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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三 4 月阶段性练习
数学
（清华附中初21级）
一、选择题（本大题共24分，每小题3分）
1. 2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发
射，长征二号F（CZ－2F）是捆绑四枚助推器的两级运载火箭，采用N204/UDMH推进剂，起飞重量约为
480000千克，将480000用科学记数法表示应为（ ）
A. 48×105 B. 4.8×105 C. 48×104 D. 4.8×104
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，
正确确定a、n的值是解题的关键．
将 写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解： ．
故选B．
2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】解：A中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
B中图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
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3. 如图， ， ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角的运算，先求 与 的度数差即可得出 的度数，再求
与 的和即可．理解题意，利用数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的 位置判断式子符号，根据题意可得 ，且
，进而得到 ， ， ，是解决问题的关键．
【详解】解：有数轴可知， ，且 ，
∴ ， ， ，
故选：D．
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5. 若关于 的一元二次方程 有两个实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数 的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
根的判别式 ，当方程有两个不相等的实数根时， ；当方程有两
个相等的实数根时， ；当方程没有实数根时， ．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，
解得： ，
故选： ．
6. 正十二边形的一个内角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形外角的的问题，首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻
补角即可求解．正确理解内角与外角的关系是关键．
【详解】解：正十二边形的每个外角的度数是： ，
则每一个内角的度数是： ．
故选：B．
7. 不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”“2”，除数字外两个小球无其他差别，从中随机
摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字
之和为3的概率是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键．
画出树状图，找到满足题意的情况，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
所以共4种情况：其中满足题意的有2种，
所以两次记录的数字之和为3的概率是 ，
故选：C．
8. 如图 中， ， ，分别以 、 、 为半径作半圆，若记图中阴影
部分的面积为 ， 为 ，则下列关于 的图像中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】由AC+BC=8，AC=x，得到BC=8﹣x，AB= ，再表示出阴影部分的面积即可得到答
案.
【详解】解：∵AC+BC=8，AC=x，
∴BC=8﹣x．
又∵在 ABC中，∠ACB=90°，
△
∴AB=
∴S = π×( )2+ π×( )2﹣ π×( )2+ x（8﹣x）=- x2+4x，
阴影
即y=﹣ x2+4x（0＜x＜8）．
则该函数图像是开口向下的抛物线，且自变量的取值范围是0＜x＜8．
故选A
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像,勾股定理,圆的面积公式等知识，解题关键是正确的表示出阴影
部分的面积．
二、填空题（本大题共24分，每小题3分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．
根据分式有意义的条件结合已知条件列式计算即可．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，即 ．
故答案为: ．
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10. 分解因式： =__________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．
11. 写出一个大小在 和 之间的整数________．
【答案】2（答案不唯一，也可以写3）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，先估算 ， ，可得符合题意的整数k满足，
写出一个即可，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴符合题意的整数有2，3，
故答案为：2（答案不唯一，也可以写3）．
12. 若反比例函数 的图像经过点 和点 ，则 ___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函
数的解析式是解答此题的关键．
【详解】解：把点 代入 得： ，
∴ ，
把点 代入得： ，
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故答案为： ．
13. 下表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市
运动会100米短跑项目，应选择________．
甲 乙 丙 丁
平均数
11.2 11.3 11.3 11.2
（秒）
方差 5.5 5.5 5.8 5.9
【答案】甲
【解析】
【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏
离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离
平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵从平均数看，甲、丁成绩更好，
∴从甲和丁中选择一人参加竞赛，
又∵甲的方差较小，
∴选择甲参加比赛，
故答案为：甲．
14. 如图，在 中， 分别为 的中点，若 ，则
______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到 ，则 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半得到 的长．此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握
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相关定理是解题的关键．
【详解】解：∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， 为 的中点，
∴ ，
故答案为：3
15. 如图， 的圆心A的坐标是 ，在直角坐标系中， 半径为1，P为直线 上的动
点，过P作 的切线，切点为Q，则切线长 的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，特殊角的三角函数值．如图1，连接 、 ，根据切线的性质得
，则利用勾股定理得到 ，则当 最小时， 最小，如图 2，直线
与 轴交于 ，与 轴交于点 ，利用垂线段最短得到当 于 时， 最小，利
用特殊角的三角函数值，从而得到 的最小值．
【详解】解：如图1，连接 、 ，
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为切线，
，
在 中， ，
当 最小时， 最小，
直线 与 轴交于 ，与 轴交于点 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 于 时， 最小，如图2，
∵ ，
∴ ，
的最小值 ．
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故答案为： ．
16. 在矩形台球桌面 中，点A、B、C、D、E、F处为球袋，其大小不计，如图1，点M处的台球撞
击台球桌边上的点O后经过点N，台球的运行线路满足反射角等于入射角，即 ，如图2，
， ，在矩形台球桌面 的内部有P、Q两点，点Q到 、 的距离都为1，若在
图中的点P处放一台球，则该台球________（填“能”或“不能”）依次撞击 、 边后经过点Q．
若放在点P处的球能够依次撞击 、 边后经过点Q，则满足条件的所有点P构成的区域面积为
________．
【答案】 ①. 能 ②.
【解析】
【分析】由题意可知 处的球依次撞击 、 边后经过点 ，找到零界点：当球从 出发撞击
边的点 后，反射到达点 ，然后讨论当球从 出发撞击 边的点 上方时，当球从 出发撞击
边的点 下方时，是否去撞击 边，由此可知，当球从 出发撞击 、 边，球所到达的区域为四
边形 ，在根据相似三角形的判定及性质求解即可．
【详解】解：若点P处的球能够依次撞击 、 边后经过点Q，
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则反过来， 处的球依次撞击 、 边后经过点 ，
过点 作 ， ，则 ， ，
则四边形 是正方形，
∴ ，
当球从 出发撞击 边的点 后，反射到达点 ，
此时， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ， ，
当球从 出发撞击 边的点 上方时，撞击路线与 的夹角大于 ，则反射时的夹角也会大于
，则显然不会再撞击 ，故不符合题意；
当球从 出发撞击 边的点 下方时，撞击路线与 的夹角小于 ，则反射时的夹角也会小于
，则显然会再撞击 ，且再次反弹，
当球从 出发撞击点 时，显然不符合题意，
连接 并延长交 于 ，
由此可知，当球从 出发撞击 、 边，球所到达的区域为四边形 ，
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即点 从四边形 所在区域内任意位置依次撞击 、 边后都能经过点 ，
由正方形的性质可知 ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，则 ，
∴所有点 构成的区域面积为四边形 的面积，
即：所有点 构成的区域面积 ，
故答案为：能， ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质，正方形的判定及性质，能通过Q处的球依次撞
击CD、BC边后经过点P，找到点P构成的区域是解决问题的关键．
三、解答题（本题共72分，第17~19题，每小题5分，第20题6分，第21－23题，每小题
5分，第24题6分，第25－26题，每小题7分，第27－28题，每小题8分）
.
17 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角形函数值，负整数指数幂，实数的运算．代入特殊角三角形函数值，根据
实数的运算法则计算即可求解．
【详解】解：
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．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出两个不等式，再取公共部分即可．
【详解】解：
解①得： ，
解②得： ，
∴原不等式组的解集是： ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，先计算除法，再计算加法即可化简，然后把 变形为
a2+2a=2，代入化简式计算即可．熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：
=
=
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=
=
= ，
∵
∴ ，
∴原式= ．
20. 如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 交于点O， 平分 ，
过点C作 交 的延长线于点E．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定
理是解题的关键．
（1）利用平行线和角的平分线，证明 ，继而判断四边形 是平行四边形，结合
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得证．
（2）由菱形的性质得 ， ， ， ，由勾
股 定 理 可 得 ： ， 在 中 ， ， 在 中 ，
，即 ，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形．
【小问2详解】
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
由勾股定理可得： ，
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∵ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，即： ，
解得： ．
21. 初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，
售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，
有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的
人数．
【答案】一班有36名学生
【解析】
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据“两种方案费用一样”列出方程是解题的关键．
【详解】解：设一班有 名学生，
由题意可知： ，
解得： ，
答：一班有36名学生．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过
点 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
（1）先根据直线平移时 的值不变得出 ，再将点 代入 ，求出 的值，即可得到一次
函数的解析式；
（2）根据点 结合图象即可求得．
【小问1详解】
一次函数 的图象由直线 平移得到，
，
将点 代入 ，
得 ，解得 ，
一次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
把点 代入 ，求得 ，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
．
23. 新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过 亿，总票房超过 亿元．
以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a．两部影片上映第一周单日票房统计图
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b．两部影片分时段累计票房如下
上映影
2月12日—18日累计票房（亿元） 2月19日—21日累计票房（亿元）
片
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为 ；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日—21日三天内影片甲
的累计票房应超过 亿元．
【答案】（1）4.36
（2）②③ （3）8.61
【解析】
【分析】（1）影片乙单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；
（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①；
②先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式 求出甲、乙的
方差，可判断②；
③根据折线图，分别求出15日，16日，17日，18日甲与乙的差值，可判断③；
（3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可．
【小问1详解】
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解：影片乙单日票房从小到大排序为 ， ， ， ， ， ， 一共7个数据，
所以影片乙单日票房的中位数为： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，
甲的单日票房逐日增加说法不正确；
② ，
，
，
，
甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；
③甲超过乙的差值从15日开始分别为，
15日： ，
16日： ，
17日： ，
18日： ，
在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确．
综上，说法中所有正确结论的序号是②③，
故答案案为：②③；
【小问3详解】
解：乙票房截止到21日收入为： 亿，
甲票房前7天达到 亿，
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2月19日—21日三天内影片甲的累计票房至少为： 亿．
故答案为： ．
【点睛】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位
数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．
24. 根据材料提供的信息，解决下面问题．
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿
梭过程中人的高度变化忽略不计）．
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水
呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为
，水柱最高点离地面 ．
的
图3是某一时刻时，水柱形状 示意图． 为喷水管，B为水的落地点，记 长度为喷泉跨度．
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如图4，安全通道 在线段 上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入 上方的矩形区域，
则称这个矩形区域 为安全区域．
（1）在图2中，以O为原点， 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；
（2）若喷泉跨度 的最小值为 ，求喷水管 高度的最大值；
（3）在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为 ，直接写出此时安全通道
的宽度．
【答案】（1）
（2）喷水管 的高度最大值为
（3）此时安全通道 的宽度为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意可知抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，设抛物线的函数表达式为
，代入 即可求解；
（2）设抛物线解析式为： ，代入 时， ，即可求抛物线解析式，从而求
的值；
（3）求出当 时，点 落在 上，点 落在 上时两个点的横
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坐标即可求解．
【小问1详解】
解： 点 坐标为 ，点 坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线的最高点为3，
顶点坐标为 ，
设抛物线的函数表达式为 过点 ，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ．
【小问2详解】
∵喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，
∴设喷泉跨度 的最小值为 时，抛物线的函数表达式为 ，
当 时， ，得 ，解得： 或 （舍去），
则
由 ，得 ，
即：喷水管 的高度最大值为 ；
【
小问3详解】
由题意得：当点 落在 上，
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当 时， ，解得： 或 （舍去），
当点 落在 上时，
当 时， ，解得： 或 （舍去）
则， ．
即：此时安全通道 的宽度为 ．
25. 在平面内，给定不在同一条直线上的三点 ，如图所示，点 到点 的距离均等于
（ 为常数），到点 的距离等于 的所有点组成图形 ，连接点 与 的中点 ，点 在 的延长
线上，连接 ， ．
（1）
画出图形 ，并依题意补全图形；
（2）求直线 与图形 的公共点个数；
（3）连接 ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2）直线 与图形 的公共点只有 个；
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（3） ．
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定与性质，解直角三角形，掌握相
关性质是解题的关键．
（1）点 到 的距离均等于 ，则 三点共圆，可得图形 是圆心为 ，半径为 的圆；
（2）先求得 ，得到 ，加上 为半径，得出 为 切线，即可得出结论；
（3）过点 作 于点 ，四边形 是正方形，分别求出 、 ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点 到 的距离均等于 ，
∴ ，
∴ 三点共圆，
∴到点 的距离等于 的所有点都在圆心为 ，半径为 的圆上，
∴图形 是圆心为 ，半径为 的圆，如图：
【小问2详解】
解：直线 与图形 的公共点个数为 个，
连接 ，
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∵在四边形 中， ，
∴ ，
∵ ，点 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为半径，
∴ 为 切线，
∴直线 与图形 公共点个数为 个．
【小问3详解】
解：如图，过点 作 于点 ，
由（2）知 ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ．
26. 已知抛物线 ，
（1）若抛物线过点 ，求抛物线的对称轴；
（2）已知点 在抛物线上，其中 ，若存在 使 ，
试比较 的大小关系．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与 轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解
题的关键．
（1）抛物线过点 ，可知 关于对称轴对称，即可求解；
（2）设抛物线 的对称轴为 ，先求出 的取值范围，再根据函数的增减性即可
求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点 ，
∴ 关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是 ．
【小问2详解】
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解：设抛物线 的对称轴为 ，
由题知， 在 的右侧， 在 的左侧，
∵ ，存在 ，
∴点 到 大于 点 到 的距离，
∴ 到 的距离为： ，点 到 的距离为： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 都在函数的左侧，
∴ ，
∴抛物线 开口向上，在对称轴左侧函数随着 的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
27. 如图，在正方形 中，E、F分别为 ， 上的点，作 于M．
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（1）求证： ；
（2）在 上截取 ，连接 ，G为 中点，连接 ， ．
①依题意补全图形，
②用等式表示线段 和 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是
熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．
（1）根据正方形的性质及直角三角形两锐角互余即可证明结论；
（2）①根据题意补全图形即可；
②连接 并延长使得 ，利用 可证 ，再结合全等三角形的性质和正方
形的性质证明 ，进而可证明 ， 是等腰直角三角形，即可得
．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ；
【小问2详解】
解：①根据题意补全图形如图所示：
② ，
证明：连接 并延长使得 ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，则 ，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
的
由正方形 性质可知， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
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则 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，则 也是等腰直角三角形，则 ，
∴ ．
28. 在平面直角坐标系 中，关于点P和图形G给出如下的定义：若在图形G上存在两点M，N使得
，作 于Q，则称Q为P关于图形G的射影点．
（1）当 的半径为2时，
①在点 ， ， 中，关于 的射影点存在的有 ；
②点P在直线 上，若P关于 的射影点Q存在且唯一，求点P的坐标；
（2） 的圆心在x轴上，半径为 ，直线 与x轴、y轴交于点A、B．若线段 上存在点P，
使得点P关于 的射影点Q满足 ，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．
【答案】（1）① ， ；②点 的坐标为 或
（2）圆心 的横坐标 的取值范围为 或
【解析】
【分析】（1）①作出图形，过点 作两条相互垂直的直线判断即可；
②由①可知，当点 在圆内或圆上时，必存在 的射影点，但由于过点 作两条相互垂直的直线，有无
数种情况，故此时射影点 不唯一，则点 必定在圆外时，过点 作与 相切的两条切线 ， ，
分三种情况：当 时，当 时，当 时，分别进行讨论即可求解；
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（2）结合（1）可知点 在以点 为圆心， 为半径的圆内，再证 ，进而由三角形三边关系可
知， ，即 ，在根据零界点位置当点 在线段端点 处，当点 在线段端
点 处，找到符合题意的点 的位置即可求解．
【小问1详解】
解：①如图，点 在圆内，则过点 作两条相互垂直的直线，与 都有交点，则存在 的射影
点，
点 在圆上，当 是直径时， ，则存在 的射影点，
点 在圆外，作 轴，则 ，
∵ 的半径为2，
∴ 与 相切，则 ，
∴ ，
作 与 相切于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
则在 上，不存在 、 使得 ，则不存在 的射影点，
故答案为： ， ；
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②由①可知，当点 在圆内或圆上时，必存在 的射影点，但由于过点 作两条相互垂直的直线，有无
数种情况，故此时射影点 不唯一，
则点 必定在圆外时，过点 作与 相切的两条切线 ， ，
当 时，在 上不存在 、 使得 ，不符合题意；
当 时，此时恰好存在 、 使得 ，且只有一种情况（ 、 分别与两个切点
重合），
由切线性质可知， ， ，则四边形 为矩形，
又∵ ，
∴则四边形 为正方形，
∴ ，则 ，
又∵点 在 上，设 ，
则 ，解得： ，
则当 时， ，当 时， ，
∴点 的坐标为 或 ；
当 时，此时 ，即在钝角内部画一个直角有无数种情况，不符合题意；
综上，点 的坐标为 或 ；
【小问2详解】
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由（1）可知，当点 在 外，当 时，此时恰好存在 、 使得 ，且只有一
种情况（ 、 分别与两个切点重合），
由切线性质可知， ， ，则四边形 为矩形，
又∵ ，
∴则四边形 为正方形，
∴ ，则 ，
即：点 在以点 为圆心， 为半径的圆内，
连接 ，并延长交 于 ， 两点，
∵ ，
∴ ， ，
由圆周角定理可知， ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，，即： ，
∴ ，
连接 ，由三角形三边关系可知， ，即 ，
对于 ，当 时， ，当 时， ，即： ， ，
当点 在线段端点 处， ， ，由勾股定理可得 ， ，
同理， ， ，
当 在线段 、 之间时， ，
则 或 ；
当点 在线段端点 处， ， ，
则 ， ， ， ，
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当 在线段 、 之间时， ，
则 或 ；
综上，圆心 的横坐标 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查图形与坐标，切线的性质定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，
判断出点 在以点 为圆心， 为半径的圆内，求出 ，再由三边关系得到 是解决问题
的关键．
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