文档内容
2021-2022 学年北京市海淀区师达中学九年级（上）月考数学试卷
（12 月份）
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 如图，将给出的四张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的一张扑克牌旋转180°成第二行的样子，那
么被旋转过的那张扑克牌应该是从左数（ ）
A. 第一张 B. 第二张 C. 第三张 D. 第四张
2. 二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线y＝x2+4x+5的顶点坐标是（ ）
A. （2，5） B. （2，1） C. （﹣2，5） D. （﹣2，1）
4. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子
中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 米，同时量得 米， 米，则旗杆高度 为
（ ）A. 7.5米 B. 米 C. 7米 D. 9.5米
5. 如图，在 中， 、 两点分别在 、 边上， ．若 ，则
为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝50°，则∠ACB的大
小是（ ）
.
A 65° B. 60° C. 55° D. 50°
7. 下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意
图
相关数据 ， ，
设铁塔顶端到地面的高度 为 ，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A. B.
C. D.
8. 如图，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线 ，P为⊙O上的一个动点，作PH⊥ 于点H，
连接PA．如果PA= ，AH=y，那么下列图象中，能大致表示 与 的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′
的值为 _____．
10. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 ，则折痕 的长为______cm．11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与
△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是__．
的
12. 抛物线y=ax2+bx+c 对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（3，
0），则点Q的坐标为______．
13. 如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在AD的F处，若AB：BC＝2：3，则cos∠DCF值为＝
_____．
14. 如图， 中，点 在边 上，且 ，若 ， ，则 的长为
______．
.
15 如图，点E在 ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三
角形共有 _____对． ▱16. 若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是
______．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分；第22题6分，第23题5分，第24-26题，每
题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17. 计算： ．
18. 如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝
6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D'CE'（如图乙）．这时AB与CD'相交于点
O，D'E'与AB相交于点F．求线段AD'的长．
19. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
20. 如图， 中， ， ， ，求 的长．
21. 补图并证明．如图 ， ， ，连接 、 ，求证：
．
22. 如图， 、 均为同圆中的两条弦，且 ．
的
（1）判断 与 关系（ ）A． B．
C． D．以上三种情况均有可能
（2）若点 为 的中点，连接 并延长交 于点 ，求证：
23. 如图是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为
多少米？请你以点 为原点、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，解决这个实际问题．
24. 已知： 中， 为 上 的中线，点 在 上，且 ，射线 交 于点 ．
求 的值．
25. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以AE为直径的 O切BC于点D，连接AD．
⊙
（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若 O的半径为5，sin∠DAC＝ ，求BD的长．
⊙
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+（1-2a）x-2（a≠0）与y轴交于点C．
（1）当a=1时，该抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B左侧），求点A，B的坐标；
（2）若该抛物线与（1）中的线段AB总有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
27. 如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），连接
CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．
（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系： ；
（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点
G仍是AE的中点，连接FG、DF．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．如图P，Q两点即为同族点．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为 ；
（2）直线l：y＝x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，
①M为线段CD上一点，若在直线x＝n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；
②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心， 为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族
点，直接写出m的取值范围．
