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初二第二学期期中试卷
数 学
（清华附中初22级）
一、选择题（本题共24分，每题3分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图象不能反映 是 的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义，设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的
值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，一一排查即可．
【详解】解： 、当 取x 0一值时， 有两个值与它对应， 不是 的函数，故选项 符合题意；
、当 任取一值时， 有唯一与它对应的值， 是 的函数，故选项 不合题意；
、当 任取一值时， 有唯一与它对应的值， 是 的函数，故选项 不合题意；
、当 任取一值时， 有唯一与它对应的值， 是 的函数，故选项 不合题意；
故选择： ．
【点睛】本题考查识别图像反映 是 的函数为问题，掌握函数的定义是解题关键．
2. 若一次函数 的图像经过点 和点 ，当 时， ，则m的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的增减性，根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当 时，y随
x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小．
【详解】解： 当 时， ，
一次函数 的 随x的增大而减小，
则 ，解得 ．
故选：C ．
3. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计
的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A. 16，15 B. 16，15.5 C. 16，16 D. 17，16
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数
（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位数
和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：16出现了10次，出现的次数最多，则众数是16；
把这组25个数据从小到大排列，第13个数是16
则这组数据的中位数是16；
故选C．
4. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，
不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE
【答案】B
【解析】
【分析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解
题的关键．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 与直线 之间，则a的取值范
围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出当 在直线 上时 的值，再计算出当 在直线 上时 的值，即可得
答案．
【详解】解：当P在直线 上时， ，
当P在直线 上时， ，
则 ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握番薯函数图象经过的点，必能使解析式
左右相等．
6. 在5次英语听说机考模拟练习中，甲、乙两名学生的成绩（单位：分）如下：
甲 32 37 40 34 37
乙 36 35 37 35 37
若要比较两名学生5次模拟练习成绩谁比较稳定，则选用的统计量及成绩比较稳定的学生分别是（ ）
A. 众数，甲 B. 众数，乙 C. 方差，甲 D. 方差，乙
【答案】D
【解析】
【分析】判断成绩的稳定性，选用的统计量是方差，再计算出方差比较即可．
【详解】解：判断成绩的稳定性，选用的统计量是方差，
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学科网（北京）股份有限公司＝ （32+37+40+34+37）＝36（分），
＝ （36+35+37+35+37）＝36（分）；
＝ [（32﹣36）2+（37﹣36）2+（40﹣36）2+（34﹣36）2+（37﹣36）2]＝7.6，
＝ [（36﹣36）2+（35﹣36）2+（37﹣36）2+（35﹣36）2+（37﹣36）2]＝0.8，
7.6＞0.8，
所以乙的成绩更稳定，
故选：D．
【点睛】本题考查方差与平均数，一般地设n个数据，x，x，…x 的平均数为 ，则方差S2＝ [（x﹣
1 2 n 1
）2+（x﹣ ）2+…+（x﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
2 n
熟练掌握方差的定义是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在 轴上，且 ， ，则正方
的面积是（ ）
.
A 13 B. 20 C. 25 D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】作 轴于M．只要证明 ，推出 ，由 ，
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学科网（北京）股份有限公司，推出 ，推出 ，再利用勾股定理求出 ，最后求面积即可．
【详解】解：作 轴于 ．
四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
正方形 的面积 ．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，正
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学科网（北京）股份有限公司确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键．
8. 如图，在正方形 中，点P是对角线 上一点（点P不与B、D重合），连接 并延长交
于点E，过点P作 交 于点F，连接 交 于点G，给出四个结论：①
；② ；③ ；上述结论中，所有正确结论的序号是
（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】取 的中点 ，连接 ，利用直角三角形性质可得 ，即 ，
四点共圆，再运用勾股定理即可判断结论①；将 绕点 顺时针旋转 得到 ，可证得
，即可判断结论②；连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于
，则四边形 是矩形，可证得 ，再结合等腰直角三角形性质即可判断结论
③；
【详解】解：如图1，取 的中点 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，四边形 是正方形，
，
，
，
四点共圆，
，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ；故①正确；
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，如图2，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
共线，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；故②正确；
连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，则四边形 是矩形，如图3，
在 和 中，
，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的
压轴题．
二、填空题（本题共24分，每题3分）
9. 在函数y= 中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】 .
【解析】
【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使
在实数范围内有意义，必须 .
10. 请写出一个图象平行于直线 ，且过第一、二、四象限的一次函数的表达式________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】设一次函数表达式为： ，由图象平行于直线 可得 ，由图象经过第一、
二、四象限，可得 ，由此即可得到答案．
【详解】解：设一次函数表达式为： ，
图象平行于直线 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司图象经过第一、二、四象限，
，
，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数 （ 为常数， ）是一条直线，当
时，图象经过一、三象限， 随 的增大而增大，当 时，图象经过二、四象限， 随 的增大而减小，
当 时，图象交于 轴的正半轴，当 时，图象过原点，当 时，图象交于 轴的负半轴．
11. 在平行四边形 中， ，则 的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
由平行四边形的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为： ．
12. 函数 与 的图像如图所示，根据图像可知不等式 的解集是______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】写出直线 在直线 上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图像可得：不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大
于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）
方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13. 如图，在菱形 中， ， 、 分别是 、 的中点，若 ，则菱形
的边长是________．
【答案】
【解析】
【分析】易证 是等边三角形，再根据中位线定理易求 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 四边形 菱形，
，
、 分别是 、 的中点，
，
又 ，
是等边三角形，
，
、 分别是 、 的中点，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查了三角形中位线及菱形的性质，比较简单，如果三角形中位线的性质没有记住，还可以
利用 与 的相似比为 ，得出正确结论.
14. 2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星
之旅．已知华氏温度f（℉）与摄氏温度c（℃）之间的关系满足如表：
摄氏（单
…… ﹣10 0 10 20 30 ……
位℃）
华氏（单
…… 14 32 50 68 86 ……
位℉）
若火星上的平均温度大约为﹣55℃，则此温度换算成华氏温度约为 ___℉．
【答案】-67
【解析】
【分析】根据题意和表格中的数据，可以求得f（℉）关于c（℃）的函数表达式,将c=-55代入函数解析式，
即可得到相应的华氏温度的值；
【详解】解：（1）设f（℉）关于c（℃）的函数表达式为f=kc+b，
把（0，32），（10，50）代入得，
，
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学科网（北京）股份有限公司解得， ，
即f（℉）关于c（℃）的函数表达式为f=1.8c+32；
当c=-55时，f=
故答案为：-67．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
15. 如图①，在 中， ，点 从点 出发沿 以 的速度运动到点 ，过
点 作 于点 ，图②是点 运动时，线段 的长度 随运动时间 的变化关系的图
象，当 时， 的值可能为______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由题图②可知 是等腰直角三角形，由图象可得出 最长为 ，进而可得出 ，
利用勾股定理可得 ，从而即可得出答案．
【详解】解：由题图②可知 是等腰直角三角形，
当点 运动到点 时， 最长为 ，
此时运动时间为 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得： ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴当 时， 的值可能为6．（答案不唯一，6或7或8或9），
故答案为：6．
【点睛】本题考查了动点问题和函数图象、解直角三角形；解决问题的关键在于能数形结合看问题、熟练
的解直角三角形．
16. 正方形 的边长为4，点 在对角线 上（可与点 重合）， ，点 在正方
形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形 是平行四边形；
②存在无数个四边形 是菱形；
③存在无数个四边形 是矩形；
④至少存在一个四边形 是正方形．
所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：①设正方形的对角线相交于点O，若MN的中点恰好是点O，则经过点O任意一直线PQ，分别
与正方形的边AD,BC交于点P,G，通过正方形的性质对称性易得OP=OG，则四边形PMQN是平行四边形，由
于PQ的任意性，则存在无数个四边形 是平行四边形，故①正确；
②过MN的中点E作垂线，分别与正方形的相邻两边交于P,Q，根据正方形的对称性可得，PE=GE，则四边
形 是菱形，由于MN的任意性，则存在四边形 是菱形；③由①存在由无数个平行四边边形，
要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD，故此时PQ经过正方形对角线的交点，且与正方形的边BC垂直，是
唯一的，故不存在无数个四边形 是矩形；④由②知存在菱形，故只需满足∠PMQ=90°时，则四边
形PMQN时正方形，此时M与点A重合即可，故存在至少存在一个四边形 是正方形；
故正确的结论序号是①②④.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟记各定理是
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学科网（北京）股份有限公司解题的关键．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每题5分；第21-23题，每题6分；第24-25题，每
题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 已知y与x﹣3成正比例，当x=4时，y=3．
①求这个函数解析式．
的
②求当x=3时，求y 值．
【答案】① （或 ）；② ．
【解析】
【分析】①设 ，将 时， 代入求出k的值即可得；
②根据①的结论，将 代入求值即可得．
【详解】①设 ，
由题意得： ，
解得 ，
则这个函数的解析式是 （或 ）；
②由①知， ，
则当 时， ，
即 ．
【点睛】本题考查了正比例的定义、利用待定系数法求函数的解析式等知识点，掌握理解正比例的定义是
解题关键．
18. 如图，在 中，对角线 与 相交于点O，点 在 上， ，求证：四边
形 是平行四边形．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
由平行四边形的性质得 ，再证明 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
，
，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．
19. 已知一次函数 ，完成下列问题：
（1）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标；
（2）画出此函数的图象；观察图象，当 时，x的取值范围是 ；
（3）平移一次函数 的图象后经过点（-3，1），求平移后的函数表达式．
【答案】（1）函数与y轴的交点坐标为（0，4），与x轴的交点坐标（2，0）；
（2）画函数的图像见解析，x的取值范围是0≤x≤2；
（3）平移后的直线函数表达式为：y=-2x-5．
【解析】
【分析】分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象即可；
（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；
（3）设平移后的函数表达式为y=-2x+b，把（-3，1）代入求出b的值即可得出结论．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）当x=0时y=4，
∴函数y=-2x+4的图像与y轴的交点坐标为（0，4）；
当y=0时，-2x+4=0，解得：x=2，
∴函数y=-2x+4的图像与x轴的交点坐标（2，0）．
（2）如图：
观察图像，当0≤y≤4时，x的取值范围是0≤x≤2．
（3）解：设平移后的函数表达式为y=-2x+b，
将（-3，1）代入得：6+b=1 ，
∴b=-5，
∴y=-2x-5．
∴平移后的直线函数表达式为：y=-2x-5
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象与几何变换，熟知
一次函数图象上各点的坐标一定适合函数的解析式是解答本题的关键.
20. 在生活中，有很多函数并不一定存在解析式，对于这样的函数，我们可以通过列表和图象来对它可能
存在的性质进行探索，例如下面这样一个问题：
已知y是x的函数，下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 1 0 0 …
小孙同学根据学习函数的经验，利用上述表格反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进
行了探究．
下面是小孙同学 的探究过程，请补充完整：
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图，在平面直角坐标系 中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数
的图象；
（2）根据画出的函数图象回答：
① 时，对应的函数值y约为______；（保留一位小数）
②若函数值 ，则x的取值范围是______；
③写出该函数的一条性质（不能与前面已有的重复）：______．
【答案】（1）见详解 （2）① ；② 或 ；③当 时，函数值 随 的增大而增大
【解析】
【分析】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象读取相关的数据．
（1）通过描点连线画出函数图象；
（2）①直接从图象读取相关数值即可．
②直接从图象读取相关数值即可．
③直接从图象读取相关数值即可．
【小问1详解】
解：通过描点画出如下函数图象：
【小问2详解】
答案为近似值，不唯一，
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学科网（北京）股份有限公司①当 时，从图象可以看出： ；
②函数值 ，则 或 ；
③当 时，函数值 随 的增大而增大．
21. 如图， 中， ，过 点作 的平行线与 的平分线交于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）连接 与 交于点 ，过点 作 交 的延长线于 点，连接 ，若 ，
，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得 ，可得 ，由菱形
的判定可证四边形 是菱形；
（2）由勾股定理求得 ，设 ，则 ，在 中，
，代入数据解答即可得解．
【小问1详解】
解：证明： 平分 ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，且 ，
，且 ，
四边形 是平行四边形，且 ，
四边形 是菱形；
【小问2详解】
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
的长为3．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运
用性质进行推理是本题的关键．
22. 第 届亚运会将于今年 月 日在杭州开幕，中国将再次因体育盛会引来全球目光，同时也掀起了运
动热潮．某校举办了一场游泳比赛， 年级初选出 名学生代表．将 名学生代表 米自由泳所用时
间数据整理如下：
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学科网（北京）股份有限公司a． 名学生代表 米自由泳所用时间（单位：秒）：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
b． 名学生代表 米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）；
平均数 中位数 众数
（1）写出表中 ， 的值；
（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若 次日常训练的平均用时低于 名学生代表中的
一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．
①甲乙两位同学 次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是________（填
“甲”或“乙”）；
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲同学日常训练用时
乙同学日常训练用时
②丙同学前 次训练的用时为 ， ， ， ，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角
度考虑，则第 次训练的用时 的要求为：________．
【答案】（1） ，
（2）①乙，②
【解析】
【分析】本题考查了算术平均数，中位数，众数以及方差，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据中位数，众数的定义即可求解；
（2）①分别计算两人 次训练的用时平均值和方差，平均值小于 ，且方差更小的更有可能加入代表
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学科网（北京）股份有限公司团；②令其 次训练的用时平均值小于 ，列不等式即可求解．
【小问1详解】
解： ，
；
【小问2详解】
①甲同学 次训练的用时平均值为：
，
方差为： ，
乙同学 次训练的用时平均值为：
，
方差为：
，
，
乙发挥的更稳定，
故答案为：乙；
②根据题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
23. 2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的
代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰
辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”
共150元．
第23页/共38页
学科网（北京）股份有限公司（1）求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．
（2）该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号
“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多 ．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总
利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为 元
（2）当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是 元．
【解析】
【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解
析式是解题的关键．
（1）设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为 元，根据2个大号“龙辰
辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案；
（2）设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为 个，销售总利润为 元，得到
，再根据题意求出 ，根据一次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为 元，则
解得 ，
则 ，
答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为 元；
【小问2详解】
解：设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为 个，销售总利润为 元，
则 ，
∵大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ 中， ，
∴w随着m的增大而增大，
∴当 时，w取得最大值，此时 ，
∴当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是 元．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： 与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线 ：与x
轴交于点 ，与 相交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求四边形 的面积；
（3）若点M为x轴上一动点，过点 作垂直于x轴的直线，与直线 交于点Q．若
，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标．
【答案】（1）直线 的解析式为
（2）
（3）点Q的坐标为 或
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点A、B的坐标，得出 ，然后根据 求出结果即可；
（3）先求出点Q的坐标为： ，得出 ，求出 ，分两种
情况，当点Q在点C的上方时，当点Q在点C的下方时，分别求出点Q的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵直线 ： 与 相交于点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
把点 ， 代入得：
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
∴直线 与y轴的交点D的坐标为 ，
∴ ，
当 时， ， ，
∴直线 与x轴的交点A的坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：∵过点 作垂直于x轴的直线，与直线 交于点Q，
∴点Q的坐标为： ，
，
∴ ，
当点Q在点C的上方时，如图所示：
，
解得： ，
∴此时点Q的坐标为 ；
当点Q在点C的下方时，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司，
解得： ，
∴此时点Q的坐标为 ；
综上分析可知，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，
解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法．
25. 如图，在菱形 中，对角线 和 交于O．过B做 垂直 于H，并延长 至M，使
得 ，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）设 ，求 的大小；
（3）用等式表示线段 和 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题
的关键是正确作出辅助线和图象．
（1）根据题意画图即可；
（2）根据 ， ，和四边形 是菱形，得出 ，
，再根据 ，得出 ，即可得出
．
（3）过M作 ，结合（2）的结论得 ，根据勾股定理得 ，证明
，得出 ，从而得出 ，证明 ，即可解答；
【小问1详解】
补全图形如下：
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【小问3详解】
．
证明：过M作 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
附加题：（本题共20分，第26-28题，每题3分；第29题4分；第30题7分）
26. 教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是 ，方差是 .
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学科网（北京）股份有限公司后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为9环，实际成绩应是6环；另一个错录为7环，
实际成绩应是10环。教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是 ，方差是 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查平均数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义及反应数据的特征是正确解答
的关键．比较更正前后平均数、方差的变化，即可得出答案．
【详解】解：一个成绩少录3环，一个成绩多录3环，总环数没有变，
即实际成绩的平均数不变， ，
∵ ，
∴更正后的成绩的方差应该要比更正前的方差要大，即 ．
故选：C．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形0ABC是平行四边形，且A(4，0)，B(6，2)，则直线AC的解
析式为___________.
【答案】y=-x+4
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到OA∥BC，OA=BC，由已知条件得到C（2，2），设直线AC的解析
式为y=kx+b，列方程组即可得到结论．
【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∵A（4，0），B（6，2），
∴C（2，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y=-x+4，
故答案为y=-x+4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质以及利用待定系数法求一次函数的解析式，解题
的关键是求出其中心对称点的坐标．
28. 如图所示，把两个等宽的纸条按图示放置，如果重叠部分的四边形的两条对角线的长分别是 ，
，则重叠的部分的四边形面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得重叠部分是菱形，则根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】因为两个纸条等宽,则重叠部分的四边形的四边相等,即为菱形,
则重叠的部分的面积
故答案为:2.
【点睛】考查菱形的判定与性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键.
29. 如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 、 ，一次函数 的图象与x
轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则b的值为______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2或 或8
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定及性质是解
题的关键．
对 为边和 为对角线进行分类讨论，利用数形结合的思想即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
①当 为平行四边形的边时，则 ，
因为 、 两点的坐标分别为 ，则线段 向下平移3个单位，点 的对应点在 轴上，坐标
为 ，
此时点 对应点的坐标为 ，再将所得线段向左平移1个单位，点 的对应点在 轴上，坐标为 ，
此时点 对应点的坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时 ，且 ，即所得四边形 是平行四边形．
又因为此时点 的坐标为 ，
所以 ．
将线段 绕原点 旋转 ，
因为 ，且 ，
则四边形 为平行四边形，
此时点 的坐标为 ，
所以 ．
②当 为平行四边形的对角线时，
对角线 和 互相平分，
因为 、 两点的坐标分别为 ，所以 中点的坐标为 ，
因为点 的纵坐标为0，
所以 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以点 的坐标为 ，
所以 ．
综上所述， 的值为：2或 或8．
故答案为：2或 或8．
30. 将平面直角坐标系 中的一些点分成两类．每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点
， ，称 与 中的最大值为点M和点N的“垂平距离”，记作
．将各类中任意两点间的最大“垂平距离”记为该类的“星内距离”，两个“星内距离”的最
大值定义为这种分类的“星系距离”．
如图， ， ， ， ， ．
（1）点A， B，E，O中，与点C的“垂平距离”为3的点是______；
（2）①点P是平面内的一个动点，若将点B，D，P分在同一类时，该类的“星内距离”是4，则动点P
所构成图形的面积为______；
②已知直线 上恰好存在唯一的一个点Q，满足将点B，D，Q分在同一类时，该类的“星内距
离”是4，求b的值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）已知直线l平行于 ，与x轴交于点 ，若l上的任意一点R均满足将点A，B，C，D，
E，R分为两类时，所能得到的最小的“星系距离”大于4，请直接写出t的取值范围______．
【答案】（1）A （2）① ；② 或7
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据新定义求解作答即可；
（2）①由题意知， ， ， ， ，则点P在以
直线 ， ， ， 所围成的长方形的边上，根据动点P所构成图形的面积为
，计算求解即可；②由题意知，点Q为直线 与动点P所构成图形的交点，
且唯一，即 或 ，将点坐标代入一次函数解析式，计算求解即可；
（3）由题意可求，平行直线解析式为 ；由题意知，包含点A时的一类中，最小的“星内距
离”为2；同理可知包含点B，C，D，E时的一类中，最小的“星内距离”均为2； 当R在最小的“星内
距离”为2的一类里，使得“星内距离”大于4即可；如图，点R在所在的直线过 ， ，
将 代入 ，可求 ；将 代入 ，可求 ；进而可知当
或 时，所能得到的最小的“星系距离”大于4．
【小问1详解】
解：由题意知， ，
∵ ，
∴点A与点C的“垂平距离”为3，
同理可得，点B，E，O，与点C的“垂平距离”分别为 2，2，1，
∴满足要求的点为A，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：A；
【小问2详解】
①解：由题意知， ， ， ， ，
∴点P在以直线 ， ， ， 所围成的长方形的边上，
∴动点P所构成图形的面积为 ，
故答案为： ；
②解：∵直线 上恰好存在唯一的一个点Q，满足将点B，D，Q分在同一类时，该类的“星内距
离”是4，
∴点Q为直线 与动点P所构成图形的交点，且唯一，
∴ 或 ，
将 代入 得， ，
解得， ；
将 代入 得， ，
解得， ；
综上所述， 的值为 或7；
故答案为： 或7；
【小问3详解】
解：设平行直线解析式为 ，
将 代入得 ，
解得， ，
∴ ；
由题意知，包含点A时的一类中，最小的“星内距离”为2；
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学科网（北京）股份有限公司包含点B时的一类中，最小的“星内距离”为2；
包含点C时的一类中，最小的“星内距离”为2；
包含点D时的一类中，最小的“星内距离”为2；
包含点E时的一类中，最小的“星内距离”为2；
∴当R在最小的“星内距离”为2的一类里，使得“星内距离”大于4即可；
如图，
∴点R在所在的直线过 ， ，
将 代入 ， ，
解得， ；
将 代入 ， ，
解得， ；
∴由平移直线l时，当 或 时，所能得到的最小的“星系距离”大于4，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移等知识，
理解题意，熟练掌握新定义下的实数运算，坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移是解题的
关键．
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