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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
九上限时 14
一、单选题（每题2分）
1. 下列图形中,是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别．理解中心对称图形定义是解出本题的关键．根据题意对每个选项
进行识别即可得出答案．
【详解】解:∵旋转 后能与自身重合的图形即为中心对称图形,
∴A、旋转 后不能与自身重合，即A选项不是中心对称图形;
∴B、旋转 后不能与自身重合，即B选项不是中心对称图形;
∴C、旋转 后能与自身重合，即C选项是中心对称图形;
∴D、旋转 后不能与自身重合，即D选项不是中心对称图形;
故选:C．
2. “有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接，可以组成三角形”这一事件是（ ）
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件
【答案】B
【解析】
【分析】考查事件 分的类以及三角形的三边关系，事件分为必然事件，随机事件和不可能事件，根据它们
发生的可能性大小判断即可.
【详解】解：“有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接，可以组成三角形”这一事件是随机事件，
故选：B．
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3. 已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图像的对称轴为直线 B. 图像的顶点坐标为
C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二
次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：A、图像的对称轴为直线 ，则错误，故不符合题意；
B、图像的顶点坐标为 ，则错误，故不符合题意；
C、函数的最大值是 ，则正确，故符合题意；
D、因为抛物线的开口向下，所以二次函数没有最小值，则错误，故不符合题意；
故选C．
4. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 本 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 的 定 义 ， 一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 别 式 ． 熟 练 掌 握
有两个不相等的实数根，则 是解题的关键．
由题意知， 且 ，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知， 且 ，
解得， 且 ，
故选：D．
5. 如图， 是 的直径，点 在 上，若 ，则 的度数是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半”．根据邻补角的性质求得 的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可
求得 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
6. 从标有2，3，4，5四个数字的卡片中同时抽取两张，记其中一张卡片上的数字为x、另一张卡片上数字
为y，这样构成点P的坐标 ，那么点P落在双曲线 点上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意抽两次且属于无放回的抽样，利用列举法即可求出．
【详解】解：根据题意，设所有抽到的可能的抽法有∶
共有12种，其中这样构
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成点P的坐标 ，那么点P落在双曲线 点上的有2种，
∴点P落在双曲线 点上的概率为 ．
故选：D
【点睛】本题考查列举法出求基本事件数及事件发生的概率，求解的关键是用列举法不重不漏的列举出事
件所包含的基本事件数，再利用公式求概率．
7. 如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的 ，
折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（ ）
A. 折扇 B. 圆扇 C. 一样大 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】分别利用扇形面积公式和圆的面积公式求出两把扇子的扇面面积，然后比较即可．
【详解】解：折扇的扇面面积为为：
圆扇扇面的面积为
∵
∴折扇的扇面面积大．
故选A．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、圆的面积公式等知识点，牢记扇形的面积公式是解答本题的关
键．
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8. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段 上移动，点A，
B的坐标分别为 ， ，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】其顶点P在线段 上移动，点A，B的坐标分别为 ， ，分别求出对称轴过点A和B
时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时点P和点B重合，即抛物线的对称轴为： ，
N点坐标为 ，则M点坐标为 ，
点P和点A重合，点M的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为： ，
N点坐标为 ，则M点的坐标为 ，
点M的横坐标的最小值为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平
行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
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【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于
原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
10. 方程 的根为______．
【答案】
【解析】
【分析】移项后再因式分解求得两根即可；本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，熟练掌握因式分
解的方法是本题的关键．
【详解】解： ，
，
或 ,
解得 ，
故答案为： ．
11. 写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．
【答案】y＝x2+2x（答案不唯一）．
【解析】
【分析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．
【详解】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），
把a＝1代入，得y＝x2+2x．
故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．
12. 如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园 ，其中一边 靠墙，其余的三边 ，
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， 用总长为40米的栅栏围成．设矩形 的边 米，面积为S平方米．
（1）活动区面积S与 之间的关系式为____________；
（2）菜园 最大面积是____________平方米．
【答案】 ①. ②. 200
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，
（1）表示出 ，由矩形面积公式可得函数关系式；
（2）把面积S配成顶点式，由二次函数性质可得答案．
【详解】解：（1）由题意得： ，
∴ ，
∵ ，解得 ，
∴活动区面积S与 之间的关系式为 ；
解：（2）由（1）得：活动区面积S与 之间的关系式为 ，
∵ ，
∴当 时，S取最大值200，
∴菜园 最大面积是200平方米；
13. 如图， ， ， 是 的切线， ， ， 为切点，若 ， ，则 的长为
______．
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【答案】3
【解析】
【分析】此题考查切线长定理，由 与 相切于点 、 与 相切于点 ，可得 ，同
理得 ，再由 求得结果．熟练运用切线长定理解决问题是解题的关键．
【详解】解： 与 相切于点 、 与 相切于点 ，
，
，
，
与 相切于点 、 与 相切于点 ，
，
的长为3，
故答案为：3．
14. 小黑和小白妈妈特别喜欢和他们做游戏，有一次他们玩扑克牌游戏，妈妈从图中扑克牌中拿了一张牌，
告诉了儿子小黑 数字，女儿小白 花色，以下是 、 两个人的对话：
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A：我不知道这张牌
B：我早知道你不知道
A：我现在知道这张牌了
B：我也知道了．
请问小黑和小白妈妈拿的那张牌是 _____．
【答案】方块
【解析】
【分析】根据题目条件，进行推理，逐一排除，即可．
【详解】∵ 我不知道这张牌可知：在所有牌中，这张牌为数字且不同花色的不止一张；
∴仅剩 与 ，
∵ 我早知道你不知道可知，牌的花色为方块，
∴只能是方块 ，
故答案为：方块 ．
【点睛】本题考查了概率的知识，灵活运用排除法是解题的关键．
15. 农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机
各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
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种子数量 100 200 500 1000 2000
出芽种子数 96 165 491 984 1965
A
发芽率 0.96 0.83 0.98 0.98 0.98
出芽种子数 96 192 486 977 1946
B .
发芽率 096 0.96 0.97 0.98 0.97
下面有三个推断：①在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子；②当实验种子数里为
100时，两种种子的发芽率均为0.96所以它发芽的概率一样；③随着实验种子数量的增加，A种子出芽率
在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98．其中不合理的是 _____．
（只填序号）
【答案】②
【解析】
【分析】根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.
【详解】①由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种
子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以①
中的说法是合理的.
②由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据
可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以②中的说法不合理；
③由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A种种
子发芽的概率是98%，所以③中的说法是合理的；
故答案为：②
【点睛】本题考查了根据频率估计概率，理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题
的关键.
16. 我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．
例如求方程 的正数解的步骤为：
（1）将方程变形为 ；
（2）构造如图1所示的大正方形，其面积是 ，其中四个全等的矩形面积分别为 ，中
间的小正方形面积为 ；
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（3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即 ；
（4）由此可得方程： ，则方程的正数解为 ．
根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③
中，能够得到方程 的正数解的构图是_____（只填序号）．
【答案】②
【解析】
【分析】按照例题正数解的步骤：方程 可变形为 ，即可得出方程
，则方程的正数解为 ，再结合图形判断即可．
【详解】解：方程 可变形为 ，
构造的大正方形，其面积是 ，其中四个全等的矩形面积分别为 ，中间的小正方形面积
为 ；
大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即 ；
的
由此可得方程： ，则方程 正数解为 ，
能够得到方程 的正数解的构图是②，
故答案为：②．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、矩形面积的计算、正方形面积的计算等知识，正确理解求一元
二次方程正数解的几何解法是解题的关键．
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三、解答题（共68分，第17题每小题3分，第18—21题，每题5分，第22题6分，第23
题4分，第24—26题，每题6分，第27-28题，每题7分）.解答应写出文字说明、演算步摖
或证明过程.
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】17. ，
18. ，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用直接开平方法法解一元二次方程；
（2）运用公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
∴ ，
解得： ， ；
【小问2详解】
，
，
方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
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解得： ， ．
18. 已知抛物线 中的x，y满足下表：
0 1 2 3
0 3 4 3
（1）直接写出m的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当 时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、对称性及与一元二次不等式的关系．从表格数据得出二次函
数的相关性质是解题关键．
（1）由表格数据得出抛物线的对称轴，即可求解；
（2）把 ， 代入 ，即可建立方程组求解；
（3）由表格数据可知：当 和 时， ，结合抛物线的开口方向即可求解．
【小问1详解】
解：由表格数据可知：抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 的对称点为 ，
∴ ，
【小问2详解】
解：把 ， 代入 得：
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解得：
所以抛物线解析式为 ．
【小问3详解】
解：由表格数据可知：当 和 时， ，
∵抛物线开口向下，
∴当 时， 或 ．
19. 若 是关于x的一元二次方程 的根，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，先利用乘法公式展开、合并得到原式 ，利用一元二
次方程根的定义得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：
，
∵ 是关于x的一元二次方程 的根，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
20. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如
图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．
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【答案】该门洞的半径为 ．
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
设圆心为点O，洞高为 ，入口宽为 ，门洞的半径为 ，
根据题意，得 ， ，
根据勾股定理，得 ，
解得 ，
答：该门洞的半径为 ．
21. 已知关于 的一元二次方程 （ 为实数），
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（2）若 为整数，且该方程有一个根是负整数，求 的值．
【答案】（1） 或 且
（2） 的值为
【解析】
【分析】（1）运用一元二次方程的根的判别式“ ”，解不等式即可求解；
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（2）运用求根公式分别计算出方程的两个根据，根据方程有一个根是负整数，不等式的性质即可求解；
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元一次不等式，掌握根的判别式，求根公式，求不等式
的解集是解题的关键．
【小问1详解】
解：关于 的一元二次方程 （ 为实数），
∴ ， ， ，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，整理得， ，
∴ ，解得， 或 ，
∵是关于 的一元二次方程，
∴ ，解得， ，
∴ 的取值范围为： 或 且 ．
【小问2详解】
解：关于 的一元二次方程 （ 为实数），
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ， ，
∵方程有两个不相等的实根，且该方程有一个根是负整数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的值为 ；
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22. 已知： 和圆外一点 ，求作：过点 的 的切线．
作法：①作射线 ，交 于点 ， ；
②以 为圆心， 为半径作 ，以 为圆心，
的长为半径画弧交 于点 ；
③连接 ， ， 交 于点 ；
④作直线 ．
所以直线 为 的切线．
（1）使用直尺和圆规进行尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明．
证明： ， ，
．
，
． 填推理的依据
半径 ．
直线 为 的切线．( )(填推理的依据)
【答案】（1）见解析 （2）三线合一；经过半径的外端，与半径垂直的直线是圆的切线
【解析】
【分析】本题考查作图一复杂作图，切线的判定，等腰三角形的性质等知识；
（1）根据作法要求画出图形即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一的思想可得 ，进而即可得证．
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【小问1详解】
解：根据题意作图如下：
【小问2详解】
证明： ， ，
，
，（三线合一）
半径 ．
直线 为 的切线（经过半径的外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
23. 如图，在等边 中，点 是 边上一点，连接 ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转
后得到 ，连接 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定．明确全等三角形的判定条件是
解题的关键．
由 是等边三角形，可得 ， ，由旋转的性质可知， ，
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，则 ， ，证明 即可．
【详解】证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
由旋转的性质可知， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
24. 如图， 内接于 ， 为 的直径， 为 的弦， 与 交于点 ，若
；延长 至 ，使 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、三角形内角和定理
等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由圆周角定理可得 ，从而得到 ，由 可得 ，
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从而得到 ，再由 可得 ，由三角形内角和定理得出
，即可得证；
（2）连接 ，先求出 ，得到 ， ，由圆周
角定理可得 ，设 ，则 ，由含 角的直角三角形的性质可得
，由此得出方程，解方程得出 ，即可得出答案．
【小问1详解】
证明： 为 的直径，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
为 的直径，
与 相切；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
，
，
，
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由（1）可得 ， ，
，
，
，
，
， ，
为 的直径，
，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
，
，
解得： ，
，
在 中， ， ，
．
25. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的
两墙 、 之间悬挂一条近似抛物线 ，如图2所示，已知墙 与 等高，且
、 之间的水平距离 为8米．
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（1）如图2，两墙 、 的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到
墙 距离为3米，使抛物线 的最低点距墙 的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
【答案】（1）3；
（2）点M到地面的距离为2.25米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函
数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式．
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，再把 代入解析式即可求解．
【小问1详解】
由题意得，抛物线的对称轴为 ，
则 ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ，
∴点 ，
当 时， ，
故答案为：3；
【小问2详解】
设抛物线的表达式为 ，
将点A的坐标代入上式得 ，
解得 ，
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∴抛物线的表达式为 ，
当 时， （米），
∴点M到地面的距离为2.25米．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当抛物线 经过点 时，
①求此时抛物线的表达式；
的
②点 ， 在抛物线上，且位于对称轴 两侧，当 时，求n的取值范围．
【答案】（1）该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）①此时抛物线的表达式为 ；②
【解析】
【分析】（1）配成顶点式，即可求解；
（2）①将点 代入 ，即可求解；
②分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
【小问1详解】
解： ，
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∴该抛物线的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：①将点 代入 ，得 ，
解得 ，
此时抛物线的表达式为 ；
②若点 在对称轴直线 的左侧，点 在对称轴直线 的右侧时，
由题意可得 ，
∴ ；
若点 在对称轴直线 的左侧，点 在对称轴直线 的右侧时，
由题意可得 ，
∴不等式组无解．
综上所述： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思
想解决问题是本题的关键．
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