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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市第八十中学 2023-2024 学年度九年级 12 月检测
数学试卷
一、选择题（每题2分，共16分）
的
1. 下面美丽 图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则锐角 的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，A，B，C是 上的三个点，如果 ，那么 的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 的半径为 ，点 在 内，则线段 的长度可以是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在 中，以C为中心，将 顺时针旋转 得到 ，边 ， 相交于点F，若
，则 的度数为（ ）
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A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，将抛物线 平移，可以得到抛物线 ，下列平移的叙述正确的
是（ ）
A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度
C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度
8. 滑雪运动员苏翊鸣一次滑雪过程中，第 秒时的高度为 米，且高度与时间的关系为
，若苏翊鸣在第2秒与第5秒时的高度相等，则下列时间苏翊鸣所在高度最高的是
（ ）
A. 第1秒 B. 第5秒 C. 第6秒 D. 第4秒
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是________________．
10. 方程 的解是________．
11. 把二次函数 变形为 的形式， ______， ______．
12. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于F，BE=3,EC=2，S =10，则S
AFD BEF
△ △
=____________．
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13. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：
___________， ___________．
14. 随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598
“正面向上” 的频率
0.51 0.51 0.51
0.520 0.529 0.522 0.521 0.520
1 8 9
下面有3个推断：
①抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558
次．
其中所有合理推断的序号是______．
15. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边
的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边 的边
长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于______．
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16. 在平面直角坐标系 中，一个图形上的点都在一边平行于 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形
中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数 的图象（抛物线中
的实线部分），它的关联矩形为矩形 ．若二次函数 图象的关联矩形恰
好也是矩形 ，则 ________．
三、解答题（本题共68分，17题4分，18、19、21、22题每题5分，20、23、24、25、26
题每题6分，27、28题每题7分）
.
17 解方程： ．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 ，点 ．
（1）以点 为中心，把 逆时针旋转 ，画出旋转后的图形 ；
（2）在（1）中的条件下，
① 扫过的面积为______（结果保留 ）；
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②写出点 的坐标为______．
19. 不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其它差别，小球上分别标有汉字“我”、
“爱”、“八”、“十”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“爱”字的概率为______；
（2）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列表法或树形图法求两次摸到的小球上
的汉字一个是“八”，一个是“十”的概率．
20. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若 ，且此方程的两个实数根的差为3，求 的值．
21. （2016内蒙古包头市）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的
宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度．
22. 如图， 内接于 ，高 经过圆心 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为5，求 的值．
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23. 如图，已知 ，如何等分 ？下面给出两种作图方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程
方法一：①作射线 ；
②作 的平分线 ，与 交于点 ；点 即为所求作．
证明： 平分
（______）（填推理的依据）．
方法二：①连接 ；
②作线段 的垂直平分线 ，直线 与 交于点 ；点 即为所求作．
证明： 垂直平分弦
直线 经过圆心 ，
（______）（填推理的依据）．
24. 如图，P为 外一点， ， 是⊙O的切线，A、B为切点，点C在 上，连接 、 、
．
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（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， 的半径为5， ， 的长．
25. 小军老师不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他
的
对击球线路 分析．如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴上，球网 与 轴的水平距离
，击球点 在 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似
满足一次函数关系 ；若选择吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足二
次函数关系 ．
（1）求点 的坐标和 的值．
（2）小军老师分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．则球网 的高度范围______ ；
（3）要使球的落地点到 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
26. 已知抛物线 的对称轴为直线 ．
（1）若点 在抛物线上，求 的值
（2）若点 在抛物线上；
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①当 时，求 的取值范围；
②若 ，且 ，求 的取值范围．
27. 将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，继续旋转 得到线段 ，连接
，
（1）连接 ，如图1，若 ，则 的度数为______；（直接写出结果）
（2）如图2，以 为斜边作直角三角形 ，使得 ，连接 ．若 ，
求 的值．
（3）在（2）条件下，连接 ，交 于 点， ，直接写出 的长______．
28. 在平面直角坐标系 中，有不重合 的两个点 与 ，若 为某个直角三角形
的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与 轴或 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两
条直角边的边长之和称为点 与点 之间的“折距”，记作 或 ，特别地，当 与某条坐标轴平
行（或重合）时，线段 的长是点 与点 之间的“折距”．例如，如图，点 ，点 ，此
时 ．已知 为坐标原点，解答下列问题：
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（1）①若点 ，则 ______；
②若点 是以 为圆心，2为半径的圆上任意一点，则 的最大值是______．
（2）若一次函数 的图象分别交 轴， 轴于点 ，点 是线段 上一点，求 的值；
（3）已知点 ，在 轴上有一个动点 ，若以 为圆心，半径为1的 上有且只有两个点到
点 的折距为3，请直接写出 的取值范围______．
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