文档内容
2022-2023 学年北京市海淀区清华附中
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人
工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心
对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转 180°，与自身重合，这样的图形叫做中
心对称图形．逐一进行判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．
2. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转 °后能与原来的图案互相重合，则 的最小值为（
）
A. 45 B. 60 C. 72 D. 144
【答案】C
【解析】
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是 ，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】该图形被平分成五部分，旋转 的整数倍，就可以与自身重合，
故 的最小值为 ．
故选：C
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这
种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
3. 用配方法解关于 的一元二次方程 ，配方正确的是（ ）
2
x x -x2 -5=0
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】常数项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案．
【详解】解：∵x2-2x-5=0，
∴x2-2x=5，
则x2-2x+1=5+1，即（x-1）2=6，
故选D．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的
步骤．
4. 将抛物线 平移，得到抛物线 ，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
【解析】
【详解】解：将抛物线y=-3x2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y=-3（x-1）2， 再向下平移2个单位
得到抛物线y=-3（x-1）2-2．
故选D．
【点睛】此题考查了抛物线的平移问题，根据“上加下减，左加右减”解决问题．5. 如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意易得 ，则有 ，然后根据圆内接四边形的性质可求解．
【详解】解：∵ 是半圆 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关
键．
6. 已知函数 的图象上有 ， ， 三点，则 的大小关
系（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：函数 的对称轴为直线 ，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，点A到对称轴的距离为 ，
点B到对称轴的距离为 ，
点C到对称轴的距离为 ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离
对称轴越近，函数值越大．
7. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列选项中不正确的是( )
A. B. C. 0 < D.
【答案】D
【解析】
【详解】A选项：由于图中的抛物线开口向下，所以a<0. 故A选项正确.
B选项：由于图中的抛物线与y轴交点的纵坐标大于零，所以c>0. 故B选项正确.
C选项：由于图中抛物线的对称轴与x轴的交点在点(0, 0)和点(1, 0)之间，所以 . 故C选项正
确.
D选项：根据图象可知，该二次函数在x=1处的函数值大于零，即当x=1时，y=a+b+c>0，所以a+b+c>0.
故D选项错误.
故本题应选D.
点睛：
本题考查了二次函数的图象和性质的相关知识. 一般情况下，系数a的符号由抛物线的开口方向确定；系
数b的符号可以根据对称轴与y轴的相对位置以及a的符号共同确定；系数c的符号可以根据抛物线与y轴交点纵坐标的符号确定；代数式 代表对称轴与x轴交点的横坐标；代数式a+b+c代表在x=1处的函数
值.
的
8. 四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象 对称轴是直线x＝1；乙同
学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝
2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；
【详解】解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；
3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；
函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；
当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；
当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；
当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；
当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；
当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），若点A与点B关于原点O对称，则B点的坐标为____．
【答案】（2，﹣3）
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的对应坐标符号相反可直接得
到答案．
【详解】解：∵点A和点B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，3），
∴点B的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.【答案】y＝x2＋1．
【解析】
【详解】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．
11. 已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 ___________
【答案】
【解析】
【分析】把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，然后解关于k的方程．
【详解】解：把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，解得k=-2．
故答案为-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
12. 如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是__________
【答案】26°
【解析】
【分析】根据垂径定理可得 ，再根据圆周角定理及其推论求得∠BOC=2∠ADC，进而可求得
∠OBC的度数．
【详解】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴ ，∠BOC+∠OBA=90°，
∴∠BOC=2∠ADC=64°，
∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°，
故答案为：26°．
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及其推论、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握垂径定理和圆周
角定理及其推论是解答的关键．
13. 关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=________，b=________．
【答案】 ①. 4 ②. 2
【解析】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，
∴
∴b2-a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4， 故b=2，a=4时满足条件．
故答案为4，2（答案不唯一）
14. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点
为 ，则关于 的方程 的解为__________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据对称性得出抛物线与 轴的另一个交点，即可得出关于 的方程 的解．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点为 ，
∴关于 的方程 的解为 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题关键是明确抛物线与 轴的交点坐标和一元二次方程 的解的关系．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋
转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：__________．
【答案】将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△AOB得到△CDE的过程．
【详解】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE．
故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位．
【点睛】考查了坐标与图形变化——旋转，平移，解题时需要注意：平移 的距离等于对应点连线的长
度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．
16. 如图，AB是⊙O的直径，弦 ，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论
①AC＝BD；
②AM＝BN；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝ AB；
④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．
所有正确结论的序号是 ___．
【答案】①②④
【解析】
【分析】先证明四边形CMND是矩形，再证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论①②正确，证明AB= MN，可得③错误；证明△OBN是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．
【详解】解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵ ，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM=DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中， ，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴ ，
故②正确，
∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM= 2OC，
∴OM= OC，
∴AB=2OM= OC= MN，
故③错误，若M是 的中点，连接BN，而
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的
判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6
分，第27-28题，每题7分）
17. 解下列方程
（1）x2﹣6x﹣16＝0
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用十字乘法把左边分解因式可得 再得到两个一次方程，再解一次方程
即可；
（2）先把方程右边提取公因式2，再移项，再分解因式化为 从而可得答案.
【详解】解：（1）x2﹣6x﹣16＝0
或
解得：
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10或
解得：
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式，提公因式分解因
式，再解方程”是解题的关键.
18. 已知：如图， 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到 ，点A，B，C分别对应点 ，
， ．
（1）根据点 和 的位置确定旋转中心是点 ．
（2）请在图中画出 ．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）分别作 、 的中垂线m、n，两者的交点即为所求；
（2）作出点C绕点 顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得；
【小问1详解】解：如图，根据点 和 的位置确定旋转中心是点 ，
【小问2详解】
如图所示， 即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对
应点．
19. 已知：A，B是直线l上的两点．
求作： ，使得点C在直线l上方，且 ．
作法：
①分别以A，B为圆心， 长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心， 长为半径画圆；
③在劣弧 上任取一点C（不与A，B重合），连接 ， ． 就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧 上任取一点M（不与A，B重合），连接 ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∵A，B，M在 上，∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
∵四边形 内接于 ，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
【答案】（1）见解析；
（2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．
【解析】
【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得 ，再根据圆周角定理可得 ，最后再根
据圆的内接四边形的性质即可证得 ．
【小问1详解】
解：如下图即为所求．
【小问2详解】
证明：如图，在优弧 上任取一点 （不与 ， 重合），连接 ， ， ， ．∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∵ ， ， 在⊙ 上，
∴ （同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）．
∴ ．
∵四边形 内接于⊙ ，
∴ （圆的内接四边形对角互补）．
∴ ．
故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，
BE．（1）求证：△AEB ≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）45°
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得 ， ，再由旋转的性质，可得
， ，从而得到 ，再证 ≌ 即可；
（2）根据题意可得 为等边三角形．可得 ，根据三角形全等可得
，然后利用两角之差即可求解．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
， ．
线段AD绕点A顺时针旋转 ，得到线段AE，
， ．
．
．
在 EAB和 DAC中，
△ △
，
≌ ．解： ， ，
为等边三角形．
，
≌ ．
．
∴∠BED=∠AEB-∠AED=105°-60°=45°，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．
21. 一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m.由于天气干燥，水管
水面下降，此时排水管水面宽CD变为1.2m，求水面下降的高度.
【答案】0.2m.
【解析】
【分析】先根据垂径定理求得AM、CN，然后根据勾股定理求出OM、ON的长，即可得出结论．
【详解】如图，连接OA，OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．
∴∠ONC=90°．
∵AB∥CD，
∴∠OMA=∠ONC=90°．
∵AB=1.6，CD=1.2，∴AM= AB=0.8，CN= CD=0.6，
在Rt△OAM中，
∵OA=1，
∴OM= =0.6．
同理可得ON=0.8，
∴MN=ON-OM=0.2（米）．
答：水面下降了0.2米．
【点睛】此题考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
22. 已知关于x的方程 ( )．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先计算根的判别式得到△=（a＋3）2，然后根据a>0得到△＞0，则可根据判别式的意义得到
结论；
（2）利用公式法求得方程的两个解为 x＝－1，x＝ ，再由方程有一个根大于2，列出不等式，
1 2
解不等式即可求得a的取值．
【详解】（1）证明： ，
∵ ，
∴ ，即 ．
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵ ，由求根公式得x＝ ，∴ ，
∵方程有一个根大于2，
∴ .
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 （ ）的根的判别式 ：当 ，方
程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 ， ．
的
（1）求抛物线 解析式；
（2）求抛物线的顶点C的坐标；
（3）设过B，C两点的直线解析式为 ，直接写出当 时自变量x的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）
（3） 或 ．【解析】
【分析】（1）根据待定系数法列出方程组，求出a、b的值即可；
（2）把抛物线解析式化成顶点式即可得出顶点坐标；
（3）结合图象即可得到自变量的取值范围．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 ，
∴
解得
∴ ．
【小问2详解】
∵
∴顶点的坐标为 ．
【小问3详解】
如图，
抛物线与直线的交点为 和 ，∴ 时自变量x的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式、利用函数图象求不等式的解集等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. 某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的
销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）．
（1）当x＝50时，总利润为 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1） （元）；
（2） ；
（3）销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元
【解析】
【分析】（1）将 代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可
得；
（2）根据利润=销售数量×每件 的利润可得 ，把 代入整理即可得w与x
的函数关系式；
（3）由每天的销售量不少于38件，可得 ，进而可求出 ；根据（2）中结论整理
为顶点式 ，根据二次函数的基本性质可得，当 时，w随x的增大而增大，所
以当 时，w有最大值，代入求解即可得．
【小问1详解】
解：当 时，
，
销售量为40件，
∴
利润为： （元），故答案为：400；
【小问2详解】
解：由题意得：
，
，
，
∴w与x的函数关系式为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得： ；
，
∵ ，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，最大值为： （元），
∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识，根据题意列出函数关系式是解题
的关键．
25. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形
状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离
为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米） 0.50 1.00 1.5 2.00 2.50 3.00h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，
从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人
想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
【答案】（1）图见解析；
（2）4米 （3）h=-d2+2d+3
（4）水枪高度调节到5米以上
【解析】
【分析】（1）建立坐标系，描点，用平滑的曲线连线即可；
（2）结合图象，得出最高点坐标为（1，4），进而得出结论；
（3）利用顶点式h=a(d-1)2+4和点（3，0）即可求出h关于d的函数表达式；
（4）设平移后的解析式为h=-d2+2d+3+m，根据题意求解即可.
1
【小问1详解】
解：如图所示
【小问2详解】解：由图象得，
最高点坐标为（1，4），
∴水柱最高点距离湖面的高度为4米；
【小问3详解】
解：由题意，得
设顶点式为h=a(d-1)2+4，
又图象过点（3，0），
∴a(3-1)2+4=0，
解得a=-1，
∴函数解析式h=-(d-1)2+4=-d2+2d+3；
【小问4详解】
解：设水枪高度向上调整m米时，游船恰好能从喷泉拱门下穿过，
则平移后的解析式为h=-d2+2d+3+m，
1
当横坐标为1+2=3时，纵坐标的值大于等于1+1=2，
∴-32+6+3+m≥2，
解得m≥2，
∴水枪高度至少向上调整2米，
∴水枪高度调节到5米以上.
【点睛】本题考查二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于熟练掌
握二次函数的图象建立二次函数模型．
26. 在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q是x轴上一点，
若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．
①抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间
②的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n
的取值范围．【答案】（1）y＝x2﹣4x+4；（2）①点P的坐标为（1，1）或（4，4）；②在图象G上存在点P，使得
∠POQ＝45°，n的取值范围为0≤n≤4．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线顶点在x轴上，列式计算可得m的值；
（2）由∠POQ＝45°，作直线y＝x，交抛物线y＝x2﹣4x+4于点P，联立解析式求出P点坐标即可；
（3）分两种情况考虑：当点P，Q在y轴右侧时与点P，Q在y轴左侧时，列出不等式求解即可.
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上，
∴ ＝0，
解得：m＝2，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+4．
（2） 作直线y＝x，交抛物线y＝x2﹣4x+4于点P，如图1所示．
①
联立直线OP及抛物线的表达式成方程组，得： ，
解得： ， ，
∴点P的坐标为（1，1）或（4，4）．
当y＝1时，x2﹣4x+4＝1，
②解得：x
1
＝1，x
2
＝3，
∴点E的坐标为（1，1），点F的坐标为（3，1）．
分两种情况考虑：（i）当点P，Q在y轴右侧时，∵抛物线y＝x2﹣4x+4与直线y＝x交于点（1，1），
∴当1≤3﹣n≤3时，图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，解得：0≤n≤2；
（ii）当点P，Q在y轴左侧时，同 可得出，抛物线y＝x2﹣4x+4与直线y＝﹣x交于点（﹣1，﹣1）或
（﹣4，﹣4）， ①
∴当﹣1≤3﹣n≤1时，图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，解得：2≤n≤4．
综上所述：若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，n的取值范围为0≤n≤4．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，正确理解∠POQ＝45°的意义，运用数形结合的思想解决问题
是解题关键.
27. 四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接
DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
【答案】（1）补图见解析；（2） ；（3）DE＝ ，证明见解析 ．
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）设DF与AB交于点G，如图所示：由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝
∠CDA＝∠DAB＝90°，再求解∠ABE＝ 45°﹣α，再证明∠FBG＝ α，从而可得答
案；
（3）证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，再证明△HAB≌△FAD（ASA），可得∠H＝45°，
从而可得答案.
【详解】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）∠FBE＝45°．理由如下：
设DF与AB交于点G，如图所示：
由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠EDC＝ 90°﹣α，∠BCE＝90°﹣2α，
∴∠CBE＝ 45°+α，∠ADF＝ α，
∴∠ABE＝ 45°﹣α．
∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°．
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝ α
（3）DE＝ ．
证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，
由（2）得：
∠FBE＝∠FEB＝45°．
∴FB＝FE．
∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，
∴∠HAB＝∠FAD，
∵∠BFG＝∠DAG＝90°，∠BGF＝∠DGA，
∴∠FBG＝∠ADG，即∠ABH＝∠ADF，
∴△HAB≌△FAD（ASA），
∴HB＝FD，AH＝AF，∴HF＝DE，∠H＝45°．
∴HF＝ AF．
∴DE＝ AF．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，正方形的
性质，灵活应用以上知识解题是关键.
28. 对于平面直角坐标系 中第一象限内的点 和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的
垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点 满足 且 ，则称四边形 是图
形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知 ， ，则点 为线段 的
一个覆盖的特征点．
（1）已知点 ，
①在 ， ， 中，是 的覆盖特征点的为 ；
②若在一次函数 的图象上存在 的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点 为圆心，半径为1作圆，在抛物线 上存在 的覆盖的特征
点，直接写出a的取值范围 ．
【答案】（1）① ， ；② 且 ．
（2） 或 ．
【解析】的
【分析】（1）①根据覆盖 定义线段 坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断；
②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围；
（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则 为覆盖的特征点，当 时，代入抛物
线 得， ，结合图像得 ， ，在直线 的右侧y随x的增
大而增大，总存在 的点，即存在覆盖特征点综合即可．
【小问1详解】
解：①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即： 且 ，所以 ，
是覆盖的特征点，
故答案为： ， ；
②设点 为 的覆盖的特征点．依题意得： ，
当 时，结合函数图像可知，在一次函数 的图像上存在 的覆盖的特征点，
故符合题意．
当 时，如图，点 为 的覆盖的特征点．
又∵点 在一次函数 的图像上，
当直线 过点 时，即：解得： ．
∴结合函数图像可知 ．
综上所述： 且 ．
【小问2详解】
解：圆中点的横坐标最大值为3，纵坐标的最大值为5，则 为覆盖的特征点，
当 时，代入抛物线 得
，
解得： ，
结合图像得 ，即存在覆盖特征点，
当 时，此时 是一条直线，不存在符合条件点，当 时，在直线 的右侧y随x的增大而增大，总存在 的点，即存在覆盖特征点，
综合得 的范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数综合问题和新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是
图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键．
