文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市师达中学 2023-2024 学年度第一学期阶段练习
初三数学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
以下各题选项中，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即
可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把
一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称
图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意．
故选：B．
2. 下列事件为随机事件的是（ ）
A. 经过任意三点画一个圆 B. 直径是圆中最长的弦
C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形全等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．
必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定
事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、经过任意三点画一个圆，是随机事件，故此选项符合题意；
B、直径是圆中最长的弦，是必然事件，故此选项不符合题意；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
C、任意画一个三角形，其内角和为 ，是不可能事件，故此选项不符合题意；
D、一个图形旋转后所得的图形与原图形全等，是必然事件，故此选项不符合题意．
故选：A．
3. 一个扇形的半径是 ，扇形的圆心角 ，那么这个扇形面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了扇形的面积公式，直接代入扇形的面积公式即可得出答案，解题的关键是熟练掌握扇
形的面积公式 ．
【详解】由题意得： ， ，
∴这个扇形面积= ，
故选： ．
4. 下列函数中，变量 是 的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数，根据定义解题即可．
【详解】解：A． 是正比例函数，故本选项不符合题意．
B． 此项变量 是 的反比例函数，故本选项不符合题意．
C． 可变形为 是反比例函数，故本选项符合题意．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
D． 是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
5. 要为一幅长60 ，宽40 的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，若要使整个带框后照片
的面积是 （相框和照片重叠部分忽略不计），设相框的宽度为 ，则 满足的方程是（
）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的运用．根据实际情形列出方程即可．
【详解】解：相框的宽度为 ，则相框的长和宽分别为 ， ，
相框的面积为 ，
故根据长方形面积得出： ．
故选：A．
6. 已知点 ，在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 、 、
的值是解题的关键；
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 、 、 的值，比较后即可得出结论．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故选：D．
7. 如图，已知 的内接正四边形 ，点 是 上任意一点（除 、 两点外）则 的度
数是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】连接 、 ，首先根据正方形的性质，得 ，再根据圆周角定理和 点的位置确
定 的度数．
【详解】解：如图，连接 、 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
当点E在优弧 上时，
；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
当点E在劣弧 上时，
；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握圆周角定理和分类讨论的思想是解答本题的关键．
8. 如图，菱形 的边长为6 ， ，点E为 的中点，动点P以2 的速度沿
A→B→E运动，动点Q以1 的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，当其中一点
到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为 s， 的面积为y ，则y与x之间的
关系用图象大致可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况：点P在 上运动和点P在 上运动，分别求出解析式即可．
【详解】∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
①当点P在 上运动，即 时，
， ，
过点P作 于点N，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
即y与x之间的函数解析式为 ；
②当点P在 上运动，即 时，
，
过点P作 于点M，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴在菱形 中，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴在 中， ，
∴ ，
即y与x之间的函数解析式为 ；
综上所述，y与x之间的函数解析式为 ，
图象为： ．
故选：B
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解题的关键．
二、选择题（本题共16分，每小题2分）
9. 已知 和 关于原点对称，则 ________．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关
于原点对称点的性质得出 ， 的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即
点 关于原点 的对称点是 ．
【详解】解： 和 关于原点对称，
， ，
则 ．
故答案为：1．
10. 将抛物线y=x2向下平移5个单位长度后得到的新抛物线解析式为_______．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】y=x2-5
【解析】
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向下平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（0，-5）
所以新抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到
新抛物线的顶点坐标．上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增
加，向下平移时纵坐标减小．
11. 若关于 的一元二次方程 有一个根为1，则实数k的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的
未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．将 代入方程得关于 的方程，求解即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有一个根为1，
故将 代入 ，得： ，
解得： ，
故答案为：1
12. 每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽
样检测，结果如下表：
5 50
抽取月饼数量 100 200 1000 2000
0 0
4 47
优等品数量 92 194 951 1900
5 4
若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为________．（精确到 ）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用频率估计概率，随着抽取球数目的增加，频率值都在常数 的附近摆动，由此能求
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
出任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率．其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率．
掌握用频率估计概率是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，
抽取月饼数
50 100 200 500 1000 2000
量
优等品数量 45 92 194 474 951 1900
优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.948 0.951 0.950
随着抽取球数目的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数 的附近摆动，
∴任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为 ．
答案为： ．
13. 已知反比例函数 图象分布在第二、四象限，则 的取值范围是______．
的
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】∵反比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键掌握是反比例函数 中k的正负性对函数图象所在
象限的确定．
14. 如图， 与 是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为 ，点A的坐标为
，则点 的坐标为________．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了位似的性质和位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者 ．根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵ 与 是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为 ，点A的坐标为
， 且两个图形位于位似中心的异侧，
∴把点A的横纵坐标都除以 可得其位似对应点 的坐标，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
15. 小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树 前方20米E点处放置一面小镜子，然后她沿 方
向继续往前走8米到D点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面 米，根据这些信息请你算
出树的高度是__________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据光学原理可得 ，然后判断出 和
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】解：由光学原理得， ，
又 ，
，
，
即 ，
解得 米．
故答案为：
16. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，
AE，DF交于点 P，则∠APD的度数为______ ；连接CP，线段CP长的最小值为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠CDF，然后
求出∠APD＝90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点
P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC，即可求得CP的长．
【详解】解： 四边形ABCD 是正方形，
AD＝CD，∠ADE＝∠BCD＝90°，
在△ADE和△DCF中， ，
∴△ADE≌△DCF（SAS）
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF＋∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＋∠DAE＝90°，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴∠APD＝90°，
由于点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
取AD的中点Q，连接QC，此时CP的长度最小，
则DQ＝ AD＝ ×2＝1，
在Rt△CQD中，根据勾股定理得，CQ＝ ＝ ＝ ，
所以，CP＝CQ−QP＝ −1．
故答案为： ； −1．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质
进行推理是解此题的关键．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分；第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得
，
∴ ，
∴ ，
两边开平方，得
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
∴ ．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程．
18. 已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．
【答案】1
【解析】
【分析】把x=n代入方程求出mn2-4n的值，代入已知等式求出m的值即可．
【详解】依题意，得 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根：
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求整数 的值．
【答案】（1）见解析 （2） 的值为1或 或2或
【解析】
【分析】（1）先求出 ，再根据根的判别式得出答案即
可；
（2）把方程的左边分解因式，求出方程的解，再根据方程的解是整数和m为整数得出答案即可．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解： ，
，
解得： ， ，
∵方程的两个实数根都是整数，m为整数，
或 或2或 ．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式是解此题的关键，一元二次方程
（a、b、c为常数， ），当 时，方程有两边不相等的实数根，当
时，方程有两个相等的实数根，当 时，方程无实数根．
20. 如图，在 中，点 分别在边 上， ， ． 求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由 ， 得到 ，再由 即可得到
．
【详解】解： ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键．
21. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷
是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为 、 、 、 四个区域，
购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）张琪购买门票在 区观赛的概率为___________；
（2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的
关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式
可得出答案．
【小问1详解】
由题意得，小明购买门票在 区观赛的概率为 ．
故答案为： ．
【小问2详解】
画树状图如下：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
小明和小张在同一区域观看比赛的概率为 ．
22. 阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作留：过圆外一点作圆的切线．
己知：P为 外一点．
求作：经过点P的 的切线．
小敏的作法如下：
如图，
①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C．
②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交 于A，B两点．
③作直线PA，PB．
（1）请补充完整小敏的作图．
（2）连接OA，OB可证 ，其依据是______________________________
由此可证明直线PA，PB都是 的切线，其依据是______________________________
【答案】（1）见解析 （2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线
是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图作线段的垂直平分线处理；
（2）由垂直平分线的性质、直径所对的圆周角是直角可得 ；由切线的判定定理
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得证切线．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
∵ 垂直平分 ,
∴ .
∴ 是 的直径．
∴ ，依据是：直径所对的圆周角是直角；
∴直线PA，PB都是 的切线，其依据是：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查尺规作图作线段的垂直平分线，圆周角定理及推论，切
线的判定定理；熟练掌握相关定理是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系xOy中，直线 与双曲线 的一个交点为P（2，m），与x轴、
y轴分别交于点A，B．
（1）求m的值；
（2）若PA=2AB，求k的值．
【答案】（1）m=4；（2）k=1或3
【解析】
【分析】（1）将点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）作 轴于点C，根据点P(2,4)在y=kx+b上，得b=4−2k，直线y=kx+b(k≠0)与x轴、y轴分别交于
点A，B，写出A ，B ，分两种情况进行讨论即可．
【详解】解：（1）∵函数 的图像经过 ，
∴ ，
解得： ；
(2)点P(2,4)在y=kx+b上，
∴4=2k+b，
∴b=4−2k，
∵直线y=kx+b(k≠0)与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A ，B ，
如图，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，
∵PA=2AB，
∴AB=PB，则OA=OC，
∴ ，解得k=1；
当点A在x轴正半轴,点B在y轴负半轴时, ，解得，k=3．
∴k=1或k=3．
【点睛】本题属于反比例函数和一次函数综合题，属于基础题，注意分类讨论思想在数学中的应用．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
24. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D， 于点E，延长 交
于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）9
【解析】
【分析】（1）连接 ， ，首先得到 是等腰三角形， ，然后根据等腰三角形三线
合一性质得到 ，然后结合 得到 ，进而得到 ，即可
证明出 是 的切线；
（2）连接 ，首先根据勾股定理求出 ，然后证明出 ，得到 ，
代入求出 ，然后证明出 ，得到 ，求出 ，然后利
用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
如图所示，连接 ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵
∴ 是等腰三角形
∵ 为 的直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵ 是 的半径
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴
∵
∴
∵ ，
∴
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴
∵
∴
∴ ，即
解得
∵ 为 的直径
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性
质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
25. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的
两墙 、 之间悬挂一条近似抛物线 ，如图2所示，已知墙 与 等高，且
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
、 之间的水平距离 为8米．
（1）如图2，两墙 、 的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到
墙 距离为3米，使抛物线 的最低点距墙 的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
【答案】（1）3；
（2）点M到地面的距离为2.25米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函
数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式．
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，再把 代入解析式即可求解．
【小问1详解】
由题意得，抛物线的对称轴为 ，
则 ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ，
∴点 ，
当 时， ，
故答案为：3；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问2详解】
设抛物线的表达式为 ，
将点A的坐标代入上式得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ，
当 时， （米），
∴点M到地面的距离为2.25米．
26. 二次函数 图的象经过 ， 四点．
（1）求二次函数的对称轴（用含t的代数式表示）；
（2）已知 ，若 ，请直接判断 的正负性，即 0（填“＞”或“＜”）；
（3）若 ，求t的取值范围并判断 的大小关系．
【答案】（1）
（2）＞ （3）当 时， 时，
【解析】
【分析】（1）利用对称轴公式即可求得；
（2）根据抛物线解析式可得抛物线对称轴，由各点到对称轴的距离可判断函数值的大小，进而求解；
（3）分 两种情况，根据函数的性质进行判断即可．
【小问1详解】
∵二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线
【小问2详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当抛物线开口向上，即 时，
∵ ，
∴ ，
若 ， 则 ，
∴ ；
当抛物线开口向下，即 时，
若 ，则 ，
综上所述， ，
故答案为：＞．
【
小问3详解】
①当 时，x越靠近对称轴，其对应的y值越小，
当 时，则 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ；
∴ 时， 无解；
②当 时，x越靠近对称轴，其对应的y值越大，
当 时，则 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ；
∴ 时， ；
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
综上所述，当 时， 时， ．
【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会利用对称性解决问
题，属于中考常考题型．
的
27. 在平面直角坐标系 中， 半径为1，点A在 上，点P在 内，给出如下定义：连接
并延长交 于点B，若 ，则称点P是点A关于 的k倍特征点．
（1）如图，点A的坐标为 ．
①若点P的坐标为 ，则点P是点A关于 的 倍特征点；
②在 ， ， 这三个点中，点 是点A关于 的 倍特征点；
③直线l经过点A，与y轴交于点D， ．点E在直线l上，且点E是点A关于 的 倍特征
点，求点E的坐标；
（2）若当k取某个值时，对于函数 的图象上任意一点M，在 上都存在点N，使
得点M是点N关于 的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．
【答案】（1）① ，② ，③ 或
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】（1）①由题意知 ， ，则 ；
②由勾股定理得 ，假设点 是点 关于 的 倍特征点，则
，不符合题意，同理判断 、 即可；
③当点 在 轴正半轴上时，设直线 交 于 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，根据点 、
点 关于 的 倍特征点，得 ，由含 的直角三角形的性质可得 ， 的长，当点 在
轴负半轴同理可得答案；
（2）设直线 与 轴， 轴的交点分别为 ， ，过点 作 交 于 ，
交 于 ，过点 作直线 交 于 ， ，由 ，可知 越大，
的值越小，则 的值越大，得 ， 时， 的值最小，即 与 重合，
与 重合时， 的值最小，同理当点 在 点， 在 点时， 有最大值，从而解决问题．
【小问1详解】
解：① ， ，
，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
，
，
故答案为： ；
②假设点 是点 关于 的 倍特征点，连接 并延长交 于点 ，如图所示：
， ，
，
，
，不符合题意，
点 不是点 关于 的 倍特征点；
连接 并延长交 于点 ，如图所示：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
， ，
， ，
，
点 不是点 关于 的 倍特征点；
假设点 是点 关于 的 倍特征点，连接 并延长交 于点 ，如图所示：
， ，
，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
为 的中点，
，
与 轴负半轴交点坐标为 ，
在圆上，
点 是点 关于 的 倍特征点；
故答案为： ；
③当点 在 轴正半轴上时，设直线 交 于 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，如图所示：
点 是点 关于 的 倍特征点，
，
是 的中点，
，
，
，
， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
，
，
当点 在 轴负半轴上时，同理可得 ，
综上： 或 ；
【小问2详解】
解：设直线 与 轴， 轴的交点分别为 ， ，过点 作 交 于 ，
交 于 ，过点 作直线 交 于 、 ，如图所示：
， ，
，
，
越大， 的值越小，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
的值越大，
当 的值越大， 的值越大，
， 时， 的值最小，
与 重合， 与 重合时， 的值最小，
， 是直线 与 轴， 轴的交点，令 得 ，令 得 ，
， ，
到 和到 的距离都是1，
，
，
，
，
，
，
，即 的最小值为 ；
当点 在 点， 在 点时， 有最大值，如图所示：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，即 的最大值为 ．
【点睛】本题属于圆背景下的新定义问题，考查圆的性质、勾股定理、两点之间距离公式、坐标与图形、
一次函数的图像与性质等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，综合性强、难度
较大，属于中考压轴题．
28. 已知 ，点A为射线 上的定点，点B为 延长线上一点，作线段 的垂直平分线，
分别交 、 与点C、D，连接 、 ，过点A作 的垂线，垂足为E，直线 与直线 交
于点F．
（1）依题意补全图形，证明： ；
（2）用等式表示线段 、 和 的关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） 或
【解析】
【分析】（1）先逐步根据提示画图，再证明 ，设 ，证明
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，可得 ，从而可得答案；
（2）如图，过F作 于H，证明 ， ， ，可得
， ， ，证明 ， ，可得 ，从而可
得结论，同理可得当点 在线段 上时的结论．
【小问1详解】
解：如图，补全图形如下：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ．
【小问2详解】
如图，当点 在 的延长线上时，过F作 于H，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
当点 在线段 上时，如图，过F作 于H，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
同理可得： ．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，全
等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的根据题意画出图形，作出辅助线是解本题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
