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北京市海淀外国语实验学校 2022－2023－2 初二年级数学期中调研练
习
考试时间120分钟，满分120分
第一部分
一、单选题（每题3分，共24分）
1. 下列根式是最简二次根式的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，
由此即可求解．
【详解】解：A选项： ，是最简二次根式，故该选项符合题意；
B选项： ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C选项： ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D选项： ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选:A．
【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的性质．
2. 在 中， ， ， ，下列不能判定 为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. ， ， D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和分别判断即可．【详解】解：由 ，可知 ，故选项A不符合题意；
由 整理得： ，则 为直角三角形，故选项B不符合题意；
， ， ，则 ，故选项C符合题意；
当 时，设 ， ， ，
则 ，则 为直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根的定义和性质以及二次根式的加减法则逐项判断即得答案.
【详解】A、 ，故本选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故本选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故本选项计算正确，符合题意；
D、 ，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根以及二次根式的加减等知识，属于基础题目，熟练掌握上述基本
知识是解题的关键.
4. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是 和 ，则字母B所
代表的正方形的面积是( )A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母 B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积
差．
【详解】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形 的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的
面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
5. 如图，在四边形 中，对角线 和 相交于点O，下列条件不能判断四边形 是平行四
边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法依次进行判断即可求解．
【详解】A.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”可判定四边形 为平行四边形，故此
选项不符合题意；
B. 根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形 为平行四边形，故此选项不符合题意；
C. “一组对边平行，另一组对边相等 ”的四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
D. 根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形 为平行四边形，故此选项不符合
题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6. 如图，数轴上点A表示的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出斜边，进而即可求解．
【详解】解：∵ ,
∴所以点A表示的数为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．
7. 如图所示的圆柱形杯子的内直径为 ，内部高度为 ，小颖把一根直吸管放入杯中，要使吸管不
斜滑到杯里，则吸管的长度（整厘米数）最短是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用勾股定理解题即可．【详解】解：吸管长度为 ，
所以吸管的最短整数是 ，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
8. 如图， 中， ，点E是 的中点，若 平分 ， ，
线段 的长为（ ）
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
【答案】A
【解析】
【分析】延长 交 于F，利用“角边角”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可
得 ，再求出 并判断出 是 的中位线，然后根据三角形的中位线平行
于第三边并且等于第三边的一半可得 ．
【详解】解：如图，延长 交 于F，
∵ 平分 ，
∴
∵∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∴ ，
又∵点E为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟
记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可．
【详解】解：由式子 在实数范围内有意义可得 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义被开方数非负是解题关键．
10. 已知点P的坐标是 ，则点P到原点O的距离是______________．
【答案】5
【解析】【分析】根据勾股定理进行解答．
【详解】 的坐标是 ，
到原点 的距离 ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了两点间的距离是两点的坐标差的平方和，熟用勾股定理是解题的关键．
11. 在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________．
【答案】120°和60°
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可以得到 ， ， ，即可得到
，再根据 ，求解即可．
【详解】解：如图所示， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：60°，120°，60°，120°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质．
12. 如图，平行四边形 中，对角线 相交于点 ，过点 的直线分别交 于点 ，若平行四边形 的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．
【答案】3
【解析】
的
【分析】根据平行四边形 性质可得 ，进而可得阴影部分面积等于 的面积，即
为 面积的一半，由此可解．
【详解】解： 平行四边形 中，对角线 相交于点 ，
，
阴影部分面积等于 的面积，即为 面积的一半，
阴影部分面积为 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形是中心对称图形是解题的关键．
13. 最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义得出 ，求出即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出 是解此题
的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
14. 在平面直角坐标系中，已知点 ，则以 为顶点的平行四边形
的第四个顶点 的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的性质将点 向右平移4个单位得到 ，即可求解．
【详解】解：∵点 ， 是平行四边形，
∴ ，
将点 向右平移4个单位得到
如图所示，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
15. 如图，在 中， ， ， 、 分别平分 、 ，则 长为
______.
【答案】3【解析】
【分析】由平行四边形的性质先证明∠AEB=∠DAE，∠ADF=∠CFD，再由角平分线定义得
∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，从而证明∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，得BE=AB=5，CF=CD=5，即
可求解．
【详解】解∶∵四边形ABCD是平行四边形， ， ，
∴CD=AB=5，BC=AD=7， ，
∴∠AEB=∠DAE，∠ADF=∠CFD，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴BE=AB=5，CF=CD=5，
∴EF= ．
故答案为∶3．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证
明BE=AB，CF=CD是解题的关键．
16. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 ， ，现将 折叠，使点 与点
重合，折痕为 ，则 的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质，则 ，设 ，则 ，再根据勾股定理，即可．
【详解】由题意得， ，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，折叠的性质．
三、解答题（共52分）
17. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算，即可求解；
（2）首先根据完全平方及平方差公式进行运算，再进行加减运算，即可求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
18. 已知 中， ， ， ， ．
（1）如果 ， ，求 ；
（2）如果 ， ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据勾股定理，代入已知数据计算即可．
【小问1详解】
解：在 中， ，
由勾股定理得：
；
【小问2详解】
解：在 中，
由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
19. 图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 ，点
均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点 ， ， 为顶点画一个等腰三角形．
（2）在图②中，以点 ， ， ， 为顶点画一个面积为6的平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
的
【分析】（1）根据等腰三角形 定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）作底为2，高为3的平行四边形即可．
【小问1详解】
如图①中， 即为所求（答案不唯一）．
【小问2详解】
如图②中，四边形 即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解
题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20. 已知： ．
求作：直线AD，使得 ．
作法：如图，
①分别以点A、点C为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；
②作直线MN交AC于点E；
③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D；
④作直线AD．
所以直线AD就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，
∵ ______， ______，
∴四边形ABCD是平行四边形，（________）（填推理的依据）．
∴ （______）（填推理的依据）．
【答案】（1）作图见解析
（2）EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明，可得结论．
【小问1详解】
解：如图，直线AD即为所求；
【小问2详解】
证明：连接CD．
∵AE＝EC．BE＝ED．
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴AD∥BC（平行四边形的对边平行），
故答案为：EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．
【点睛】本题考查作图−基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作
图，属于中考常考题型．
21. 如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，求
【答案】
【解析】【分析】连接 ．在 中，勾股定理求得 ，进而证明 为直角三角形，且
，根据 即可求解．
【详解】解：连接 ．
在 中， ，
∵ ， ，
，
∵ ， ，
∴
∴ ．
为直角三角形，且 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
22. 已知，如图，在四边形 中， ，点E，F为对角线 上两点，且 ，
．求证：四边形 为平行四边形．【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明 ，得到 ，再由 ，即可由平行四边形 的判定
定理得出结论．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的
判定与性质和平行四边形的判定定理是解题的关键．
23. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图， 中，D、E分别是 、 的中点．求证： ，且 ．
方法一 方法二
证明：如图，延长 至点F，使 证明：如图，过点A作 ，过点D作直线
，连接 ． 交直线 于M，交 于N．
【答案】见解析
【解析】
【分析】方法一：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ．先证明 ，可得
， ，可证得四边形 为平行四边形，即可求证；方法二：如图，过点 作直
线 ，过点 作直线 交直线 于 ，交 于 ，根据平行四边形的性质得到
， ，根据全等三角形的性质得到 ， ，根据平行四边形的性质
得到 ， ，于是得到结论．
【详解】证明 方法一：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ．
点 为 的中点，
，， ，
，
， ，
，即 ，
点 为 的中点，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
，且 ．
方法二：方法二：证明：如图，过点 作直线 ，过点 作直线 交直线 于 ，
交 于 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
点 是 边的中点，
，
在 与 中，
，，
， ，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
， ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练
掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
24. 在等边 中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足 ，且 ．作
点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．
（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；
（2）当 ， 时，求∠BDE的度数．
【答案】（1）见解析 （2）15°
【解析】
【分析】（1）根据题意即可补全图形；然后证明 BDE≌△CEF可得CE=BD，进而可以解决问题；
（2）根据题意证明 DEF是等边三角形，可得DE△=DF，由点E，点G关于AC对称，可得EF=GF，
△∠FEC=∠FGC，所以DF=GF，进而可以解决问题．
【小问1详解】
解：如图1，即为补全的图形，
证明：在等边 中， ，
点 ，点 关于 对称，
， ，
，
，
即 ，
， ，
，
在 中，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
， ，
是等边三角形，
，
点 ，点 关于 对称，
， ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到
．
25. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点 、 的距离记作 ，如
果 、 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线 、 和 、 ，垂足分别是 、 、 、 ，直线
交 于点Q，在 中， ， ，∴
．利用上面公式解决下列问题：
（1）由此得到平面直角坐标系内任意两点 ， 间的距离公式为： ______．
（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点 ， 之间的距离为______．
（3）在平面直角坐标系中的两点 ， ，P为x轴上任一点，求 的最小值；
（4）应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值（直接写出
答案）．
【答案】（1）
（2）5 （3）
（4）
【解析】
【分析】(1)根据题意，可知 ，所以 ；
(2)直接利用两点之间距离公式，将 ， 代入公式，直接求出即可；
(3)作点B关于x轴的对称点 连接 ，直线 与x轴的交点即为所求的点P， 的最小值即为
线段 的长度，根据两点间的距离公式，进而求出 的最小值；(4)根据原式表示的几何意义是点 到点 和 的距离之和，当点 在以 和 为
端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可．
【小问1详解】
解：根据题意，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
由（1）可知平面直角坐标系内任意两点 ， 间的距离公式为：
，
∴ ， 之间的距离为 ，
故答案为：5；
【小问3详解】
作点B关于x轴对称的点 ，连接 ，直线 于x轴的交点即为所求的点P， 的最小值就是
线段 的长度，
∵点B与点 关于x轴对称，
∴点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
【小问4详解】
代数式 ，表示点 到点 和 的距离之和，由两点之间线段最短，可知点 在以 和 为端点的线段上时，其距离之和最小，
∴ ，
∴代数式 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离
问题是解题关键．
第二部分
26. 我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角
边分别是2和4，则中间小正方形的面积占大正方形面积的________．
【答案】
【解析】
【分析】设直角边分别为 ， ，根据勾股定理得到斜边平方，即可得到大正方形的面积，减去4
个三角形的面积即可得到小正方形面积，即可得到答案；
【详解】解：如图， ，
由勾股定理知， ，
所以大正方形 的面积为 ，
所以中间小正方形的面积为： ，
所以 ，所以中间小正方形的面积占大正方形面积的 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理得到大正方形的面积．
27. 使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码．嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来
产生密码．如，对于二次根式 ，计算结果为13，中间加一个大写字母X，就得到一个六位密码“
”．按照这种产生密码的方法，则利用二次根式 产生的六位密码是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出 的值，再根据题意即可得出结论．
【详解】解： ，
∴产生的六位数密码是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知算术平方根的意义是解答此题的关键．
28. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称
为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程
中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊
等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活
中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用 表示（其中，n≥1），
这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．【答案】1，1
【解析】
【分析】分别把n=1、n=2代入式子化简求得答案即可．
【详解】解：当n＝1时，
；
当n＝2时，
＝
＝1．
【点睛】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
29. 【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证
明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面
积可表示为(a+b)2，也可表示为c2+4× ab，即(a+b)2＝c2+4× ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个
直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【答案】【尝试探究】见解析；【定理应用】见解析
【解析】
【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab+ （a2+b2）＝ab+ c2，即可证
得a2+b2=c2；【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】【尝试探究】梯形的面积为S＝ （a+b）（b+a）＝ab+ （a2+b2），
利用分割法，梯形的面积为S＝S +S +S ＝ ab+ c2+ ab＝ab+ c2，
△ABC △ABE ADE
∴ab+ （a2+b2）＝ab+ c2，
∴a2+b2＝c2；
【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【点睛】本题主要考查勾股定理的验证，解题关键是利用面积相等建立等量关系，判定勾股定理成立．
