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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市第八十中学 2023-2024 学年度九年级 12 月检测
数学试卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 下面美丽的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的
关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合图形的特点选出即可．
【详解】解：A、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、图形不 是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2. 若 ，则锐角 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．并且根据特
殊的三角函数值求解．
【详解】 为锐角， ，
．
故选：A．
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3. 如图，A，B，C是 上的三个点，如果 ，那么 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得结果．
【详解】∵在 中， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，并能找出同弧所对的圆周角和圆心角是解题的关键．
4. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质：抛物线 的顶点坐标 ，据此即可作答．
【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标是
故选：D
5. 已知 的半径为 ，点 在 内，则线段 的长度可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（ 为圆半径， 为点到圆心距离）当 ，点在圆内；当
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，点在圆外；当 ，点在圆上；据此作答即可．
【详解】解：∵ 的半径为 ，点 在 内，
∴线段 的长度 ．
故选：A．
6. 如图，在 中，以C为中心，将 顺时针旋转 得到 ，边 ， 相交于点F，若
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 绕点C顺时针旋转 得到 ，得 ， ，于是得到结
论．
【详解】解：∵将 绕点C顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7. 在平面直角坐标系中，将抛物线 平移，可以得到抛物线 ，下列平移的叙述正确的
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是（ ）
A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度
C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】将 转化为顶点式，再根据抛物线的平移规则，进行判断即可．
【详解】解： ，它的图象是由 的图象向左平移一个单位得到的；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，是解题的关
键．
8. 滑雪运动员苏翊鸣一次滑雪过程中，第 秒时的高度为 米，且高度与时间的关系为
，若苏翊鸣在第2秒与第5秒时的高度相等，则下列时间苏翊鸣所在高度最高的是
（ ）
A. 第1秒 B. 第5秒 C. 第6秒 D. 第4秒
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性， 此时 的值相等，故
在 等于对称轴直线 时，苏翊鸣所在高度最高的，根据 的值越靠近对称轴时，所对应的函数值越
大，即可作答．
【详解】解：∵
∴开口向下，
∵苏翊鸣在第2秒与第5秒时的高度相等，
∴在 等于对称轴直线 时，苏翊鸣所在高度最高
观察 四个选项， 最靠近对称轴直线
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∴则下列时间苏翊鸣所在高度最高的是第4秒．
故选：D．
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称 的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解
题的关键．
10. 方程 的解是________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】把方程化为 ，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解： ，
∴ ，
解得： ， ；
故答案为： ，
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
11. 把二次函数 变形为 的形式， ______， ______．
【答案】 ①. 1 ②. 3
【解析】
【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题
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的关键；将 转化为顶点式，即可得解．
【详解】解： ，
∴ ， ，
故答案为：1，3
12. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于F，BE=3,EC=2，S =10，则S
AFD BEF
△ △
=____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目中的条件和所求问题，由三角形相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方可以解答
本题．
【详解】∵在▱ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于F，BE=3，EC=2，
∴AD=BC，BC=BE+EC=5，AD∥BC，
∴△AFD∽△EFB，
∴ ，
∴ ,
∵S =10，
AFD
△
∴S = ，
BEF
△
故答案为 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求
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问题需要的条件，利用三角形的相似解答问题．
13. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：
___________， ___________．
【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 1（答案不唯一）
【解析】
【分析】先根据根的判别式求出b和c的关系，再取数作答即可．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
即 ，
移项得 ，
当 即 时， ，
故答案为2，1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键．当 时，一
元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元
二次方程没有实数根．
14. 随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598
“正面向上”的频率
0.51 0.51 0.51
0.520 0.529 0.522 0.521 0.520
1 8 9
下面有3个推断：
①抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558
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次．
其中所有合理推断的序号是______．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用
频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据用频率估计概率以及频率和概率
的概念判断．
【详解】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，但“正面向上”的概率不一定是
0.511，本小题推断不合理；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是0.520，本小题推断合理；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558
次，本小题推断合理；
故答案为：②③．
15. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边
的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边 的边
长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．
根据等边三角形的性质及弧长公式 求解即可．
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【详解】解：∵等边三角形 的边长为3， ，
∴ ，
∴该“莱洛三角形”的周长 ，
故答案为： ．
16. 在平面直角坐标系 中，一个图形上的点都在一边平行于 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形
中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数 的图象（抛物线中
的实线部分），它的关联矩形为矩形 ．若二次函数 图象的关联矩形恰
好也是矩形 ，则 ________．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意求得点 ， ， ，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可
求解．
【详解】由 ，当 时， ，
∴ ，
∵ ，四边形 是矩形，
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∴ ，
①当抛物线经过 时，将点 ， 代入 ，
∴
解得：
②当抛物线经过点 时，将点 , 代入 ，
∴
解得：
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，17题4分，18、19、21、22题每题5分，20、23、24、25、26
题每题6分，27、28题每题7分）
17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解： ，
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，
解得 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 ，点 ．
（1）以点 为中心，把 逆时针旋转 ，画出旋转后的图形 ；
（2）在（1）中的条件下，
① 扫过的面积为______（结果保留 ）；
②写出点 的坐标为______．
【答案】（1）见解析 （2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转 得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）①根据扇形面积公式列式计算即可；
②根据（1）中所作图形可得．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
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；
【小问2详解】
解：①∵ ， ，
∴ 扫过的面积为 ，
故答案为： ；
②由图知点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及扇形面积公式．
19. 不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其它差别，小球上分别标有汉字“我”、
“爱”、“八”、“十”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“爱”字的概率为______；
（2）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列表法或树形图法求两次摸到的小球上
的汉字一个是“八”，一个是“十”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放
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回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：依题意，随机摸出一个小球，摸到“爱”字的概率为 ，
【小问2详解】
解：列表如下：
我 爱 八 十
我 （我，我） （爱，我） （八，我） （十，我）
爱 （我，爱） （爱，爱） （八，爱） （十，爱）
八 （我，八） （爱，八） （八，八） （十，八）
十 （我，十） （爱，十） （八，十） （十，十）
由表知，共有16种等可能结果，其中两次摸到的球上的汉字，一个是“八”，一个是“十”的有2种结果，
所以两次摸到的球上的汉字，一个是“八”，一个是“十”的概率为 ．
20. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若 ，且此方程的两个实数根的差为3，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
【详解】（1）证明：∵一元二次方程 ，
∴
= = ．
∵ ，
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∴ ．
∴ 该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程 ，
解方程，得 ， ．
∵ ，
∴ ．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性
是解题的关键．
21. （2016内蒙古包头市）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的
宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度．
【答案】（1） ；（2）横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
【解析】
【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为 xcm，根据“三条彩条面积=横彩条面积
+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；
（2）根据“三条彩条所占面积是图案面积的 ”，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解即可．
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【详解】（1）根据题意可知，横彩条的宽度为 xcm，
∴y=20× x+2×12•x﹣2× x•x=﹣3x2+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；
（2）根据题意，得：﹣3x2+54x= ×20×12，
整理，得：x2﹣18x+32=0，
解得：x=2，x=16（舍），
1 2
∴ x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
【点睛】此题考查了根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．
22. 如图， 内接于 ，高 经过圆心 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为5，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂径定理可得 ，从而得到 垂直平分 ，由线段垂直平分线的性质即可得证；
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（2）由垂径定理可得 ，由勾股定理可得 ，从而得到 ，最后根
据正切的定义进行计算即可．
【小问1详解】
证明： 于 ，
，
垂直平分 ，
；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
，
于 ， ，
，
的半径为5，
，
，
，
．
23. 如图，已知 ，如何等分 ？下面给出两种作图方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程
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方法一：①作射线 ；
②作 的平分线 ，与 交于点 ；点 即为所求作．
证明： 平分
（______）（填推理的依据）．
方法二：①连接 ；
②作线段 的垂直平分线 ，直线 与 交于点 ；点 即为所求作．
证明： 垂直平分弦
直线 经过圆心 ，
（______）（填推理的依据）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直定理、线段垂直平分线的性质和圆心角、
弧、弦的关系．
方法一：根据几何语言画出几何图形，然后根据圆心角、弦、弧的关系解决问题；
方法二：根据几何语言画出几何图形，然后根据垂径定理解决问题．
【详解】证明：方法一：如图1，
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∵ 平分
∴
（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）；
方法二：如图2，
∵ 垂直平分弦 ，
∴直线 经过圆心O，
（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所的弧）．
24. 如图，P为 外一点， ， 是⊙O的切线，A、B为切点，点C在 上，连接 、 、
．
（1）求证： ；
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（2）连接 ，若 ， 的半径为5， ， 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）10
【解析】
的
【分析】（1）过 作 于 ，得到 ，根据切线 性质得到 ，根据余
角的性质得到 ，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接 ，延长 交 于 ，根据切线的性质得到 ， ，根据矩形的性质得到
， ，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：过 作 于 ，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ，延长 交 于 ，如图所示：
∵ ， 是 的切线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
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解得： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线
是解题的关键．
25. 小军老师不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他
对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴上，球网 与 轴的水平距离
，击球点 在 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似
满足一次函数关系 ；若选择吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足二
次函数关系 ．
（1）求点 的坐标和 的值．
（2）小军老师分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．则球网 的高度范围______ ；
（3）要使球的落地点到 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】（1） ；
（2）小于
（3）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【解析】
【分析】（1）在一次函数上 ，令 ，可求得 ，再代入
即可求得 的值；
（2）分别求出当 时，一次函数和二次函数值，即可得出答案；
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（3）由题意可知 ，令 ，分别求得 ， ，即可求得落
地点到 点的距离，即可判断谁更近．
【小问1详解】
解：在一次函数 ，
令 时， ，
∴ ，
将 代入 中，可得： ，
解得： ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴二次函数解析式为： ，
∵ ，
∴把 分别代入 和 中，得：
，
，
∴球网 的高度范围为小于 ．
【小问3详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
选择扣球，则令 ，即： ，
解得： ，
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即：落地点距离点 距离为 ，
∴落地点到C点的距离为 ，
选择吊球，则令 ，即： ，
解得： （负值舍去），
即：落地点距离点 距离为 ，
∴落地点到C点的距离为 ，
∵ ，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
26. 已知抛物线 的对称轴为直线 ．
（1）若点 在抛物线上，求 的值
（2）若点 在抛物线上；
①当 时，求 的取值范围；
②若 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】26.
27. ① 或 ；②
【解析】
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性
质是本题解题的关键．
（1）将点 代入抛物线表达式得： ，则 ，即可求解；
（2）①当 时， ，即可求解；当 时， 即 ，，同理可解；
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②将点 代入抛物线表达式得：整理得到 ，进而求解．
【小问1详解】
解：将点 代入抛物线表达式得： ，
则
【小问2详解】
解：①当 时， ，
则抛物线的表达式为： ，
顶点坐标 为
∵点 在抛物线上
当 时，
解得： ；
当 时， 即 ，
解得： ，
故 或 ；
②∵点 在抛物线上，
∴ 在对称轴的右边，且 随 的增大而增大，
∴
将点 代入抛物线表达式 得：
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得 ，
由 ，整理得
则 ，
∵ ，
则 ，
∵
则 ，
则
则 ，
综上
27. 将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，继续旋转 得到线段 ，连接
，
（1）连接 ，如图1，若 ，则 的度数为______；（直接写出结果）
（2）如图2，以 为斜边作直角三角形 ，使得 ，连接 ．若 ，
求 的值．
（3）在（2）条件下，连接 ，交 于 点， ，直接写出 的长______．
【答案】（1）30°；
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（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图形旋转的性质可知 ，再由圆周角定理即可得出结论；
（2）过点 于点M，连接 ，先根据 定理得出 ，故可得出 ，
，所以 是等边三角形．根据 可知 ．故可得
出点A、C、D在以M为圆心， 为半径的圆上．由圆周角定理可得出结论；
（3）连接 ，交 于 点，过点F作 ,先求出 ，再利用
， ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵线段 由 旋转而成，
∴ ．
∴点B、C、D在以A为圆心， 为半径 的圆上．
∴ ．
故答案为：30°；
【小问2详解】
过点A作 于点M，连接 ．
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则 ．
在 与 中，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴点A、C、D在以M为圆心， 为半径的圆上．
∴ ．
【小问3详解】
连接 ，交 于 点，过点F作 ,
由（2）可知： ， ， ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线及圆周角定理，解直角三角
形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决
问题．
28. 在平面直角坐标系 中，有不重合的两个点 与 ，若 为某个直角三角形
的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与 轴或 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两
条直角边的边长之和称为点 与点 之间的“折距”，记作 或 ，特别地，当 与某条坐标轴平
行（或重合）时，线段 的长是点 与点 之间的“折距”．例如，如图，点 ，点 ，此
时 ．已知 为坐标原点，解答下列问题：
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（1）①若点 ，则 ______；
②若点 是以 为圆心，2为半径的圆上任意一点，则 的最大值是______．
（2）若一次函数 的图象分别交 轴， 轴于点 ，点 是线段 上一点，求 的值；
（3）已知点 ，在 轴上有一个动点 ，若以 为圆心，半径为1的 上有且只有两个点到
点 的折距为3，请直接写出 的取值范围______．
【答案】（1）①5②
（2）2 （3）t的取值范围为 或
【解析】
【分析】（1）①由“折距”的定义求解即可；
②由“折距”的定义得：点Q在一，三象限的角平分线上或二、四象限的角平分线上时， 的值最大值
为 ；
（2）由一次函数求出 ，设 ，则 ，再由“折距”的定义
和绝对值的定义求解即可；
（3）记 上有且只有两个点到点 的折距为3的点为点N，点N在 最上方时，由题意得N为
或 ，此时 或 ，以 为对角线作正方形 ，则与点M的“折距”为3的点在正方
形 的各边上，则点N的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆与正方形 的交点，再分别求
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出在圆与 边的交点上t的最小值与最大值，同理在圆与 边的交点上t的最大值与最小值，即可得
出结论．
【小问1详解】
解：①如图1所示：
∵点 ，
∴以O，P为直角三角形的两个锐角顶点的直角三角形 的两条直角边长为3和2，
∴ ，
故答案为：5；
②当点Q在一，三象限的角平分线上或二、四象限的角平分线上时，
如图所示：
的值最大，最大值为
【小问2详解】
解：∵一次函数 的图象分别交x轴、y轴于点A、B，
∴ ，
∵点P是线段 上一点，
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∴设 ，
则 ，
∴ 的值 ；
【小问3详解】
解：如图2，记 上有且只有两个点到点 的折距为3的点为点N，
N是以 为圆心，1为半径的 上任意一点，
当点N在 最上方时，
∵点 ， ，
∴N为 或 ，
此时 或 ，
以 为对角线作正方形
则与点M的“折距”为3的点在正方形 的各边上，
∴则点N的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆与正方形 的交点，
∵ 轴，
∴ 与x轴的夹角的锐角值为 ，
∴在圆与 边的交点上t的最小值为 ，
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同理：t的最大值为 ，
同理： 与x轴的夹角锐角值也为 ， 与x轴的交点为 ，
∴在圆与 边的交点上时，t的最大值为 ，最小值为 ，
∴t的取值范围为 或 ．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆的性质、新定义“折距”、一次函数的性质、坐标与图形性质等
知识；本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题，属于中考压轴题．
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