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初三第一学期 12 月学科适应性练习
数学
（清华附中上地学校初 21 级）
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 在平面直角坐标系xOy中绘制出下列曲线，其中是中心对称图形 的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系 中，下列函数的图象经过点 的是（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
.
A B. C. D.
4. 在 中， ， 是角平分线．以点 为圆心， 长为半径作 ，则 与 的位
置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
5. 小明将图 案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度 ，设计出一个外轮廓为正六边
形的图案（如图），则 可以为（ ）
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A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀
请 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图， ， ， 是某社区的三栋楼，若在 中点 处建一个 基站，其覆盖半径为200m，则这
三栋楼中在该 基站覆盖范围内的是（ ）
A. ， ， 都不在 B. 只有 C. 只有 ， D. ， ，
8. 不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后
放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到
红球”的概率是0.35；
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③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
所有合理推断 的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④
二．填空题（每小题2分，共16分）
9. 已知某函数当 时，y随x的增大而减小，则这个函数解析式可以为______．
10. 在一个不透明袋子中有2个红球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，
则取出红球的概率是______．
11. 若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为： ______ （填“
”，“ ”或“ ”）．
12. 如图，将线段 绕点O顺时针旋转 得到线段 ，那么 的对应点 的坐标是______．
13. 关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
14. 如图，四边形 的顶点 、 、 在 上，若 ，则 ________.
15. 将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B，C落在量角器所在的半圆上，且点
B，C的读数分别为 ，若该量角器所在半圆的直径为 ，则弧 的长为______ ．
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16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点 ， ， 为
的外接圆．
（1）点M的纵坐标为______；
（2）当 最大时，点P的坐标为______．
三．解答题（共68分，第17～21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24～26题
每题6分，第27～28题每题7分）
17. 解方程： ．
18. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
19. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
20. 如图，在 中， ， ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段
，连接 ．
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（1）依题意补全图形；
（2）若 ，求线段 的长．
21. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的
四位人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同）．活动时学生根据所抽
取的卡片上的人物来讲述该人物在书中的故事．游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先
从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片选匀后，背面向上放好，小华从剩下的3张卡片中随机抽取一张．
若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小明讲，否则由小华讲．
（1）小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是 ；
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
22. 如图， 为 的直径，弦 于点E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
23. 已知关于 的一元二次方程 ．
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（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若 ，且此方程的两个实数根的差为3，求 的值．
24. 如图， 内接于 ， 为 的直径， 为 的弦， 与 交于点 ，若
；延长 至 ，使 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．
25. 小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出
口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触
台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如
图1和图2分别建立平面直角坐标系 ．
的
通过测量得到球距离台面高度 （单位：dm）与球距离发球器出口 水平距离 （单位：dm）的相关数据，
如下表所示：
表1 直发式
m
表2 间发式
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n
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中 ________， ________；
（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为 “间发式”模式下球第二次接
触台面时距离出球点的水平距离为 ，则 ________ （填“>”“=”或“<”）．
26. 已知二次函数 ．
（1）求该二次函数的对称轴及顶点坐标；
（2）点 在函数图象上，若当 时，至少存在一个点 ，使得 ，求 的取值范围．
27. 如图，在 中， ， ，延长 ，点 在线段 的延长线，将线段
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）依题意补全图1，并用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明；
（2）连接 ，作 于点 ，添加一个条件： ______（填数值），使得
成立，并证明．
28. 如果存在正数 ，使得一个图形（不含内部）上到直线 的距离为 的点恰好有三个，这个图形就称
为直线 的“三巧形”， 叫做对应的“三巧距”．注意，如果一个图形是某条直线的三巧形，三巧距可
以不唯一．
（1）有下列几个命题：
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平面上任意两条直线，其中一条直线都不可能是另一条直线的三巧形．
的
一条直线与一个圆相交，这个圆一定是这条直线 三巧形．
一条直线与一条抛物线相交于两点，这条抛物线一定是这条直线的三巧形．
其中为真命题的有______（只填序号）；
（2）在平面直角坐标系中，函数 的图象是 轴的三巧形，且三巧距为 ，求 的值；
（3）将抛物线 在x轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，可以得到函数
的图象，记作图形 ，图形 是直线 的三巧形．
如果 ，直接写出此时的三巧距；
如果有唯一的三巧距，直接写出满足条件的 的取值范围．
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