） ，证明见详解
【解析】
【分析】（1）先作出图形，取 的中点 ，连接 、 、 ，由 可判定 ，
由全等三角形的性质得 ， ，由勾股定理 即可求解；
（2）取 的中点 ，连接 、 ，延长 至 ，使 ，连接 ，延长 交
于 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，由 可判定 ，由全等三
角形的性质得 ， ，等量代换得 ，由 可判定 ，由全
等三角形的性质即可得证．
【小问1详解】
解：如图所示，
取 的中点 ，连接 、 、 ，
， ，
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，
，
，
，
，
，
， ， ， ，
，
由旋转得： ， ，
，
，
，
在 和 中
，
（ ），
， ，
，
，
，
；
【小问2详解】
解： ；
理由如下：
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取 的中点 ，连接 、 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
延长 交 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）同理可证： ，
，
，
是 的中点，
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，
在 和 中
，
（ ），
， ，
， ，
在 和 中
，
（ ），
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；掌
握旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，能根据题意作出恰当的
辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为2，对于点 ， 和 的弦 ，给出如下定义：若弦
上存在点 ，使得点 绕点 逆时针旋转 后与点 重合，则称点 是点 关于弦 的“等边旋转
点”．
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（1）如图，点 ，直线 与 交于点 ， ．
①点 的坐标为______，点 ______（填“是”或“不是”）点 关于弦 的“等边旋转点”；
②若点 关于弦 的“等边旋转点”为点 ，则 的最小值为______，当 与 相切时，点 的坐
标为______；
（2）已知点 ， ，若对于线段 上的每一点 ，都存在 的长为 的弦 ，使
得点 是点 关于弦 的“等边旋转点”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ，是；② ；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①连接 ，设 与 轴交于点 ，勾股定理求得 的长得出 点的坐标，进而勾股
定理求得 得出， 是等边三角形，结合新定义，即可求解；
②根据新定义可得 ，则 是等边三角形，根据点 是线段 上的点，
最小值即为垂线段的长度，结合图形，即可求解；根据切线的性质可得 轴，根据等边三角形的性质
可得 ，即可得出 点的坐标；
（2）设 是 上任意一点，根据新定义将 顺时针60°得到的点在 上，分析旋转后的线段 与
圆弧的位置关系，以及点 的位置，解直角三角形，求得最值，进而求得 的范围，即可求解．
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【小问1详解】
解：①连接 ，设 与 轴交于点 ，
∵ 的半径为2，
∴ ， ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，则 ，
∵
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴点 是点 关于弦 的“等边旋转点”
故答案为： ，是；
②根据新定义可得 ，则 是等边三角形，
∴ 到 的距离最小值即 的长，
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∵ ， ，
∴ 的最小值为 ；
如图所示，当 与 相切时， 轴，此时点 与点 重合，
∵ 是等边三角形，
∴
∴
故答案为： ； ．
【小问2详解】
解：由（1）可得 ， ，则 是半径为 的圆的一条切线在半径为 的圆
的内部，
如图所示，连接 ，则 ，
当 运动时，构成的图形是以 为圆心，半径为 ， 的同心圆的圆环
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∵若对于线段 上的每一点 ，都存在 的长为 的弦 ，使得点 是点 关于弦 的
“等边旋转点”， 设 是 上任意一点，
∵ ，即点 为 轴上的点，则 绕 上一点 顺时针60°得到的点在 上，即 是等
边三角形，
∴ 在以 为圆心，半径为 ， 的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意，
如图所示，
当 时，先求得最小值，如图所示，其中 旋转后对应的线段 在圆环内，
当 与 重合，且 时， 在半径为 的 上，此时
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当 距离最远时，此时 重合，如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，
∵ 是等边三角形， ， ，
∴ ，
在 中，
∴
解得： （负值舍去）
∴
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当 时，∵ 上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段 在圆环内，
先求得最小值，即 的最大值，则 重合，
的
如图所示， 在半径为 上时， 是等边三角形则最小值 ，
如图所示，当 在半径为 的 上且与其相切时， 取得最大值时，如图所示，连接 ，
∴ ，
∵
∴
解得：
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∴
综上所述： 的取值范围为： 或
【点睛】本题考查了几何新定义，旋转的性质，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，坐标与图形，
解直角三角形，分析理解新定义是解题的关键．
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