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初三线上“一起练习”（一）数学
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. 有症状早就医 B. 少出门少聚集
C. 戴口罩讲卫生 D. 勤洗手勤通风
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A选项中的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
B选项中的图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C选项中的图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D选项中的图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直
线对折，两侧能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后
的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2. 如图，已知 ，点D，E分别在边 ， 的反向延长线上，且 ．若 ，
， ，则AB为( )
A. 5 B. 8 C. 10 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式是解本题的关键．
3. 把抛物线 先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后抛物线的解
析式是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：把抛物线 向上平移2个单位长度后所得图象的解析式为
，
再向右平移3个单位长度后所得图象的解析式为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握平移规律：左加右减，上加下减．
4. 如图， 内接于 ，BD是 的直径．若 ，则 等于( )A. 40° B. 43° C. 45° D. 53°
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，连接 ，根据直径所对的圆周角是直角得到 ，再根据同弧所对的圆周
角相等得到 ，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，正确作出辅助线是解题的关
键．
5. 已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【详解】解：连接 ，作 ，则 ， ，
∴ ，根据勾股定理可得 ，
∴正六边形的边心距是 ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
6. 近年来，盲盒受到越来越多人关注．某公司生产一种盲盒，在自动售卖机销售，物价局规定，这种盲盒
的市场销售单价不得高于 元，不得低于 元．经市场调查发现，当盲盒的销售单价不高于 元和高于
元时，每月销售量与销售单价分别满足某种函数关系．下表是部分市场调查数据：
销售单价/元
月销售量/盒
设该种盲盒的月销售量为y盒，销售单价为x元，则y与x之间满足的函数关系式可以为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据表格数据可知销售单价不高于 元时，y与x之间满足一次函数关系；当销售单价高于
元时，y与x之间满足反比例函数关系，分别根据待定系数法求解即可．
【详解】解：根据表格数据可知：销售单价不高于 元时，y与x之间满足一次函数关系，
设一次函数解析式为： ，
则 ，解得： ，
∴一次函数解析式为 ，
设反比例函数解析式为 ，
则 ，
∴反比例函数解析式为 ，
综上：y与x之间满足的函数关系式可以为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握一次函数
与反比例函数的性质以及点的坐标特征是解本题的关键．
7. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A. 点B在⊙A内 B. 点C在⊙A上
C. 直线BC与⊙A相切 D. 直线BC与⊙A相离
【答案】C
【解析】
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH＝ BC＝4，则利用勾股定
理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的
位置关系对C选项和D选项进行判断．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝ BC＝4，在Rt△ABH中，AH＝ ＝ ＝3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH＝3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以C选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和
⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d＝r；直线l和⊙O相离 d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰
三角形的⇔性质． ⇔ ⇔
8. 四位同学在研究二次函数 时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线 ；乙
同学发现当 时， ；丙同学发现函数的最小值为 ；丁同学发现 是一元二次方程
的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是(
)
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成
立．
【详解】解：当甲同学的结论正确，即当函数的对称轴是直线 时， ，即 ．
当乙同学的结论正确，即当 时， 时， ，可得 ．
当丙同学的结论正确，即当函数的最小值为 时， ，可得 ．
当丁同学的结论正确，即当 是一元二次方程 的一个根时， ，可得 ．
根据 和 不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，
假设丁同学的结论错误，联立 和 ，得 ， ，不满足 ，故假设不成立；
假设乙同学的结论错误，联立 和 ，得 ， ，此时满足 ，故假设成立；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关
系是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形 的面积为2，则反比例函数的解析式是
______．
【答案】
【解析】
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|，再根据反比例
函数的图象所在的象限确定k的值，即可求出反比例函数的解析式．
【详解】解：由图象上的点所构成的矩形PEOF的面积为2可知，
矩形PEOF的面积＝|k|＝2，k＝±2．
又由于反比例函数的图象在第二、四象限，k＜0，
则k＝﹣3，所以反比例函数的解析式为y＝﹣ ，
故答案为：y＝﹣ ．【点睛】本题考查反待定系数法求反比例函数的解析式，比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意
一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
10. 如图， ，如果 ， ， ，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由 可得成比例线段，代入数据可求得 ．
【
详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线得出成比例线段是解本题的关键．
11. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】将x＝−1代入方程ax2＋bx＋c＝0中的左边，得到a−b＋c，由a−b＋c＝0得到方程左右两边相等，
即x＝−1是方程的解．
【详解】解：将x＝−1代入ax2＋bx＋c＝0的左边得：a×（−1）2＋b×（−1）＋c＝a−b＋c，
∵a−b＋c＝0，
∴x＝−1是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
故答案为：−1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．掌握定义是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系 中，若 ， ， 是二次函数 图像上的
三点，则 ， ， 的大小关系是______．（用“ ”号连接）．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式得出其对称轴与开口方向，然后根据点 与对称轴的距离进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
为
∴对称轴 ，
∵ ，
∴抛物线开口方向向上，
则离对称轴越远的点函数值越大，
∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质得出对称轴与
开口方向是解本题的关键．
13. 如图， 的周长为16， 是 的内切圆，若 ， ，则 的长为______．【答案】2
【解析】
【分析】利用切线长定理可知 ， ， ，结合已知条件求出 ，再
证 是等边三角形即可得出 ．
【详解】解： 是 的内切圆，
， ， 均是 的切线，切点分别为F，E，D，
由切线长定理可知 ， ， ，
，
的周长为16，
，
，
又 ，
是等边三角形，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查切线长定理的应用、等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线长定理，即从圆
外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
14. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为 的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料 ，则此圆弧所在圆的半径为______mm．
【答案】900
【解析】
【分析】由弧长公式 得到R的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得， ，
解得： ，
答：这段圆弧所在圆的半径R是 ．
故答案是：900．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式，解题的关键是熟记弧长公式 ，其中l表示弧长，n表示弧
所对的圆心角的度数．
15. 将含有 角的直角三角板 如图放置在平面直角坐标系中， 在x轴上，若 ，将三角
板绕原点旋转 得到 ，则点A的对应点 的坐标为______．
【答案】 或 ## 或【解析】
【分析】根据含有 角的直角三角形的性质、勾股定理求出点A的坐标，分三角板绕原点顺时针旋转和
逆时针旋转两种情况，得到点 的位置，即可求解．
【详解】解：由题意 ，
点A的纵坐标为 ，
点A的横坐标为 ，
点A的坐标为 ．
当三角板绕原点逆时针旋转 时，如图所示：
可知点 与点A关于y轴对称，
点 的坐标为 ；
当三角板绕原点顺时针旋转 时，如图所示：
，
点 的坐标为 ．故点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，含 角的直角三角形的性质和勾股定理．熟练运用分类讨
论和数形结合的思想是解题的关键．
16. 某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段
AB及优弧AB围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所
示．此时若在B处安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是______．（填写方
案序号即可）
①在M处放置2台该型号灯光装置 ②在P处放置2台该型号灯光装置
③在M，N处各放置1台该型号灯光装置
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图
∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，
∴ 优弧 所对圆周角，
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为 ，且∴ 为优弧 所对圆周角
∴ ，即①方案成立；
在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，MN和 相切于点P
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总
根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和
∴②方案不成立；
在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接 、 、 、 、 、 ，如下图，
∵ ，
∴③方案成立；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．
三、解答题（共68分，第17题6分，第18－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第
27－28题，每题7分）
17. 解方程：
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解；
（2）先移项，再利用因式分解法求解．
【小问1详解】
解： ，
因式分解，得 ，
当 时， ，
当 时， ，
故该方程的解为 ， ；
【小问2详解】
解： ，
移项，得 ，
因式分解，得 ，
即 ，
当 时， ，
当 时， ，
故该方程的解为 ， ．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．18. 如图，点B、C在线段 上，且 ， ， 是边长为6的等边三角形．
求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明 ．
【详解】证明： 是边长为6的等边三角形，
， ，
，
又 ， ，
， ，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
19. 关于x的一元二次方程 ．
（1）当 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根
（2） 时，【解析】
【分析】（1）计算根的判别式得到 ，则可判断 ，进而得出结论；
（2）利用方程有两个相等的实数根得到 ，设 时原方程为 ，
解方程即可．
【小问1详解】
解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
若 ，
则原方程为 ，
因式分解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实
数根．
20. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点O是弧 的圆心，C为弧 上一点， ，垂
足为D．已知 ， ，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为
【解析】
【分析】连接 ，根据垂径定理可得 ，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
设半径为 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
答：这段弯路的半径为 ．
【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，关键是在于设出半径 后，用 表示出 的长度．
21. 已知二次函数 的部分图象如图所示，点O，A，B在二次函数图象上．（1）写出此二次函数的对称轴______，并求这个二次函数的解析式；
（2）关于x的一元二次方程 的根为_____；
（3）当 时，y的取值范围是_____．
【答案】（1）直线 ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据A、B两点关于对称轴对称进行求解对称轴，然后利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点即可得到答案；
（3）分别求出当 时，当 时的函数值即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得二次函数对称轴为直线 ，代入A、B、C坐标得 ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：∵二次函数与x轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ，∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴关于x的一元二次方程 即 的根为 ；
【小问3详解】
解：当 时， ，当 时， ，
∴当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解
题的关键．
22. 已知：A，B是直线l上的两点．
求作： ，使得点C在直线l上方，且 ．
作法：
①分别以A，B为圆心， 长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心， 长为半径画圆；
③在劣弧 上任取一点C（不与A，B重合），连接 ， ． 就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧 上任取一点M（不与A，B重合），连接 ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∵A，B，M在 上，∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
∵四边形 内接于 ，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
【答案】（1）见解析；
（2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．
【解析】
【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得 ，再根据圆周角定理可得 ，最后再根
据圆的内接四边形的性质即可证得 ．
【小问1详解】
解：如下图即为所求．
【小问2详解】
证明：如图，在优弧 上任取一点 （不与 ， 重合），连接 ， ， ， ．∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∵ ， ， 在⊙ 上，
∴ （同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）．
∴ ．
∵四边形 内接于⊙ ，
∴ （圆的内接四边形对角互补）．
∴ ．
故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23. 在平面直角坐标系xOy中，直线 与反比例函数 图象有两个交点A、B．（1）若点A的坐标为 ，
①点B的坐标为______；
②不等式 的解集为______；
（2）若 ，直接写出k的取值范围为______．
【答案】（1）① ；② 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数和正比例函数的性质可知点A与点B关于原点对称，横、纵坐标均互为相
反数，由此可得点B的坐标；画出图形，根据图形即可得出不等式 的解集；
（2）设A点坐标为 ，B点坐标为 ，根据平面直角坐标系内两点间距离公式及A点和B点
在直线 上，可得 ，将 与 联立，由根与系数的关系可得
， ，进而可得 ，再证 ，结合 ，可得
关于k的不等式，由此可解．
【小问1详解】解：① 反比例函数 的图象关于原点对称，直线 经过原点，
点A与点B关于原点对称，
点A的坐标为 ，
点B的坐标为 ；
故答案为： ；
②将 代入 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，
作图如下：
观察图形可知当 或 时，直线 的图象在反比例函数 的图象的下方，
不等式 的解集为 或 ；
故答案为： 或 ；
【小问2详解】
解：设A点坐标为 ，B点坐标为 ，A点和B点在直线 上，
， ，
，
将 与 联立，得 ，
整理，得 ，
A点和B点是直线 与反比例函数 图象的两个交点，
和 是方程 的两个根，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，解得 或 ．
故k的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，平面直角坐标系内两点间距离公式，一元二次方程
根与系数的关系，解不等式等，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的性质，熟练运用数形结合思想．
24. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度 为 ．灌溉车喷出水的上、下边缘可以分
别看作是抛物线的一部分，而绿化带可以看作为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度
．记喷出的水与喷水口的水平距离为 ，上边缘距地面的高度为 ，下边缘距地面的高
度为 ．测量得到如下数据：
0 1 2 3 4 5 6
2 0
1.
0
5
（1）在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出上边缘函数的图像；（2）结合表中数据或所画图象，直接写出喷出水的最大射程 为______m，并求上边缘抛物线的函数
解析式；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图像，估计灌溉车到绿化带的距离 的
取值范围为______．
【答案】（1）见解析 （2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）描点，连线即可；
（2）直接由函数图像以及表格可得 最大值，根据待定系数法求上边缘抛物线解析式即可；
（3）根据 ，求出点 的坐标，利用增减性可得最大值和最小值．
【小问1详解】
解：如图即为所作；
【小问2详解】
解：根据题意可得最大射程 ，
由表格可知，当 和 时，函数值均为 ，
∴上边缘抛物线的顶点坐标为 ，
设上边缘抛物线的函数解析式为 ，
将点 代入 中，
得： ，
解得 ，∴上边缘抛物线的函数解析式为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
∵ ，
∴点 的纵坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
当 时， 随 增大而减小，
当 时， 随 增大而增大，且 时， ，
∴当 时，要使 ，则 ，
∵ ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴ 的最大值为 ，
的
再下边缘抛物线，喷出 水能浇灌到绿化带底部的条件是 ，
∴ 的最小值为 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次
函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
25. 如图1， 是 的直径，点 在 上，连接BC，OD， ．（1）求证：D为弧 的中点；
（2）如图2，过点D作 的垂线与 交于点E，作直径 交 于点G．若G为 中点， 的
半径为5，求弦 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形等边对等角以及平行线的性质可得 ，进而得出
结论；
（2）由垂径定理得 ，由平行线的性质得 ，则 是等腰直角三角形，
，易证 是等腰直角三角形，得 ，再由 ，即可得出结果．
【小问1详解】
解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴D为弧 的中点；
【小问2详解】
∵G为 中点，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形
的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的性质是解题的关键．
26. 已知，在平面直角坐标系 中，二次函数 ．（1）若函数图象的对称轴为y轴，直接写出a的值为______；
（2）点 是抛物线上一点，当 时，n的最小值记为N．
①若 ，直接写出N的值为______；
②若 ，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据对称轴求解公式求解即可；
（2）①先求出二次函数对称轴，从而确定当 时n最小，据此求解即可；②分二次函数对称轴在直线
左边，在直线 右边，在直线 和 之间三种情况，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解；∵二次函数 的对称轴为y轴，
∴ ，∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：①当 时，二次函数解析式为 ，
∴当 时y随x增大而减小，
∵
∴当 时n最小，
∴ ，
故答案为： ；
②由题意得二次函数对称轴为直线 ，
当 ，即 时，
∵ ，
∴当 时n有最小值，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 ，即 时，当 时n有最小值，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 即 时，
当 时n有最小值，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；综上所述， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求不等式组的解集，二次函数的最值问题，熟知二次函数的性
质是解题的关键．
27. 在 中， ， ， 在线段 上，点 为直线 上一动点，连接 ．
射线 绕点 顺时针旋转 ，交直线 于点 ，连接 ．
（1）如图1，若 ，当点E在线段AB上且满足 时， ， ，请直接写出
的长为________（用含 的式子表示）；
（2）如图2，若 为 中点，当点 在 延长线上时，设 ， ，请直接写出 的长
为_________（用含 的式子表示）；
（3）如图3，若 为 中点，当点 在 延长线上时，请补全图形，用等式表示线段
之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理：一组平行线在两条直线上截得对应线段成比例，及相似性质、
勾股定理计算即可；（2）通过倍长线段 构造与 全等的直角三角形即可；
（3）仿照（2）中证明方法步骤即可．
【小问1详解】
解： ， ，
，
，
，则 ，
，则 即 ，
则 ，
根据勾股定理可得： ，
故答案为： ．
【小问2详解】
如下图所示：延长 到点 ，使得 ，连接 ，
点 为线段 的中点， ，即 为线段 的中垂线，
（中垂线上的点到线段两端点距离相等），
，
（SAS），
， ，
，故 ，
由勾股定理可得： ，
，故答案为： ．
【小问3详解】
图形如下所示：延长 到点 ，使得 ，连接 ，
点 为线段 的中点， ，即 为线段 的中垂线，
（中垂线上的点到线段两端点距离相等），
，
（SAS），
， ，
，故 ，
由勾股定理可得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形的全等变换和勾股定理，关键在于利用中点特性构造全等，利用猜想、合情推理等
数学思维方法突破难点．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段 ，给出如下定义：若存在 使得 ，则称为线段PQ的“幸福三角形”，点 称为线段 的“幸福点”．
（1）已知 ．
①在点 ， ， ， 中，是线段 的“幸福点”的是______；
②若存在等腰直角三角形 是线段 的“幸福三角形”，直接写出点B的坐标为______；
③过线段 上一动点M，作直线 ．记此直线上线段 的“幸福点”为点C，直接写出点C的横
坐标m的取值范围为______；
（2）已知点D的坐标为 ， 的圆心为 ，半径为3，若 上存在线段 的“幸福点”，
直接写出t的取值范围为______．
【答案】（1）① ；② 或 ；③
（2）（2）
【解析】
【分析】（1）①分别求出 的面积，可得答案；
②分两种情况进行讨论：当 等腰直角三角形的直角边时；当 为等腰直角三角形的斜边时；分别根
据“幸福三角形”的定义解答即可；
③根据点 的横坐标为 ，得出点 的纵坐标为 ，然后得出当点 时、当点 时，相对应的 的值，即可得出取值范围；
（2）根据勾股定理求出 的长度，然后得出 边上的高，则直线 到圆上的最小距离不能大于2，
根据题意画出图形，根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【小问1详解】
解：①∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是线段 的“幸福点”，
为
故答案 ： ；
②当 等腰直角三角形的直角边时，
，不合题意；
当 为等腰直角三角形的斜边时，设点 的纵坐标为 ，
，
解得： ，
∴点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ；
③∵点 的横坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，
当点 时，即 时， 或 ，即 或 ，当点 时，即 时， 或 ，得 或 ，
综上所述：m的取值范围为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
∴圆上的一点与 组成的三角形面积为 ，
∴ 边上的高为2，
∴直线 到圆上的最小距离不能大于2，
如图：
∵ 的半径为3，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
即 ，
∴ ，
∴t的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，直线与圆的位置关系，相似
三角形的判定与性质，灵活运用所学知识点是解本题的关键．
