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清华附中初 20 级（2022.10）
一、选择题
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 关于 的一元二次方程 的根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
3. 下列关于抛物线 的说法，正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 顶点坐标是
C. 有最小值1 D. 对称轴是直线
4. 如图，将一个含30°角的直角三角板 绕点 旋转，使得点 ， ， 在同一条直线上，则旋转角
的度数是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
5. 若 所在平面内有一点 ，点 到 上点的最大距离为8，最小距离为2，则 的直径为（
）
A. 6 B. 10 C. 6或10 D. 无法确定
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD BC，连接
DM、DN、MN．若AB＝4 ，则DN＝（ ）A. 3 B. C. D. 4
7. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
报名项目个数 0 1 2 3
人数 5 14 a b
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有
多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 中位数，众数 B. 平均数，方差
.
C 平均数，众数 D. 众数，方差
8. 已知二次函数 ，点 是该函数图像上一点，当 时， ，
则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
9. 一元二次方程 的根是______．
10. 若二次函数 的图象上有两点 , 则 _____ .（填“>”，“=”或“<”）
11. 函数 与 的图像如图所示，根据图像可知不等式 的解集是______．12. 如图， 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得
， ，则 等于______．
13. 某企业决定招聘广告策划人员一人，某应聘者三项素质测试的成绩（单位：分）如下：
测试项目 创新能力 综合知识 语言表达
测试成绩 88 80 75
如果将创新能力、综合知识和语言表达三项素质测试成绩按 的比确定应聘者的最终成绩，则该应聘
者的最终成绩为 __分．
14. 如图，四边形 中， ， ，则 的度数为______．
15. 将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为_____．
的
16. 如图，某建筑公司有 ， ， 三个建筑工地，三个工地 水泥日用量分别为
吨， 吨， 吨，有 ， 两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于 吨的运输车
可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”
（吨数x运输路线千米数）最小．若公司安排一辆装有 吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水
泥，且 ，为使总的“吨千米数”最小，则应从______原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划
从N原料库安排一辆装有 吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥， ，， 则总的“吨千米数”最小为______．
三、解答题
17. 解方程： ．
18. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．
19. 如图， 是线段 上一点，在线段 的同侧作正方形 和正方形 ，连接 ， ．
求证： ．
20. 一次函数 的图像与 轴交于点 ，且经过点 ．
（1）当 时，求一次函数的解析式及点 的坐标；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出
的取值范围．
21. 已知：如图，线段 与经过点 的直线 ．求作：在直线 上求作点 ，使 ．
作法：
①分别以点B，C为圆心， 长为半径画弧，两弧交于 上方的点 ，连接 ， ；
②以点 为圆心，以 长为半径画圆交直线 于点 （不同于点 ），连接 ．则点 即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵分别以点B，C为圆心， 长为半烃画弧，两弧交于 上方的点 ．
∴
∴ 为等边三角形．
∴ ．
在 中，在优弧 上任取点 ，连接 ， ．
∴ ．（_________________________）（填推理依据）
∵点B，D，C，E在 上．
∴ ．（_________________________）（填推理依据）
即 ．
22. 如图，矩形 的对角线相交于点 ， ， ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
的
（2）若 ， ，求 面积．23. 如图，在长为30m、宽20m的矩形空地上，修建两条同样宽的道路，余下的部分作为草坪，若草坪面
积551m2，求道路的宽度是多少m？
24. 如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 ，直径 是河底线，弦 是水位线， ，
米， 于点 ，此时测得 ．
（1）求 的长：
的
（2）如果水位以0.4米/小时 速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
25. 广场俢建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与
池中心的水平距离为 米，距地面的高度为 米．测量得到如表数值：
0 1 2 3 4 4.4
米
2.5 3.3 3.3 2.5 0.9 0
米
小庆根据学习函数的经验，发现 是 的函数，并对 随 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小庆
的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数的图像；（2）结合函数图像，出水口距地面的高度为______米，水达到最高点时与池中心的水平距离约为______
米；
（3）若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，若只调整水
管高度，其他条件不变，结合函数图像，估计出水口至少需要 （填“升高”或“降低”）______米
（结果保留小数点后一位）．
26. 已知抛物线 过点 和点 ．
（1）抛物线的顶点坐标为______（用含 的式子表示）；
（2）若抛物线过点 （其中 ），请用含 的式子表示 ；
（3）在（2）的基础上，若 ，直接写出 和 的取值范围．
是
27. 在 中， ， ，点 延长线上一点（ ），连接
，将线段 绕点 顺时针旋转60°，得到线段 ，连接 ．
（1）依题意，补全图形；
（2）若 ，求 的长．
（3）延长 交 于 ，用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段 和点 ，给出如下定义：若在直线 上存在点 ，使得四边形 为平行四边形，则称点 为线段 的“关联点”．已知 ， ；
（1）在 ， ， ， 中，线段 的“关联点”是______；
（2）若点 在第二象限且点 是线段 的“关联点”，求线段 长度 的取值范围：
（3）已知正方形 边长为1，以 为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点 ， 在线段
上（ 在 的下方）．若正方形 上的任意一点都存在线段 ，使得该点为线段 的“关联
点”，直接写出 的取值范围．
