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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三第一学期 12 月学科适应性练习
数学
（清华附中上地学校初 21 级）
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 在平面直角坐标系xOy中绘制出下列曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形
就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
2. 在平面直角坐标系 中，下列函数的图象经过点 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象
上点的坐标特征，根据它们的坐标特征判断即可．
【详解】解：A、抛物线 经过点 ，故符合题意；
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B、双曲线 不经过点 ，故不符合题意；
C、抛物线 不经过点 ，故不符合题意；
D、直线 不经过点 ，故不符合题意；
故选：A．
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式即可确定抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
故选：C．
4. 在 中， ， 是角平分线．以点 为圆心， 长为半径作 ，则 与 的位
置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直线与圆的位置关系，先根据等腰三角形的性质得出 ，
即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解： 在 中， ， 是角平分线，
，
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以点 为圆心， 长为半径作 ，
与 的位置关系是相切，
故选：B．
5. 小明将图 案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度 ，设计出一个外轮廓为正六边
形的图案（如图），则 可以为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】由题意依据每次旋转相同角度 ，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析
即可得出答案.
【详解】解：因为每次旋转相同角度 ，旋转了六次，
且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，
所以每次旋转相同角度 .
故选：B.
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．
6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀
请 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）， 个球队比赛总场数 ，由此可得出方
程．
【详解】解：设邀请 个队，每个队都要赛 场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球
队之间的关系．
7. 如图， ， ， 是某社区的三栋楼，若在 中点 处建一个 基站，其覆盖半径为200m，则这
三栋楼中在该 基站覆盖范围内的是（ ）
A. ， ， 都不在 B. 只有 C. 只有 ， D. ， ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理证得 是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得
的长，然后与 比较大小，即可解答本题．本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的
性质，点D与圆的位置关系，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离．
【详解】解： ， ， ，
，
是直角三角形，且 ，
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点 是斜边 的中点，
， ，
如图，以 为圆心， 为半径画圆，
，
点A，B，C都不在覆盖范围内，
故选：A．
8. 不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后
放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到
红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即
事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解．
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【详解】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的频率是0.33；
故①错误；
②根据频率的稳定性可知②正确；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球 个；故③正确；
④由于每次试验的频率会发生变化，故若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”
的频率不一定是0.40．故④错误；
故选：B
二．填空题（每小题2分，共16分）
9. 已知某函数当 时，y随x的增大而减小，则这个函数解析式可以为______．
【答案】 或 或 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数和反比例函数的基本性质，根据题意可得这个函数可能是一
次函数或二次函数或反比例函数，再由函数的增减性即可得出函数解析式，熟练掌握三个函数的基本性质
是解此题的关键．
【详解】解： 题中未明确是一次函数、二次函数和反比例函数，
这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数，
当 时，y随x的增大而减小，
根据其性质可得：这个函数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 （答案不唯一）．
10. 在一个不透明袋子中有2个红球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，
则取出红球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率的求法：找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是
其发生的概率．
【详解】解：∵在一个不透明袋子中有2个红球和3个黑球，共5个球，
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∴取出红球的概率是 ．
故答案为： ．
11. 若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为： ______ （填“
”，“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】将点A，B坐标代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
【详解】解：将 ， 代入 得 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
12. 如图，将线段 绕点O顺时针旋转 得到线段 ，那么 的对应点 的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，图形与坐标，由线段 绕点
顺时针旋转 得到线段 可以得出 ， ，作 轴于 ，
轴于 ，证明 ，就可以得出 ， ，再结合 的坐标即可
求解，证明两个三角形全等是解决问题的关键．
【详解】解：∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
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∴ ， ，
∴ ．
作 轴于 ， 轴于 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
13. 关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
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【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ，即可解
出m的范围．
【详解】解：关于x的方程 有两个不相等的实数根
．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况， ，方程有两个不相等的实数根； ，方程有两个相
等的实数根； ，方程没有实数根．
14. 如图，四边形 的顶点 、 、 在 上，若 ，则 ________.
【答案】 ##100度
【解析】
【分析】利用圆周角定理及圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】如图，在优弧 上取一点D，连接 、 ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
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故答案为 ．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，学会
用转化的思想思考问题．
15. 将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B，C落在量角器所在的半圆上，且点
B，C的读数分别为 ，若该量角器所在半圆的直径为 ，则弧 的长为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查弧长的计算，连接 ，先求出 ，再根据弧长公式
计算即可．
【详解】如图，连接 ．
由题意， ，
又该量角器所在半圆的直径为 ，
∴ ，
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∴弧 的长为 ．
故答案为： ．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点 ， ， 为
的外接圆．
（1）点M的纵坐标为______；
（2）当 最大时，点P的坐标为______．
【答案】 ①. 5 ②. (4，0)
【解析】
【分析】（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可；
（2）点P在⊙M切点处时， 最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵⊙M为 ABP的外接圆，
∴点M在线段AB的垂直平分△线上，
∵A(0，2)，B(0，8)，
∴点M的纵坐标为： ，
故答案为：5；
（2）过点 ， ，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时， 最大，
理由：
若点 是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，
设 交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，
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∵∠AEB是ΔA E的外角，
∴∠AEB>∠A B，
∵∠APB>∠A B，即点P在切点处时，∠APB最大，
∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，
∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，
∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，
设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD= AB=3，BM=MP=5，
而∠POD=90°，
∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，
由勾股定理，得
MD= ，
∴OP=MD=4，
∴点P的坐标为(4，0)，
故答案为：(4，0)．
【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题
的关键．
三．解答题（共68分，第17～21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24～26题
每题6分，第27～28题每题7分）
17. 解方程： ．
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【答案】 ， ．
【解析】
【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解．
【详解】 ，
，
或 ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键．
18. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，根据 是方程 的一个根得出
，将 化简为 ，最后将 整体代入进行计算即可，
根据题意得出 是解此题的关键．
【详解】解： 是方程 的一个根，
，
，
．
19. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
【答案】（1）
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（2）1
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数
法求解析式和函数的图象特征及平移规律．
（1）直接将 代入 ，解得 的值即可求得表达式；
（2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到 轴上即可．
【小问1详解】
解：将 代入 得， ，
解得： ，
该抛物线的表达式为 ；
【小问2详解】
解： ，
该抛物线的顶点为 ，
要使抛物线与 轴只有一个公共点，即要求顶点在 轴上，
顶点纵坐标应为0，
将该抛物线向上平移1个单位后，所得抛物线与 轴只有一个公共点，
故答案为：1．
20. 如图，在 中， ， ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段
，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）若 ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
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【解析】
【分析】本题考查了作图—旋转变换，30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解决本
题的关键．
（1）根据题意，利用旋转的性质即可补全图形；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质和旋转的性质可得 ， ，再利用勾股
定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，即为补全图形，
；
【小问2详解】
解：在 中， ， ， ，
，
，
由旋转的性质可得： ， ，
，
．
21. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的
四位人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同）．活动时学生根据所抽
取的卡片上的人物来讲述该人物在书中的故事．游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先
从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片选匀后，背面向上放好，小华从剩下的3张卡片中随机抽取一张．
若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小明讲，否则由小华讲．
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（1）小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是 ；
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
【答案】（1）
（2）这个游戏公平．见解析
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率．
（1）根据题意，可以直接写出小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率；
（2）先判断，然后画出相应的树状图，再求出相应的概率即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，
小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：这个游戏公平，
理由：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中两张卡片上对应的人物为师徒关系有6种可能性，
∴两张卡片上对应的人物为师徒关系的概率为 ，
∴这个游戏公平．
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22. 如图， 为 的直径，弦 于点E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知
识．
（1）根据等弧对等角证明即可；
（2）连接 ，根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理计算出 ，然后计算 即可．
【小问1详解】
∵ 是 的直径， ，
∴ ．
∴ ；
【小问2详解】
连接 ，
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∵ ，
∴ ．
∵直径 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在
中，
∴ ，
∴ ．
23. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若 ，且此方程的两个实数根的差为3，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
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（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
【详解】（1）证明：∵一元二次方程 ，
∴
= = ．
∵ ，
∴ ．
∴ 该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程 ，
解方程，得 ， ．
∵ ，
∴ ．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性
是解题的关键．
24. 如图， 内接于 ， 为 的直径， 为 的弦， 与 交于点 ，若
；延长 至 ，使 ．
（1）求证： 与 相切；
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（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、三角形内角和定理
等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由圆周角定理可得 ，从而得到 ，由 可得 ，
从而得到 ，再由 可得 ，由三角形内角和定理得出
，即可得证；
（2）连接 ，先求出 ，得到 ， ，由圆周
角定理可得 ，设 ，则 ，由含 角的直角三角形的性质可得
，由此得出方程，解方程得出 ，即可得出答案．
【小问1详解】
证明： 为 的直径，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
为 的直径，
与 相切；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
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，
，
，
由（1）可得 ， ，
，
，
，
，
， ，
为 的直径，
，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
，
，
解得： ，
，
在 中， ， ，
．
25. 小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出
口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触
台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如
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图1和图2分别建立平面直角坐标系 ．
通过测量得到球距离台面高度 （单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离 （单位：dm）的相关数据，
如下表所示：
表1 直发式
m
表2 间发式
n
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中 ________， ________；
（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为 “间发式”模式下球第二次接
触台面时距离出球点的水平距离为 ，则 ________ （填“>”“=”或“<”）．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线 ，根据对称性即可求得 的值，
根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求
直线解析式，进而将 代入即可求解．
（2）根据题意设抛物线解析式为 ，将点 代入，待定系数法求二次函数解析式
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即可求解．
（3）令 ，即 ，得出 ，设抛物线解析式为 ，将
点 代入，得出 ，令 ，即 ，得出 ，
即可求解．
【小问1详解】
解：∵直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；由表1数据，
可知对称轴为直线 ，
∴当 时的函数值与 时的函数值相等，
∴ ，
∵在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设直线解析式为
，
将点 ， 代入得，
，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
故答案为： ， ．
【小问2详解】
“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；
由（1）可得对称轴为 ，顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，将点 代入，
得，
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解得：
∴抛物线解析式 为
【小问3详解】
解：∵“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为 ，
令 ，即 ，
解得 （舍去）或
∴ ，
∵在“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，
由表2可得抛物线的顶点坐标为
设抛物线解析式为 ，将点 代入，
得，
解得：
∴抛物线解析式为
令 ，即 ，
解得 （舍去）或
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的
关键．
26. 已知二次函数 ．
（1）求该二次函数的对称轴及顶点坐标；
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（2）点 在函数图象上，若当 时，至少存在一个点 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】（1）该二次函数的对称轴为直线 ，顶点坐标为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、将二次函数化为顶点式、二次函数的最值，熟练掌握二次函
数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）将二次函数解析式化为顶点式即可得出答案；
（2）分三种情况：当 时，此时 在二次函数对称轴的左侧， 随 的增大而增大；当
时， ，此时 ；当 时，当 时， 有最大值，最
大值为 ，分别进行求解即可得出答案．
【小问1详解】
解： ，
该二次函数的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解： ，
，二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线 ，
，
当 时，此时 在二次函数对称轴的左侧， 随 的增大而增大，
，
点 在函数图象上，若当 时，至少存在一个点 ，使得 ，
，
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，
无解，不符合题意；
当 时， ，此时 ，故不符合题意；
当 时，当 时， 有最大值，最大值为 ，
点 在函数图象上，若当 时，至少存在一个点 ，使得 ，
，
解得： ，
综上所述，点 在函数图象上，若当 时，至少存在一个点 ，使得 ， 的取值
范围为 ．
27. 如图，在 中， ， ，延长 ，点 在线段 的延长线，将线段
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）依题意补全图1，并用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明；
（2）连接 ，作 于点 ，添加一个条件： ______（填数值），使得
成立，并证明．
【答案】（1）图见解析，
（2）2，证明见解析
【解析】
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的
【分析】（1）根据题意画出图形即可，由等腰直角三角形 性质可得 ，从而得到
，由旋转的性质可得： ， ，证明
得到 ， ，从而得到
，最后由勾股定理即可得到答案；
（2）由旋转的性质可得： ， ，由等腰直角三角形的性质可得由旋转的性质可得：
， ，由旋转的性质可得： ， ，由 得出
， ，作 交 于 ，延长 至 ，使 ，连接 ，则
， ，证明 为等边三角形，得出 ， ，
证明 ，可得 ，再证明 ，可得
，从而可得出 ．
【小问1详解】
解：画出图如图所示：
，
如图，连接 ，
在 中， ， ，
，
，
由旋转的性质可得： ， ，
， ，
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，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
；
在 中， ， ，延长 ，点 在线段 的延长线，将线段 绕点 逆时
针旋转 得到线段 ，连接
【小问2详解】
解：添加的条件： ，
证明：由旋转的性质可得： ， ，
于点 ，
，
和 均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
， ，
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作 交 于 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
，
则 ， ，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
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，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的
判定与性质、含 角的直角三角形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅
助线，是解此题的关键．
28. 如果存在正数 ，使得一个图形（不含内部）上到直线 的距离为 的点恰好有三个，这个图形就称
为直线 的“三巧形”， 叫做对应的“三巧距”．注意，如果一个图形是某条直线的三巧形，三巧距可
以不唯一．
（1）有下列几个命题：
平面上任意两条直线，其中一条直线都不可能是另一条直线的三巧形．
一条直线与一个圆相交，这个圆一定是这条直线的三巧形．
一条直线与一条抛物线相交于两点，这条抛物线一定是这条直线的三巧形．
其中为真命题的有______（只填序号）；
（2）在平面直角坐标系中，函数 的图象是 轴的三巧形，且三巧距为 ，求 的值；
（3）将抛物线 在x轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，可以得到函数
的图象，记作图形 ，图形 是直线 的三巧形．
如果 ，直接写出此时的三巧距；
如果有唯一的三巧距，直接写出满足条件的 的取值范围．
【答案】（1）①②③ （2）
（3）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据题意画出草图，结合定义，逐项判断，即可求解；
（2）先化为顶点式，求得顶点的纵坐标，根据定义分类讨论，即可求解；
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（3）①根据题意画出图形，当 时，直线 ，根据题意可得 与图形 有三个交点，设
直线 的解析式为 ，联立抛物线解析式，令 ，得出 ，进而根据等面积法求得此
时的三巧距；
②设直线 交 轴分别为 ，则 ，过点 且平行于 直的线交 轴于
点 ，则 ，设 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，当有唯一的三巧距，则 ，
根据 得出 ,则 ，结合图形，有唯一的三巧距，则 ，即可求解．
【小问1详解】
解： 平面上任意两条直线，其中一条直线都不可能是另一条直线的三巧形．是真命题；
如图所示， 到直线 的距离相等，找不到第三个距离为 的点，故原命题正确；
一条直线与一个圆相交，这个圆一定是这条直线的三巧形．是真命题；
如图所示， ，
一条直线与一条抛物线相交于两点，这条抛物线一定是这条直线的三巧形．是真命题；
如图所示， ，
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故答案为：①②③．
【小问2详解】
解：∵函数 的图象是 轴的三巧形，且三巧距为 ，
当 时，顶点在 轴下方，则
解得：
当 时，顶点在 轴上方，则
解得： （舍去）
∴
【小问3详解】
①如图所示，直线 ，根据题意可得 与图形 有三个交点
直线 交 轴分别为 两点，交 于点 ，
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∵图形 是直线 的三巧形． ，
∴ 到 上的距离为 与直线 的距离，
∵抛物线 在x轴下方的部分沿 轴翻折，
当 时， ，解得：
∴当 时， ；
则直线 与 有唯一交点，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
消去 得，
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，当 时，
∴
∴
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则 到 的距离即为三巧距
②如图所示，设直线 交 轴分别为 ，则 ，过点 且平行于 的直
线交 轴于点 ，则 ，
设 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，
依题意，有唯一的三巧距，则 ，
的
当 到 距离等于 到 的距离时，即
则
∵
∴
∴
∴ ,则
∴有唯一的三巧距， ，
即 ．
【点睛】本题考查了几何新定义，点到直线的距离，平行线之间的距离，垂径定理，二次函数的性质，相
似三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键．
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