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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023 北京交大附中初三 10 月月考
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 关于x的一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 5， ， B. 5，2， C. ，2，1 D. ， ，
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ，根
据定义分析即可．
【详解】解：一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：
故选：B．
2. 将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3. 下列各曲线是在平面直角坐标系 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（
）
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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180度，旋
转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解： A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 如图， 是 的中线，E，F分别是 的中点， ，则 的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中线定义，中位线定理．根据题意利用中位线即可得到 ，再利用中线定义即可
得到本题答案．
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【详解】解：∵E，F分别是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
故选：A．
5. 用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方式的特点，先移项、再两边加一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：
．
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法是解答本题的关键．
6. 下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 …
y … 4 0 0 a …
其中，a的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【答案】A
【解析】
【分析】根据表格可求出该抛物线的对称轴为 ，从而得出当 时，y的值和当 时，y的
值相等，即得出a的值为4．
【详解】解：∵ 时， ； 时， ，
∴该二次函数的对称轴为 ，
∴当 时，y的值和当 时，y的值相等．
∵当 时， ，
∴当 时， ，
∴a的值为4．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的对称性．掌握二次函数图象关于其对称轴对称是解题关键．
7. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到 ，点C的对应点为点 ， 的延长线交BC于点
D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D. AD平分
【答案】B
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【解析】
【分析】A、根据旋转的性质即可判断；B、由旋转角的任意性可以判断；C、由三角形内角和为 且两
个角相等即可判断；D、利用角平分线的判定定理即可证明．
【详解】解：
A、由旋转的性质可知： ，故A正确，不符合题意；
B、 由 绕 旋转任意角度得到，
只是特殊情况，故B错误，符合题意；
C、 ， ，
， ，
，故C正确，不符合题意；
D、过 分别作 的垂线，垂直分别是 ，
， ， ；
， ，
，
平分 ，故D正确，不符合题意；
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故选：B．
【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握
相关定理依次进行判断．
8. 已知二次函数 的图象对称轴为 ，且图象经过点 ， ．则下列说法中
正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用待定系数法求得a的值，然后分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解： 二次函数 的图象对称轴为 ，
，
A、若 ，则 ，
二次函数为 ，
图象经过点 ， ．
，解得 ，
故A错误；
、若 ，则 ，
二次函数为 ，
图象经过点 ， ．
，解得 ，
故 错误；
、若 ，则 ，
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二次函数为 ，
图象经过点 ， ．
，解得 ，
故 错误；
、若 ，则 ，
二次函数为 ，
图象经过点 ， ．
，解得 ，
故 正确；
故选： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求得a的值是解题的关
键．
二.填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若关于x的方程 有一个根2，则a的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】将 代入原方程即可求出a的值．
【详解】解：将 代入 ，得
．
解得 ．
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故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程
的根．
10. 已知 的周长为16， ，则 的长为______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形对边相等以及平行四边形的周长的定义解答即可．
【详解】解：如图：∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
11. 若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac_____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断
ac与0的关系．
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【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＜0．
故答案为＜．
【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．常数项
c决定抛物线与y轴交点．
12. 如图，P是等边 内的一点，若将 绕点A按逆时针方向旋转到 ，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】由旋转的性质可得 ，即可求解．本题考查了旋转的性质，等边三角形
的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 绕点A按逆时针方向旋转到 ，
∴ ，
∵
∴
故答案为： ．
13. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距
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离），上、下，左、右页边距分别为 、 、 、 ．若纸张大小为 ，考虑到整
体美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的 ，则设页边距为 ，则可列方程为
____________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然
后根据题意列出方程是解题关键．根据题意表示出去掉页边的面积进而得出等式即可．
【详解】解：根据题意得： ．
故答案为： ．
14. 已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为________________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据根的判别式的意义得到△ ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解：根据题意得△ ，
解得 ．
故答案为：9．
的
【点睛】本题考查了根 判别式，解题的关键是掌握一元二次方程 的根与△
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有如下关系：当△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实
数根；当△ 时，方程无实数根．
15. 点 在二次函数 的图象上．若 ，写出一个符合条件的a的
值___________．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】二次函数开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，找一个离对称轴比1大的数即可．
【详解】解：∵二次函数开口向上，
∴离对称轴：直线 越远的点的函数值越大，A点离对称轴水平距离为1，故a可以等于3．
故答案为3（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，熟练运用函数图像的最低点及性质比大小是解题关键．
16. 如图，已知关于 的一元二次方程 的两个根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，
区域均含端点，则 的整数值为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，关键是明白抛物线 与 轴交点的横坐标是方程
的两根．由二次函数与一元二次方程的关系，即可求解．
【详解】解：设方程的两根为 ， ， ， ，
，
抛物线 与 轴交点 的横坐标是 ， ，对称轴是直线 ，
，
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，
的整数值为 ．
故答案为： ．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18～25题每题5分，第26题6分，第27～28
题每题7分）
17. 选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
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解得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，把
绕点 按顺时针方向旋转90°后得到 ．（每个方格的边长均为1个单位）
（1）画出 并直接写出： 的坐标为______， 的坐标为______；
（2）判断直线 与直线 的位置关系为______．
【答案】（1）图见解析， ；
（2）垂直
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质和旋转作图，点的坐标，掌握旋转的作图方法是解题关键．
（1）按照旋转的定义进行旋转即可；由图即可得坐标．
（2）由旋转性质：对应线段所在的直线所交的角等于旋转角度可得结论.
【小问1详解】
解：如图，将点 绕点 按顺时针方向旋转 后得到 ，将点 绕点 按顺时针方向旋转 后得到
，连接 ， ， 即为所求．
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解：由（1）图可知点 坐标为 ，点 坐标为 ，
故答案为： ， ．
【小问2详解】
由图可知：直线 与直线 的位置关系为垂直．
19. 已知m是方程 的一个根，求 的值
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得 ，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴
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．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的求值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法
公式及代数式的求值是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系中，抛物线 过点 和 ．
的
（1）求二次函数 表达式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1） ；（2） ，直线 ．
【解析】
【分析】（1）把点 和 代入 中，即可求解；
（2）把一般式化为顶点式即可得解；
【详解】解：（1）把点 和 代入 中，
得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）∵ ，
该抛物线的顶点为 ，
对称轴为直线 ．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式和二次函数顶点式，准确计算是解题的关键．
21. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于 ，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
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【解析】
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【小问1详解】
解：
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：原方程可化为：
或
解得： ，
由题意可得：
解得：
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是
解题的关键．
22. 在平面直角坐标系 中，二次函数 图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．
（1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；
（2）一次函数 的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式 的
解集．
【答案】（1） ，见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
（1）将 代入函数解析式求解．
（2）根据点A，B坐标及图象求解．
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【小问1详解】
令 ，则 ，
解得： ，
B点坐标 为
列表得：
x 0 1 2 3
y 0 0
画图得：
【小问2详解】
如图，
二次函数 图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B
，
不等式 的解为：
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的图象在 上方的部分，
由图形可得：x的取值范围为
不等式 的解集为：
23. 如图，在正方形 中，点E在边 上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边
的延长线上，连接 ．
（1）判断 的形状，并证明；
（2）若 ，则 的面积为___________．
【答案】（1） 是等腰直角三角形，证明见解析
（2）8
【解析】
【分析】（1）证明 ，进而可得 ， ，根据旋转的性
质可得 ，即可证明 是等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 ，进而即可求得 的面积．
【小问1详解】
是等腰直角三角形．
证明：在正方形 中， ， ．
∵ F落在边 的延长线上，
∴ ．
∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F，
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∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ 是等腰直角三角形．
【小问2详解】
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性
质与判定，证明 是解题的关键．
24. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有 首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（ ）天背诵第二遍，第（ ）天背诵第三遍，三遍后完
成背诵，其它天无需背诵， 1，2，3，4；
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
第1组
第2组
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第3组
第4组
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入 补全上表；
（2）若 ， ， ，则 的所有可能取值为______；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
【答案】（1）如表所示，见解析；（2）4，5，6；（3）23.
【解析】
【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式，即可得到结论．
【详解】解：（1）
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
第1组 x x x
1 1 1
第2组 x x x
2 2 2
第3组 x x x
3 3 3
第4组 x x x
4 4 4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x≥4，x≥4，x≥4，
1 3 4
∴x+x≥8①，
1 3
∵x+x+x≤14②，
1 3 4
把①代入②得，x≤6，
4
∴4≤x≤6，
4
∴x 的所有可能取值为4，5，6，
4
故答案为4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
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x+x≤14①，x+x≤14②，x+x+x≤14③，x+x≤14④，
1 2 2 3 1 3 4 2 4
①+②+④-③得，3x≤28，
2
，
，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为23．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
25. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形
状可以看作是抛物线的一部分，安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖而3米，在距立柱水平距离
为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
（米
0 0 0 0 0 0
）
h
3.7 4.0 3.7 3.0 1.7
（米 0
5 0 5 0 5
）
请解决以下问题：
（1）在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接：
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为1.5米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1
米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．
工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，其他条件不变，结合函数
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图象，估计出水口至少需要 （填“升高”或“降低”） 米（结果保留小数点后
一位）．
【答案】（1）见解析 （2）水柱最高点距离湖面的高度是4米
（3）升高，
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据对应点画图象即可；
（2）由图象可得答案；
（3）设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为 ，再根据二次函数的
性质可得答案．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
水柱最高点距离湖面的高度是4米；
【小问3详解】
设水枪高度向上调整m米，
设平移后二次函数关系式为 ，
当 时， ，
，
答：水枪高度至少向上升高2米．
故答案为：升高，2．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）求a的值；
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（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）点 ， ， 在抛物线上，若 ，求m的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点 代入抛物线解析式计算即可；
（2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当 时，可知点 ， ， 从左至右分布，根据
可得 ，根据 可得 ，即可求解；②当 时，即
，即有 ，可得 ，与题意不符，舍去.
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
由（1）得抛物线的表达式为 ，
即 ，
∴抛物线的对称轴为 ；
【小问3详解】
①当 时，
可知点 ， ， 从左至右分布，
根据 可得 ，
∴ ，
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根据 可得 ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，即 ，
∵ ，
∴ ，不符合题意.
综上，m的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BC上（不与点B，C重合），连接AD，以点A
为中心，将线段AD逆时针旋转180°﹣α得到线段AE，连接BE．
（1）∠BAC+∠DAE＝ °；
（2）取CD中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明．
【答案】（1）180 （2） ，证明见解析；
【解析】
【分析】（1）由旋转可知∠DAE=180°-a，所以得到：∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°；
（2）连接并延长AF，使FG=AF，连接DG，CG；因为DF=CF，AF=GF；可以得到四变形ADGC为平行
四边形；从而有∠DAC+∠ACG=180°，再证∠ACG=∠BAE继而证明△ABE≌△CAG得到BE=AG，即可得线
段AF与BE的数量关系；
【小问1详解】
解：由旋转可知∠DAE=180°-a，
∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°
故答案为：180
【小问2详解】
解：如图所示：连接并延长AF，使FG=AF，连接DG，CG；
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∵DF=CF，AF=GF；
∴四变形ADGC为平行四边形；
∴∠DAC+∠ACG=180°，
即∠ACG=180°-∠DAC，
∠BAE=∠BAC+∠DAE-∠DAC=180°-∠DAC，
所以∠ACG=∠BAE，
∵四变形ADGC为平行四边形；
∴AD=CG，
又∵AD=AE，
AE=CG，
在△ABE和△CAG中，
∴△ABE≌△CAG，
∴BE=AG，
∴AF= AG= BE，
故线段AF与BE的数量关系：AF= ；
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，以及全等三角形的性质的判定，解题的关键是熟悉并灵
活应用以上性质．
28. 对于平面直角坐标系 中第一象限内的点 和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的
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垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点 满足 且 ，则称四边形 是图
形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知 ， ，则点 为线段 的
一个覆盖的特征点．
（1）已知点 ，
①在 ， ， 中，是 的覆盖特征点的为 ；
②若在一次函数 的图象上存在 的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点 为圆心，半径为1作圆，在抛物线 上存在 的覆盖的特征
点，直接写出a的取值范围 ．
【答案】（1）① ， ；② 且 ．
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）①根据覆盖的定义线段 坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断；
②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围；
（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则 为覆盖的特征点，当 时，代入抛物
线 得， ，结合图像得 ， ，在直线 的右侧y随x的增
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大而增大，总存在 的点，即存在覆盖特征点综合即可．
【小问1详解】
解：①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即： 且 ，所以 ，
是覆盖的特征点，
故答案为： ， ；
②设点 为 的覆盖的特征点．依题意得： ，
当 时，结合函数图像可知，在一次函数 的图像上存在 的覆盖的特征点，
故符合题意．
当 时，如图，点 为 的覆盖的特征点．
又∵点 在一次函数 的图像上，
当直线 过点 时，即：
解得： ．
∴结合函数图像可知 ．
综上所述： 且 ．
【小问2详解】
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解：圆中点的横坐标最大值为3，纵坐标的最大值为5，则 为覆盖的特征点，
当 时，代入抛物线 得
，
解得： ，
结合图像得 ，即存在覆盖特征点，
当 时，此时 是一条直线，不存在符合条件点，
当 时，在直线 的右侧y随x的增大而增大，总存在 的点，即存在覆盖特征点，
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综合得 的范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数综合问题和新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是
图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键．
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