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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市回民学校
23—24 学年度第一学期练习（23 年 9 月）
初三数学
一、选择题
1. 把抛物线 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查抛物线图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：
上加下减．熟记相关结论即可．
【详解】解：平移后抛物线的解析式为： ，
故选：D．
2. 抛物线 的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数 的对称轴公式：直线 进行求解即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴是直线 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．
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3. 若 ， 是函数 图象上两点，则 ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D. ， 大小不确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象的性质,直接代入 ， ，求出 ，
，即可求解．
【详解】∵ ， 是函数 图象上两点，
∴ ， ，
∴
故选：A．
4. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完
全平方公式写成平方形式即可．
【详解】解： ，
，
，
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，
故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．
5. 一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到 ，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程无实数根．
6. 函数 与 （ 为常数且 ）在同一平面直角坐标系中的图像可能（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】本题主要考查了反比例函数图像与性质，一次函数图像与性质．分别根据反比例函数及一次函数
图像的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解： ∵由反比例函数的图像在一、三象限可知， ，∴ ，∴一次函数 的
图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意；
．∵由反比例函数的图像在二、四象限可知， ，∴ ，∴一次函数 的图像经过一、
二、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意；
．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知， ，∴ ，∴一次函数 的图像经过一、
三、四象限，本选项正确，故本选项符合题意；
．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知， ，∴ ，∴一次函数 的图像经过一、
三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意；
故选： ．
7. 抛物线上y＝(m－4)x2有两点A(－3，y)、B(2，y)，且y＞y，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A. m＞4 B. m＜4 C. m≥4 D. m≠4
【答案】A
【解析】
【分析】把A、B两点的坐标分别代入抛物线解析式可用m分别表示出y 和y，利用条件可得到m的不等
1 2
式，可求得m的取值范围．
【详解】解：∵A（−3，y1）、B（2，y2）在抛物线上，
∴y＝9（m−4），y＝4（m−4），
1 2
∵y＞y，
1 2
∴9（m−4）＞4（m−4），
∴m＞4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题
的关键．
8. 已知一个二次函数图象经过 ， ， ， 四点，若 ，则
， ， ， 的最值情况是（ ）
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A. 最小， 最大 B. 最小， 最大 C. 最小， 最大 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意判断抛物线开口向上，对称轴在直线 与直线 之间，然后根据点到对称轴的
距离的大小即可判断．
【详解】∵二次函数图象经过 ， ， ， 四点，且 ，
∴抛物线的开口向上，且对称轴在直线 与直线 之间，
∴ 离对称轴的距离最大， 离对称轴的距离最小，
∴ 最小， 最大，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象开口方向
及对称轴的位置是解题的关键.
二、填空题
9. 已知反比例函数 的图象位于一、三象限．则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质．根据反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】解：反比例函数 的图像位于一、三象限，
，
，
故答案为： ．
【点睛】
10. 二次函数 的顶点坐标是________，与 轴的交点坐标是________．
【答案】 ①. ②.
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【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标与y轴的交点坐标，把解析式化为顶点式即可得到顶点坐
标，再求出当 时y的值即可求出与y轴的交点坐标．
【详解】解：∵二次函数的解析式为 ，
∴该二次函数的顶点坐标为 ，
在 中，当 时， ，
∴该二次函数与 轴的交点坐标是 ，
故答案为： ， ．
11. 市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162
元，设这种药品平均每次降价的百分率为 ，则可列方程________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用：增长率的问题，根据题意直接列出方程即可．
【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为 ，
由题意得： ；
故答案为： ．
12. 某抛物线满足：①开口向上；②顶点 ．请写出任意一个满足题意的二次函数的表达式________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质：开口向上，即 ，二次函数
的顶点坐标为 即可解题．
【详解】解：①开口向上，即 ，
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②顶点 ，即 ，
∴任意一个满足题意的二次函数的表达式： （答案不唯一）
13. 若关于x的方程 的一个根是1，则k的值为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】把 代入方程 ，得出关于k的方程，然后求解即可．
【详解】解： 关于x的方程 的一个根是1，
，
解得 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
14. 如图，A，B两点在函数 图象上， 垂直y轴于点C， 垂直x轴于点D，
， 面积分别记为 ， ，则 _____ ．（填“ ”，“ ”，或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义可得答案．
熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．过曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的三
角形的面积为常数 的一半．
【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义得，
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， ，
∴ ．
故答案为： ．
15. 已知双曲线 与直线 交于点 ， ．
（1）若 ，则 __________；
（2）若 时， ，则 __________ ， __________ ．（填“ ”，“ ”或“
”）
【答案】 ①. （1） ②. （2）＜ ③. ＞
【解析】
【分析】（1）联立两个函数解析式，整理为： 再由根与系数的关系求解
从而得到： ， 关于原点对称，从而可得答案；
（2）由（1）的结论，结合 ，可得： ＞ ，由 可得
结合： ，可得 ＞ ，从而可得答案．
【详解】解：（1）由题意得： ，且
两函数的交点为： ， ．
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，
， 为 与 的交点，
由两函数的交点的性质可得： ， 关于原点对称，
互为相反数，
故答案为：
（2）由（1）得：
同理可得： ，
当 时， ，
＞ 且 ＞ ，
＜
故答案为：＜，＞．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，同时考
查了一元二次方程的根与系数的关系，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．
16. 抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，其部分图象如图所示．对于此抛物线
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有如下四个结论：① ；② ；③ ；④若此抛物线经过点 ，则 一
定是方程 的一个根．其中所有正确结论的序号是 ____________
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】先根据函数开口向下判断a的负号，再根据函数与y轴的交点判断c的符号，即可判断①；根据
函数的顶点和点B即可确定函数经过点 ，即可判断②；根据函数的对称轴即可得出a、b之间的等
量关系，根据 即可的出a、c之间的关系，最后将 代入函数表达式即可得出结论；④根
据二次函数与一元二次方程之间的关系即可进行解答．
【详解】解：①∵函数开口向下，
∴ ，
∵函数图像与y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵顶点为 ，
∴函数对称轴为直线： ，
∵函数经过点 ，
∴函数经过点 ，
当 时： ，
故②不正确；
③∵函数对称轴为直线： ，
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∵ ，即： ，
由②可知： ，故 ，
当 时： ，
∵函数经过点 ，
∴ ，即 ，
故③正确；
④若此抛物线经过点 ，则 一定是方程 的一个根，
故④不正确；
综上：正确的有①③；
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图像和系数之
间的关系．
三、解答题
17. 解一元二次方程
（1）
（2）
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】本题主要考查了利用直接开平方法和配方法解一元二次方程．
（1）根据直接开平方法解一元二次方程.
（2）根据配方法解一元二次方程.
【小问1详解】
解：
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即 ，
∴ ，
∴ ， ．
【小问2详解】
移项得： ，
配方得： ，
即 ，
∴ ，
即 或 ，
即 ， ，
18. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：对于任意实数 ，该方程总有实数根；
（2）若这个一元二次方程的一根大于2，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键：
（1）根据一元二次方程判别式为 ，即可解答；
（2）解方程，求得 ， ，根据题意得到 ，解不等式即可．
【小问1详解】
证明：∵关于x的一元二次方程 ，
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∴ ，
∴对于任意实数m，该方程总有实数根；
【小问2详解】
解：设方程的两个实数根为 ， ，
，
∴ ， ，
∵这个一元二次方程的一根大于2，
∴ ，
解得： ，
∴m的取值范围 ．
19. 已知抛物线 图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
.. ..
x 0 1 2 3
. .
.. ..
y 5 0 0
. .
（1）并画出图象；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）结合图象，直接写出方程 的根．
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（4）结合图象，直接写出当 时y的取值范围．
【答案】（1）图见解析
（2）
（3） 或
（4）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求一元二次方程的根和函
数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图像是解题关键．
（1）根据表格描点，用平滑曲线连结，即可得出抛物线图像；
（2）根据表格中的三个坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）观察图象可得方程 的根；
（4）观察图象可得当 时y的取值范围．
【小问1详解】
解：根据表格描点，用平滑曲线连结，抛物线图像如图：
【小问2详解】
解： 设二次函数的解析式为 ，
由题意得：当 时， ，
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，
时 ，当 时， ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为： ；
【小问3详解】
解：由图可知，当 或 时， ，
方程 的根为 或 ；
【小问4详解】
解：由图象可知，当 时，y的取值范围是 ．
20. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ，
两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出 时 的取值范围；
（3）点 在 轴上，且满足 的面积等于4，请求点 的坐标．
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【答案】（1） ；
（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握三角形的面积的求法，以及反比例函数的图
像与性质是解决本题的关键．
（1）待定系数法，求解析式即可；
（2）根据图像求解即可；
（3）先求出直线与x轴的交点P的坐标，再根据 ，列方程求出 的长，进一
步求出点P坐标．
【小问1详解】
解：由题意可得：
点 在反比例函数 图象上，
，则 ，
反比例函数的解析式为 ，
将 代入 ，
得： ，即 ，
将 ， 代入一次函数解析式中，得
，
解得： ，
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一次函数解析式为 ；
【小问2详解】
由图可得：当 或 时， ；
【小问3详解】
点 在 轴上，
设点 的坐标为 ，
一次函数解析式为 ，令 ，则 ，
直线 与 轴交于点 ，
由 的面积为4，可得：
，即 ，
解得： 或 ，
点 的坐标为 或 ．
21. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，
成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，
每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
【答案】（1） ；
（2）每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【解析】
【分析】（1）根据 “该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少
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卖4套．”列出函数关系式，即可求解；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，得
与x之间的函数关系式是 ．
【小问2详解】
解：根据题意，得
∴抛物线开口向下，W有最大值
当 时，
答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的
关键．
22. 小朋在学习过程中遇到一个函数 ．下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
… 0 1 2 …
… 0 …
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（1）观察这个函数的解析式可知， 的取值范围是________，函数值 的取值范围是________；
（2）进一步研究， 与 的几组对应值如表，请补充完整
（3）结合上表，画出函数图像：
（4）结合函数图像，写出两条性质________．
【答案】（1） 为任意实数， 为任意实数
（2）见详解 （3）见详解
（4）函数关于原点成中心对称； 随 的增大而增大 (答案不唯一)．
【解析】
【分析】本题主要考查通过描点画出函数图像，从图像得出相关性质．
（1）由函数表达式即可求解．
（2）将表格的值代入函数表达式，分别求解即可．
（3）结合上表，通过描点然后画出函数图像即可．
（4）观察函数图像可求解．
【小问1详解】
解：从函数表达式看， 的取值范围为∶ 为任意实数， 的取值范围为∶ 为任意实数．
【小问2详解】
∵函数为：
∴当 ， ，
当 ， ，
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当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
补充表格如下：
… 0 1 2 …
… 0 4 …
【小问3详解】
结合上表，画出函数图像如下∶
【小问4详解】
从函数图像看，函数关于原点成中心对称； 随 的增大而增大 (答案不唯一) ．
23. 探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，
经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达
式为 ，则抛物线的焦点为 ．如图，在平面直角坐标系 中，某款探照灯抛物线的表达
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式为 ，焦点为F．
（1）点F的坐标是___________；
（2）过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线 射出，
所在直线与x轴的交点坐标为 ．
① 画出沿射线 方向射出的光线的反射光线 ；
② 所在直线与x轴的交点坐标为___________．
【答案】（1）
（2）①见解析，②
【解析】
【分析】（1）根据题意得出 ，即可确定点F的坐标；
（2）①根据题意确定 轴，得出 ，经抛物线反射后所得的光线平行于y轴， 轴，
据此作出平行线即可；
②设直线 的解析式为 ，利用待定系数法确定直线AB的解析式，然后与
联立求解即可得出结果．
【小问1详解】
解：根据题意得 ， ，
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∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
由题意可知抛物线 的对称轴是y轴，
∴经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，
∴ 轴
∵ 所在的直线与x轴的交点坐标为 ，
∴A点的横坐标为4，纵坐标为 ，
∴ ，
①经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，
∴ 轴
∴画出沿射线 方向射出的光线的反射光线 ，如下图所示：
②设直线 的解析式为 ，把 、 代入，
得 ，
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解得：
∴直线 的解析式为 ，
由题意可知，直线 与抛物线交于A、B两点，
把 代入
整理得 ，
解得： ， ，
∵点B在y轴的左侧，
∴B点的横坐标为 ，
∵ 轴，
∴ 所在直线与x轴的交点坐标为 ，
故答案 ：为．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用及利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的综合
问题等，理解题意，综合运用一次函数与二次函数的性质是解题关键．
24. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若 ， ，比较 与 的大小，并说明理由；
的
（3）若对于 ， ，都有 ，直接写出m 取值范围．
【答案】（1）抛物线顶点坐标为
（2） ，理由见解析
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（3）
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式可求解
（2）分别将 ， 代入解析式求解
（3）求出点 关于对称轴的对称点为 ，根据抛物线的开口向上以及 求解
【小问1详解】
解：
∴抛物线顶点坐标为 ．
【小问2详解】
将 代入 得
将 代入 得
∴
【小问3详解】
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴点 关于对称轴对称点为 ，
∵抛物线开口向上， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系
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25. 在平面直角坐标系 中，已知点 ．对于点 给出如下定义：当 时，若实数 满
足 ，则称 为点 关于点 的距离系数．若图形 上所有点关于点 的距离系数存在最
小值，则称此最小值为图形 关于点 的距离系数．
（1）当点 与点 重合时，在 ， ， 中，关于点 的距离系数为1的是
________；
（2）已知点 ， ，若线段 关于点 的距离系数小于 ，则 的取值范围为
________；
（3）已知点 ， ，其中 ．以点 为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的
各边均与某条坐标轴垂直，点 ， 为该正方形上的动点，线段 的长度是一个定值（ ）．
①线段 关于点 的距离系数的最小值为________；
②若线段 关于点 的距离系数的最大值是 ，则 的长为________．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）① ，②
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【解析】
【分析】（1）根据题意给定的距离系数定义化解绝对值即可；
（2）利用距离系数的定义，用 表示 ，根据距离系数小于 ，解含绝对值不等式即可；
（3）①根据题意，当正方形上的点到 ，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段
关于点A的距离系数的最小，得到点 关于点A的距离系数的最小，进行计算即可；
②当 ，找到点E和点D所在位置，且点E、D和A共线时，满足条件 ，延长 交x轴于点
J，由题意可得 ，求得 和 ，根据平行求得 ，利用勾股定理进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知， ，则 ，
∵ ，
∴ ， ， ；
故关于点A的距离系数为1的是： 和 ；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴线段 ： ，
，即： ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
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∴当两个点的横坐标间的距离越远， 越小，
∴当 点离 点横坐标最远时： ，
当 离 点横坐标最远时： ，
综上： 或 ；
【小问3详解】
①由 可知，当正方形上的点到 ，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段
关于点A的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点 关于点A的距离系数的最小：
此时： ；
②如图，当 ，点E在 上，点D在 上(D和E可以互换位置)，且点E、D和A共线时，满足
条件 ，
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延长 交x轴于点J，由题意可得 ， ，解得 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，解得 ，
那么 ，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查坐标系中新定义下的距离系数运算，涉及化解对绝对、解含绝对值的一元一次不等式、
正方形的性质和平行线所截线段成比例，解题的关键是理解给定得运算并熟练解含绝对值的不等式．
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